2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义12《导数与函数的综合问题》（原卷版）

2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义12

《导数与函数的综合问题》

一、选择题

1.方程x3－6x2＋9x－10=0的实根个数是(　　)

A.3         B.2       C.1         D.0

2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)      B.(－2，＋∞)   C.(0，＋∞)     D.(－1，＋∞)

3.已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数y=f ′(x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为(　　)

A.1          B.2            C.3          D.4

4.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)

A.(－∞，7]       B.(－∞，－20]      C.(－∞，0]     D.[－12,7]

5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)

A.(－2,0)∪(2，＋∞)　

B.(－2,0)∪(0,2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(0,2)

6.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)=4，则不等式exf(x)＞ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为(　 　)

A.(0，＋∞)                 B.(－∞，0)∪(3，＋∞)

C.(－∞，0)∪(0，＋∞)      D.(3，＋∞)

7.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，0)      B.(－∞，4]    C.(0，＋∞)     D.[4，＋∞)

8.设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=ln x－ln 2上，则|PQ|的最小值为(　　)

A.1－ln 2       B.(1－ln 2)      C.2(1＋ln 2)     D.(1＋ln 2)

9.已知函数（lnx是以e为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m的取值范围为(       )

A.(0,e2+3)                  B.(4,e2-1]         C.[5-2ln2,e2-1]         D.[5-2ln2,4]

10.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为(　　)

A.3         B.4        C.6         D.5

11.函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是（    ）

A.(- ∞,0)   B.(0,+ ∞)   C.(- ∞,3)和(1,+ ∞)    D.(-3,1)

12.已知函数f(x)=(x－a)3－3x＋a(a＞0)在[－1，b]上的值域为[－2－2a,0]，则b的取值范围是(　 　)

A.[0,3]        B.[0,2]         C.[2,3]       D.(－1,3]

二、填空题

13.若函数f(x)=2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a=________.

14.函数y=x＋2cos x在区间上的最大值是________.

15.已知函数f(x)=x＋，g(x)=2x＋a，若任意x1∈[,1]，存在x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.

16.直线x=t分别与函数f(x)=ex＋1的图象及g(x)=2x－1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为          .

三、解答题

17.已知函数f(x)=＋lnx.

(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)>0.

18.已知函数f(x)=aex－ln x－1.

(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.

19.已知函数f(x)=x2－(a＋2)x＋alnx(a为实常数).

(1)若a=－2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤0成立，求实数a的取值范围.

20.设函数f(x)=ax2－xln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R).

(1)当a=0时，求函数f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程；

(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

21.已知函数f(x)=(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立，求实数a的取值范围.

22.已知函数f(x)=(x＋a－1)ex，g(x)=x2＋ax，其中a为常数.

(1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

23.已知函数f(x)=(ax－2)ex在x=1处取得极值.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；

(3)求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.