14数列（解析版）练习题

这是一份14数列（解析版）练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

小题专练
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．12
C．9 D．6
【答案】　D
【解析】　由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.
2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】　B
【解析】　设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，∴前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.
3．各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为(　　)
A．78 B．48
C．60 D．72
【答案】　D
【解析】　S12＝6(a1＋a12)＝6(a4＋a9)≥6×2＝72，当且仅当a4＝a9＝6时等号成立．
4．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】　C
【解析】　由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．
5．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3，…；若a1·a2·a3·…·am＝2 016(m∈N*)．则m的值为(　　)
A．22 016＋2 B．22 016
C．22 016－2 D．22 016－4
【答案】　C
【解析】　由于a1·a2·a3·…·am＝···…·＝＝2 016，可得lg(m＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m＋2＝22 016，解得m＝22 016－2.
6．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)

A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列
【答案】　A
【解析】　由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
7．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】　C
【解析】　通解：设等比数列{an}的公比为q(q>1)，因为a2a4＝a3，所以a32＝a3，又an>0，所以a3＝1，所以等比数列{an}的前n项积Tn＝a1·a2·a3·a4·…·an＝··a3·a3q·…·a3qn－3＝q＝q，则使得Tn>1的n的最小值为6，故选C.
优解：设等比数列{an}的公比为q(q>1)，因为a2a4＝a3，所以a32＝a3，又an>0，所以a3＝1，所以T4＝a1·a2·a3·a4＝··a3·a3q＝<1，排除A；T5＝·a3q2＝1，排除B；T6＝T5·a3q3＝q3>1，故选C.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝，且对任意正整数n，都有an＋1＋SnSn＋1＝0，则a1＋a20＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　由条件可得an＋1＝－SnSn＋1，即Sn＋1－Sn＝－SnSn＋1，所以－＝1，则数列{}是公差为1的等差数列，故＝＋(n－1)×1＝2＋n－1＝n＋1，故
Sn＝，则a20＝S20－S19＝－＝－，故a1＋a20＝－＝.
9．正项等比数列{an}中的a1、a4 031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2 016＝(　　)
A．1 B．2
C. D．－1
【答案】　A
【解析】　因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4 031是方程x2－8x＋6＝0的两根，所以a1·a4 031＝a2 0162＝6，即a2 016＝，所以loga2 016＝1，故选A.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝，则数列{}的前n项和为(　　)
A．1－ B．2－
C．2－ D．2－
【答案】　B
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，因为S3＝6，S5＝，所以解得所以an＝n＋1，＝，设数列{}的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋(＋＋…＋)－＝＋(1－)－，所以Tn＝2－.
11．在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 017的值等于(　　)
A．－2 016 B．－2 017
C．－2 015 D．－2 018
【答案】　B
【解析】　∵－＝2，∴－＝2，故a12－a10＝4.
∴2d＝4，d＝2，
∴S2 017＝2 017a1＋×d
＝2 017×(－2 017)＋2 017×2 016
＝－2 017.
12．已知函数f(x＋)为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即an＝g()，则数列{an}的前2 013项和为(　　)
A．2 014 B．2 013
C．2 012 D．2 011
【答案】　B
【解析】　因为f(x＋)为奇函数，所以函数y＝f(x)的图像关于点(，0)对称，则函数y＝g(x)的图像关于点(，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.
设S＝g()＋g()＋…＋g()，
倒序后得S＝g()＋g()＋…＋g()，
两式相加后得2S＝[g()＋g()]＋[g()＋g()]＋…＋[g()＋g()]＝2 013×2，
所以S＝2 013.
13．等比数列{an}中，若a1＝1，公比q＝2，前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A．∃n0∈N*，an0＋an0＋2＝2an0＋1
B．∀n∈N*，an·an＋1≤an＋2
C．∀n∈N*，Sn D．∃n0∈N*，an0＋an0＋3＝an0＋1＋an0＋2
【答案】　C
【解析】　由题意可得an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，则an0＋an0＋2＝2n0－1＋2n0＋1＝5×2n0－1，2an0＋1＝2×2n0＝2n0＋1＝4×22n0－1，an＋2＝2n＋1，构造函数f(x)＝2x，易知f(x)是增函数，若f(2n－1)≤f(n＋1)，则2n－1≤n＋1，∴n≤2(n∈N*)，不能保证在n∈N*上恒成立，∴B错；∵2n－1<2n，∴Sn 14．已知数列{an}满足＋＋…＋＝[]2，则对于任意的正整数n，下列式子不成立的是(　　)
A．a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ B.＋＋…＋＝
C.＋＋…＋< D.＋＋…＋<1
【答案】　D
【解析】　在＋＋…＋＝[]2中令n＝1，解得a1＝1，且当n≥2时，有＋＋…＋＝[]2，两式相减得＝n(n≥2)，故an＝(n≥2)，当n＝1时，此式也成立，故数列{an}的通项公式为an＝.因而a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝＝，选项A成立，不符合题意.＋＋…＋＝1＋2＋…＋n＝＝，选B成立，不符合题意.＋＋…＋＝＋＋…＋<＋＋…＋＝1＋×[＋＋…＋]－[＋＋…＋]＝1＋×[－]＝－<，选项C成立，不符合题意．当n＝1时，＋＋…＋＝1，故选项D不成立，选D.
二、填空题
15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝________．
【答案】　66
【解析】　依题an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66.
16．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．
【答案】　2　2n＋1－2
【解析】　由等比数列的性质，得a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得q＝＝2，又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
17．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.则a2＝________，an＝________．
【答案】　4　n2
【解析】　依题意，2S1＝a2－－1－，
又S1＝a1＝1，所以a2＝4.
当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1.又－＝1，
故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列．
所以＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n2.
18．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
【答案】　－49
【解析】　由Sn＝na1＋d，得
解得a1＝－3，d＝.
则Sn＝－3n＋·＝(n2－10n)，
所以nSn＝(n3－10n2)．
令f(x)＝(x3－10x2)，则f′(x)＝x2－x＝x(x－)，当x∈(1，)时，f(x)递减；
当x∈(，＋∞)时，f(x)递增，又6<<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以nSn的最小值为－49.
19．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2 017＝________．
【答案】　4 015
【解析】　因为f(x)是奇函数，在R上是增函数，且数列{xn}是递增数列，所以由f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0可得x8＋x11＝x9＋x10＝0.由数列{an}的公差为2，得x1＝－17，所以xn＝x1＋(n－1)d＝2n－19.所以x2 017＝2×2 017－19＝4 015.
20.已知{an}是等差数列，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋
|an|(n∈N*)．某同学设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn＝________．
【答案】　n2－9n＋40
【解析】　由流程图可知该等差数列的通项公式是an＝2n－10或an＝－2n＋10.不妨令an＝2n－10，则当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝
－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an＝20＋＝n2－9n＋40.

1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
【答案】　20
【解析】　方法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
方法二：∵{an}为等差数列，∴3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝
2(a3＋a8)＝20.
2．已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，
a4＝b4，a10＝b10，则a1和d的值分别为(　　)
A.， B．－，
C．－，－ D.，－
【答案】　D
3．设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则＝(　　)
A．3 B．4
C．6 D．7
【答案】　D
【解析】　由S1，S2，S4成等比数列，得S22＝S1S4，即为(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．又d≠0，故可化简为d＝2a1，所以＝＝7.
4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
【答案】　D
【解析】　∵{an}为等比数列，
∴a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，
故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.