湖南省岳阳市2017年中考数学试题（精校word版有答案）

2017年岳阳市初中学业水平考试试卷

数学

一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.的相反数是（    ）

A．         B．       C．       D．

2.下列运算正确的是（    ）

A．         B．       C．       D．

3.据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为（    ）

A．         B．       C．        D．

4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（    ）

A　　　　     B　　　       　C　　　      　D

5.从，，，，这个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（    ）

A．         B．       C.         D．

6.解分式方程，可知方程的解为（    ）

A．         B．       C.         D．无解

7.观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是（    ）

A．         B．       C.         D．

8.已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（    ）

A．有对或对         B．只有对       C.只有对         D．有对或对

二、填空题（每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）

9.函数中自变量的取值范围是          ．

10.因式分解：          ．

11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：

，，，，，，，则这组数据的中位数是           ，众数是          ．

12.如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是          ．

13.不等式组的解集是          ．

14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为          ．

15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为．如右图所示，当时，，那么当时，          ．（结果精确到，参考数据：）

16.如右图，⊙为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，⊙在点处切线交于点，下列结论正确的是          ．（写出所有正确结论的序号）

①若，则弧的长为；   ②若，则平分；

③若，则；          ④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．

三、解答题 （本大题共8小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本题满分6分）

计算：

18. （本题满分6分）

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在□中，对角线，交于点，               ．

求证：                                         ．

19. （本题满分8分）

如图，直线与双曲线（为常数，）在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．

20. （本题满分8分）

我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了个包还多本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了个包．那么这批书共有多少本？

21. （本题满分8分）

为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的           ，          ；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

22.（本题满分8分）

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．

（1）求支架的长；

（2）求真空热水管的长．（结果均保留根号）

23.（本题满分10分）

问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．

（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则            ；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；

（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．

（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．

（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．

24.（本题满分10分）

如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点．求的最大值；

（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

2017年岳阳市初中学业水平考试试卷

数学答案

一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.的相反数是（  A  ）

A．         B．       C．       D．

2.下列运算正确的是（  B  ）

A．         B．       C．       D．

3.据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为（  A  ）

A．         B．       C．        D．

4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（  B  ）

A　　　　     B　　　       　C　　　      　D

5.从，，，，这个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（  B  ）

A．         B．       C.         D．

6.解分式方程，可知方程的解为（  D  ）

A．         B．       C.         D．无解

7.观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是（  B  ）

A．         B．       C.         D．

8.已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（  A  ）

A．有对或对         B．只有对       C.只有对         D．有对或对

二、填空题（每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）

9.函数中自变量的取值范围是    x ≠ 7       ．

10.因式分解：     （x - 3）2     ．

11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：

，，，，，，，则这组数据的中位数是     92    ，众数是    95    ．

12.如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是     60°     ．

13.不等式组的解集是   x ＜－3    ．

14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为     2     ．

15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为．如右图所示，当时，，那么当时，     3.11     ．（结果精确到，参考数据：）

16.如右图，⊙为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，⊙在点处切线交于点，下列结论正确的是   ②③④   ．（写出所有正确结论的序号）

①若，则弧的长为；   ②若，则平分；

③若，则；          ④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．

三、解答题 （本大题共8小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本题满分6分）

计算：= 2

18. （本题满分6分）

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在□中，对角线，交于点，     且⊥          ．

求证：    □是菱形     ．

证明：∵四边形是平行四边形

∴对角线平分

又⊥

∴AB=AD（线段的垂直平分线上的一点到这条线段两个端点的距离相等）

∴□是菱形

19. （本题满分8分）

如图，直线与双曲线（为常数，）在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．

解：（1），

（2）∵点在轴上，则,又OC＝1

∴BP＝4

设P点横坐标为m，又B点横坐标为－1，则，

解得m＝3或－5，

则P点坐标为（3，0）或（－5，0）

20. （本题满分8分）

我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了个包还多本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了个包．那么这批书共有多少本？

解：设这批书共有本，每包书有本，根据题意，得：

       解得

答：这批书共有1500本。

21. （本题满分8分）

为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的     25      ，     0.10     ；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

解：2000×0.10＝200（人）

答：估计该校名学生中评为“阅读之星”的有200人。

22.（本题满分8分）

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．

（1）求支架的长；

（2）求真空热水管的长．（结果均保留根号）

解：利用锐角三角函数，解直角三角形可得（1）CD＝cm

（2）OC＝cm，OA＝cm，

则OB＝OD＝OC－DC＝－＝cm

∴AB＝OA－OB＝－＝cm

23.（本题满分10分）

问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．

（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则      12      ；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；

（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．

（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．

（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．

解：（2）可证∽，得到,即，则

又

∴

（3）（I）同理：可证∽，得到,即，则

又

∴

（II）

24.（本题满分10分）

如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点．求的最大值；

（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）

（2）设P点横坐标为m，则P点纵坐标为

同时N点横坐标为m，则N点纵坐标为

∴PN＝（）－（）＝

还有M点纵坐标为，代入，可得M点横坐标为

∴PM＝（）－m＝

∴PM＋PN＝＝

∴PM＋PN的最大值为。

（3）设F点横坐标为a，分两种情况讨论：

（I）当CE为平行四边形一边时，PF＝CE＝

∵F（a，），P（a，）

∴PF＝

化简得

解得，，，（不合，舍去）

满足条件的F点坐标为：（，）或（，）或（1，）

（II）当CE为平行四边形的对角线时，CE的中点坐标为（0，）

则PF的中点坐标为（0，）

∵PF的中点的横坐标为0，则P、F两点的横坐标互为相反数

∴F（a，），P（－a，）

∴

解得，（不合，舍去）

满足条件的F点坐标为：（－1，0）

综合得到：满足条件的F点坐标为：

（，）或（，）或（1，）或（－1，0）