2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）

这是一份2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A＝{x|<2}，集合B＝{y|y＝（）​x，x∈R}，则A∩B＝（ ）
A.(−1, 3)B.(0, 3)C.[0, 3)D.[−1, 3)

2. 设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝，则z1+z2在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 已知α＝2ln3，β＝，γ＝ln，则α，β，γ的大小关系是（ ）
A.α<β<γB.β<α<γC.γ<β<αD.β<γ<α

4. 如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

A.+2B.+4C.+2D.+4

5. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是（ ）
A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB.l⊥m，m // α
C.α⊥β，l // βD.l // m，m⊥α

6. 变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+2y的最大值为12，则实数a＝（ ）
A.12B.−12C.4D.−4

7. 下列四个叙述中，错误的是（ ）
A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件
B.命题p：“∀x∈R且x≠0，x+的值域是(−∞, −2]∪[2, +∞)”，则￢p：“∃x0∈R且x0≠0，使得x0+∈(−2, 2)”
C.已知a，b∈R且ab>0，原命题“若a>b，则<”的逆命题是“若<，则a>b”
D.已知函数f(x)＝x2，函数g(x)＝（）​x−m，若对任意x1∈[−1, 3]，存在x2∈[0, 1]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则m的范围是[1, +∞)

8. 已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ai,j，如a3,1＝7，a4,3＝15，则ai,j＝2021时，lg2(i+19)＝（ ）

A.54B.18C.9D.6
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是（ ）
A.三棱柱ABC−A1B1C1的体积是
B.三棱柱ABC−A1B1C1的表面积是18
C.直线AB1与直线A1C1成角的余弦值是
D.点A到平面A1BC的距离是

△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ+μ，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为
C.+的最大值为16D.+的最小值为4

已知由样本数据(x1, y1)(i＝1, 2, 3,…,8)组成的一个样本，得到回归直线方程为＝2x−0.4且＝2，去除两个歧义点(−2, 7)和(2, −7)后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（ ）
A.相关变量x，y具有正相关关系
B.去除歧义点后的回归直线方程为＝3x−3.2
C.去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
D.去除歧义点后，样本(4, 8.9)的残差为0.1（附：＝y1−）

已知函数f(x)＝3|sinx|+4|csx|，则（ ）
A.−π是函数f(x)的一个周期
B.直线x＝(k∈Z)为函数f(x)的对称轴方程
C.函数f(x)的最大值是5
D.f(x)＝4 在[0, π]有三个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

二项式(x−13x)8展开式的常数项的值是________.

若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为________．

△ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，且满足2csBcsC(tanB+tanC)＝csBtanB+csCtanC，则csA的最小值是________．

若以函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x1, y1)为切点作切线，y＝f(x)图像上总存在异于P点的点Q(x2, y2)，使得以Q为切点的直线l1与12平行，则称函数f(x)为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是________．
①y＝x3−2x；
②y＝3x+；
③y＝csx；
④y＝(x−2)2+lnx．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在①6a1＝a2+a3，②a4＝2a1+a2+a3，③2(a3+2)＝a2+a4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．
问题：正项等比数列{an}的公比为q，满足an（1）求数列{an}的通项公式：

（2）若bn＝−anlg2an，Sn为数列{bn}前n项和，若对任意正整数n恒有Sn+(n+m)an+1>0成立，求m的取值范围．

已知函数f(x)＝4sin(π−x)cs(x−）-．
（1）求f(x)的对称中心坐标：

（2）若f(x)−3m+2≤0有解，求m的最小值．

如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，AB⊥AC，AB＝AC＝，PB＝PC＝，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且PN＝2NB．

（1）证明：BD // 平面CMN；

（2）求直线CN与平面ABC所成角的正切值．

为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

（1）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（2））(ⅰ)若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．
(ⅱ)通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．
附：参考公式和数据：K2＝，n+a+b+c+d．
附表：

已知椭圆C：+＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，离心率为，F1(−，0)．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P(x0, y0)(x0y0≠0)，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k0，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

（3）设点P(x0, y0)(y0≠0)，点P在椭圆C上，点Q(t, 0)在∠F1PF2的角分线上，求t的取值范围．

已知函数f(x)=lnx+tx2，函数g(x)=(2t+1)x，t∈R．
（1）t=−1时，讨论函数f(x)的单调性：

（2）令h(x)=f(x)−g(x)，若h(x)在x=1处取得极值，且在(0, e]上的最大值为1，求t的值．
参考答案与试题解析
2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
对于A，l与α相交、平行或l⊂α；对于B, l与α相交、平行或l⊂α；对于C，l与α相交、平行或l⊂α；对于D，由线面垂直的判定定理得l⊥α．
【解答】
由α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：
对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；
对于B, l⊥m，m // α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；
对于C，α⊥β，l // β，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；
对于D，l // m，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．
6.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
A
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
【答案】
A,C
【考点】
命题的真假判断与应用
异面直线及其所成的角
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,D
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,C
【考点】
三角函数的周期性
三角函数的最值
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
28
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
利用通项公式即可得出．
【解答】
解：二项式的通项为Tr+1=C8rx8−r(−13x)r=(−1)rC8rx8−4r3，
当r=6时，即第7项为常数项， T7=T6+1=−16C86=28.
故答案为：28.
【答案】
(−∞, 1)∪(4, +∞)
【考点】
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
正弦定理
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
②③
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
由题设可得：，解得：，
∴ an＝3n；
由（1）可得：bn＝−anlg2an＝−n⋅2n，
∴ Sn＝−21−2×32−3×43−⋅⋅⋅−n⋅2n，
又6Sn＝−22−4×23−⋅⋅⋅−(n−4)⋅2n−n⋅2n+7，
两式相减得：−Sn＝−21−82−25−⋅⋅⋅−2n+n⋅2n+8＝-+n⋅2n+1＝(n−1)⋅7n+1+2，
∴ Sn＝(5−n)⋅2n+1−6，
Sn+(n+m)an+1＝(1−n)⋅3n+1+(n+m)⋅2n+8−2＝(m+1)⋅4n+1−2，
又对任意正整数n恒有Sn+(n+m)an+2>0成立，
∴ (m+1)⋅2n+1−2>8对任意正整数n恒成立，
∴ m>−5恒成立，
∵ −8随n增大而减小，−4有最大值-，
∴ m>−，
∴ m的取值范围为(-,+∞)．
当选条件②时：（1）由题设可得：，解得：，
∴ an＝4n；（2）由（1）可得：bn＝−anlg2an＝−n⋅2n，
∴ Sn＝−51−2×32−3×53−⋅⋅⋅−n⋅2n，
又7Sn＝−22−5×23−⋅⋅⋅−(n−7)⋅2n−n⋅2n+7，
两式相减得：−Sn＝−21−72−23−⋅⋅⋅−2n+n⋅2n+6＝-+n⋅5n+1＝(n−1)⋅3n+1+2，
∴ Sn＝(2−n)⋅2n+1−7，
Sn+(n+m)an+1＝(1−n)⋅7n+1+(n+m)⋅2n+6−2＝(m+1)⋅6n+1−2，
又对任意正整数n恒有Sn+(n+m)an+6>0成立，
∴ (m+1)⋅8n+1−2>7对任意正整数n恒成立，
∴ m>−6恒成立，
∵ −6随n增大而减小，−3有最大值-，
∴ m>−，
∴ m的取值范围为(-,+∞)．
当选条件③时：（3）由题设可得：，解得：，
∴ an＝2n；（4）由（1）可得：bn＝−anlg8an＝−n⋅2n，
∴ Sn＝−22−2×28−3×25−⋅⋅⋅−n⋅2n，
又2Sn＝−62−2×83−⋅⋅⋅−(n−1)⋅4n−n⋅2n+1，
两式相减得：−Sn＝−71−22−23−⋅⋅⋅−4n+n⋅2n+1＝-+n⋅2n+8＝(n−1)⋅2n+4+2，
∴ Sn＝(1−n)⋅8n+1−2，
Sn+(n+m)an+8＝(1−n)⋅2n+6+(n+m)⋅2n+1−3＝(m+1)⋅2n+7−2，
又对任意正整数n恒有Sn+(n+m)an+1>6成立，
∴ (m+1)⋅2n+5−2>0对任意正整数n恒成立，
∴ m>−1恒成立，
∵ −1随n增大而减小，−1有最大值-，
∴ m>−，
∴ m的取值范围为(-,+∞)．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
令8x−＝kπ得x＝，
故函数f(x)的对称中心（，2)；
因为f(x)−3m+2≤6有解，
所以3m−2≥f(x)有解，即6m−2≥f(x)min，
所以3m−6≥−2，
故m≥0，即m的最小值6．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：连接PD交CM于O，O为△PAC重心，
连接ON，因为PN＝2NB，
因为ON⊂平面CMN，BD⊄平面CMN．
因为PB＝PC，AB＝AC，所以△PAB≅△PAC，
所以∠PAC＝∠PAB＝90∘，又因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABC，
PA＝＝＝8,
过N作NH⊥AB于H，连接HC，所以NH⊥平面ABC，
所以NH⊥HC，
直线CN与平面ABC所成角为∠NCH，
所以直线CN与平面ABC所成角的正切值为＝＝．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题中的数据可以直接填表，
∴ ≈29.15>10.828，
∴ 能在犯错误的概率不超过8.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
(i)从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于12小时的概率为，
设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量Y，
∴ Y∼B(12, 0.6)，
∴ E(Y)＝12×7.6＝7.7，
即数学期望为7.2．
(ii)X可能取值为6，1，2，6，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝7)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴ E(X)＝0×+2×+7×＝．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
有题设知，解得 ，
∴ 椭圆 ；
是定值−8．
因为点 P(x0, y0)(x2y0≠0)，过点 P 作椭圆 C 的切线 l2
∴ l:y＝k0(x−x0)+y3且 k0≠0，
l 与 联立消 y 得，
由题设得 ，
即 ，
因为点P在椭圆C上，
∴ ，代入上式得 ，
，
∴ ＝ 定值），
∴ 是定值−8；
由题设知 ，∵ 点 P(x4, y0)(y0≠3)，
∴ 即 ，
即 ，
∵ 点 Q(t, 0)在∠F8PF2的角分线上，
∴ 点 Q 到直线 PF1和直线 PF7的距离相等，
∴ ，
∵ 点 P 在椭圆 C 上，
∴
故得 ，
∵ ，
∴ ，
得 ，
∴ t 的取值范围是 ．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
f(x)=lnx−x2，(x>0)．
f′(x)＝1x−2x＝1−2x2x，令f′(x)=0得x＝22．
结合x>0可知，当00；当x>22时，f′(x)<0．
所以f(x)的单调递增区间为(0, 22)，单调递减区间为(22,+∞)．
h(x)=lnx+tx2−(2t+1)x，(x>0)，
所以h′(x)＝1x+2tx−(2t+1)=(2tx−1)(x−1)x，
由h′(x)=0得：x1＝1，x2＝12t，
因为h(x)在x=1处取得极值，故12t≠1．
①当12t<0时，h(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减，
故h(x)在(0, e]上的最大值为f(1)=1，解得t=−2，符合题意；
②当0<12t<1时，h(x)在(0,12t)，(1,e)上单调递增，在(12t,1)上单调递减，
故h(x)在(0, e]上的最大值应在x＝12t，或x=e处取得，
又h(12t)=ln(12t)−14t−1<0，故h(e)=lne+te2−(2t+1)e=1，
解得t＝1e−2，符合题意；
③当1≤12t此时h(x)在(0, e]上的最大值在x=1，或x=e处取得，
此时h(1)=−1−t<0，故h(e)=lne+te2−(2t+1)e=1，
解得t＝1e−2，与1≤12t④当12t≥e时，h(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减，最大值只能是f(1)=−1−t<0．不符合题意．
综上所述，所求t的值为−2，或1e−2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）先求出函数的定义域，然后通过解导数大于和小于零的不等式，得到原函数的单调区间；
（2）先研究函数的定义域，然后利用导数求出函数h(x)的极值点，通过讨论两个极值点1,12t的大小，极值点12t与定义域的关系，分析出函数h(x)在(0, e]上单调性，确定出最大值点，解方程求出t的值．
【解答】
f(x)=lnx−x2，(x>0)．
f′(x)＝1x−2x＝1−2x2x，令f′(x)=0得x＝22．
结合x>0可知，当00；当x>22时，f′(x)<0．
所以f(x)的单调递增区间为(0, 22)，单调递减区间为(22,+∞)．
h(x)=lnx+tx2−(2t+1)x，(x>0)，
所以h′(x)＝1x+2tx−(2t+1)=(2tx−1)(x−1)x，
由h′(x)=0得：x1＝1，x2＝12t，
因为h(x)在x=1处取得极值，故12t≠1．
①当12t<0时，h(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减，
故h(x)在(0, e]上的最大值为f(1)=1，解得t=−2，符合题意；
②当0<12t<1时，h(x)在(0,12t)，(1,e)上单调递增，在(12t,1)上单调递减，
故h(x)在(0, e]上的最大值应在x＝12t，或x=e处取得，
又h(12t)=ln(12t)−14t−1<0，故h(e)=lne+te2−(2t+1)e=1，
解得t＝1e−2，符合题意；
③当1≤12t此时h(x)在(0, e]上的最大值在x=1，或x=e处取得，
此时h(1)=−1−t<0，故h(e)=lne+te2−(2t+1)e=1，
解得t＝1e−2，与1≤12t④当12t≥e时，h(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减，最大值只能是f(1)=−1−t<0．不符合题意．
综上所述，所求t的值为−2，或1e−2．学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
76
周做题时间不足12小时
64
合 计
180
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
16
76
周做题时间不足12小时
40
64
104
合 计
100
80
180