专练02（选择题-提升，20题）-2020~2021学年高一数学下学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

专练02（选择题-提升-20题）

1．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据复数的几何意义，得点的轨迹方程，然后将转化为点到点，的距离，利用对称性，当三点共线时取最小值.

【详解】

设，则的轨迹为点和的中垂线，方程为，则表示点到点，的距离，即求的最小值，如图，点关于直线的对称点的坐标为，所以.

故选：D.

2．已知，且 (其中为虚数单位)，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据复数的乘法运算和复数的相等可求得，代入可得结果.

【详解】

，，解得：，

.

故选：B.

3．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【分析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.

【详解】

由复数的除法运算化简可得

，

因为是纯虚数，所以，

∴，

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.

4．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，再把的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据正弦型函数的图像变换的性质求出的解析式，再结合正弦型函数的对称性进行求解即可.

【详解】

因为函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，所以，

又因为把的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，

所以，

令，得，

令，得，取得，

故选：B

5．将函数先向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），则所得函数图像的一个对称中心为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将函数的图象变换得到，求出函数的对称中心，即可求解.

【详解】

由题意，函数，

将的图象向右平移个单位长度，

可得，

将图象上各点横坐标压缩为原来的倍，可得，

令，解得，

当时，，此时，

所得函数的图象的一个对称中心为.

故选：D.

6．已知，则的图象是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项.

【详解】

，为奇函数，

图象关于原点对称，故排除A，D；

当时，，故排除C．

故选：B.

【点睛】

根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手：

（1）判断函数的定义域；

（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项；
（3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.

7．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】A

【分析】

根据条件，建立扇形半径和弧长的方程，即可求解.

【详解】

设扇形的半径为，弧长为，

，得，

则扇形的面积.

故选：A

8．已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解.

【详解】

由图象知，，解得，

将最大值点代入得，，

解得，又，则，即.

故选：A.

【点睛】

已知函数图象，确定其解析式的步骤：

（1）求，，确定函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求，确定函数的周期T，则.

（3）求，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间. 如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.

9．已知，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先由已知求出的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可.

【详解】

因为，所以在方向上的投影为.

【点睛】

此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题.

10．已知单位向量，满足，若向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

借助，将代入化简即可.

【详解】

因为是单位向量，所以.

因为，所以，

所以.

故选：A.

11．已知A，B，C三点不共线，若点E为线段AD的中点，且，则的值为

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】

利用平面向量基本定理把作为基底，再把用基底表示出来即可.

【详解】

因为，所以,

因为点E为线段AD的中点，

所以

因为,

所以,

因为，所以，

所以

故选：B

【点睛】

此题考查了平面向量的加减法法则，平面向量基本定理，属于基础题.

12．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，根据条件列方程求得向量的坐标值，从而求出的坐标，利用向量夹角坐标公式求解即可．

【详解】

设，则由，，得

解得或，所以或，

当时，，，

所以，向量与的夹角为

当时，，，

所以，向量与的夹角为

综上，向量与的夹角为．

故选：B

13．在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】

以为原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标关系求解.

【详解】

建立以为原点，为轴的直角坐标系，

则，，.

又根据题意，得，，

则.

所以，，

则，，.

故选:B.

【点睛】

本题考查用坐标法解决向量问题，属于基础题.

14．已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.

【详解】

因为，，

所以两式平方相加得，

即，

又因为，

所以，即，，

将代入，

得，即，

所以，

故选：B

15．已知函数，则的单调递增区间是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先利用辅助角公式整理函数为，再利用整体代入法求解函数的单调增区间即可.

【详解】

，

由，得，

即函数的单调递增区间是．

故选：A．

【点睛】

思路点睛：

解决三角函数的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者代入验证.

16．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用弧田面积公式可求出矢长，继而求出半径和圆心到弧田弦的距离，则可求出cos∠AOD，由二倍角可求出cos∠AOB.

【详解】

如图，由题意可得：AB=6，

弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．

解得矢=1，或矢=-7（舍），

设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，

则，解得d=4，r=5，

∴cos∠AOD=，

∴cos∠AOB=2cos2∠AOD-1=-1=．

故选：D．

【点睛】

本题考查传统文化题目，考查二倍角，属于基础题.

17．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

【详解】

由题意有：，

∴，又，

∴.

故选：A.

18．关于直线，与平面﹑，有下列四个命题，其中真命题的序号是（    ）

①，且，则；   

②，且，则；

③，且，则；   

④，且，则．

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

【答案】D

【分析】

根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．

【详解】

若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；

若，且，则，故②正确；

证明: ，，在内作，在内作，

 ，二面角是直二面角，，

又由，，，，，

，；同理，故.

若，且，则，故③正确；

证明：过作平面，，

，，，，，故.

若，且，则，可能相交､平行也可能异面，故④错误

故选:D

【点睛】

考查线线平行与垂直的判定，基础题.

19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据三视图可知该几何体是半球与圆锥的组合体，结合图中数据，即可求出该几何体的体积．

【详解】

根据三视图可知：

该几何体是上部分为半球，下部分为圆锥的组合体，且半球的半径为，圆锥的底面圆的半径为，高为，

所以该几何体的体积.

故选：A

【点睛】

方法点睛：由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．本题考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算，属于基础题．

20．已知面积为的的顶点都在球的球面上，，点是球的球面上一动点，且点到平面的最大距离为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用全等可得是等边三角形，结合正弦定理可得小圆的半径，进而利用勾股定理可得球半径.

【详解】

由可知，，

所以，

所以是等边三角形.

由的面积为得，.

设的外接圆为，由正弦定理可知的半径为，

设球的半径为，由题意可知，，

根据球的性质可知，，解之得，

所以球的表面积为，

故选:C.