人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试习题

这是一份人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

（二）点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题
1．【04安徽·理】若二面角为1200，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是
（A） （B）[300，600] （C）[600，900] （D）[300，900]
2．【04北京理】设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
3．【04北京春招理】]一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为
A. B. C. D.
4．【04北京春招理】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是
A. B. C. D.
5．【04福建理】如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，
∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是
A．arcsin B．arccos
C．arcsin D．arccos



6．【04福建理】 已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题
①若mα，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
7．【04湖南理】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．【04湖北理】已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．【04全国Ⅱ·理】已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为
（A）　　　　　（B）　　　 　（C）　　　 　　（D）
10．【04全国Ⅱ·文】正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为
（A）75°　　 （B）60°　　　　（C）45°　　　　（D）30°
11．【04全国Ⅳ·理】 对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是
A．如果、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么相交
C．如果、n共面，那么
D．如果、n共面，那么
12．【04全国Ⅳ·理】已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为
A．1 B． C． D．2
13．【04上海·理】在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是
(A)若lβ且α⊥β,则l⊥α. (B) 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.
(C) 若l⊥β且α⊥β,则l∥α. (D) 若α∩β=m且l∥m,则l∥α.
14．【04重庆·理】设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为
A B C D
15．【04重庆·文】不同直线和不同平面，给出下列命题：
① ②
③ ④
其中假命题有
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
16．【04天津·理】如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于
A. B. C. D.








17．【04天津·文】如图，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是
A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点
18．【04浙江·理】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=．1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=
（A） （B）
（C） （D）



19．【04重庆·理】若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是
A

C
B
A


P
P



B
C




C
B
A
B
A
C

P

P






二、填空题
1．【04辽宁】如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 .




2．【04全国Ⅰ·理】已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
3．【04全国Ⅱ·理】下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是　　 　(写出所有真命题的编号)．
4．【04全国Ⅲ·理】 用平面截半径为R的球，如果球心到截面的距离为，那么截得
小圆的面积与球的表面积的比值为__________
5．【04浙江·理】已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为
6．【04浙江·文】已知平面α⊥β， =，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为






三、计算题
1．【04广东】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
[解]（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)


于是，设向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则


·
B1
P
A
C
D
A1
C1
D1
B
O
H
·
2．【04江苏】 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
[解] （1）
（2）略 （3）
A
A1
B1
B
C1
C
M
N
P
3．【04上海春季】 如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.
(1) 求证：；
(2) 在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.




[解] (1) 证：；
(2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为
平面与平面所组成的二面角.
上述的二面角为,
在中，
，
由于，
有.

4．【04辽宁】 已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
【解】 本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力。
（1）证明：连接BD. 为等边三角形.
是AB中点，
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED.
面PAB，面PAB.








（2）解：平面PED，PE面PED，
连接EF，PED，
为二面角P—AB—F的平面角.
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在
即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为
5．【04安徽·理】 已知三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝a，
（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：A1B⊥面AB1C.
[解] （Ⅰ）；（Ⅱ）略.

6．【04北京文】 如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为
（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为

， 故
（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线
在中

又 由三垂线定理得
就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
侧面是正方形
故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为

7．【04北京春招理】 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，

（I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小
[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
（I）证明：如题图
底面ABCD是正方形
底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解 底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，

又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为













（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点

面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为

8．【04福建理】 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

[解] 本小题主要考查直线与直线，直线与平
面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想
象能力和逻辑推理能力.
解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB.
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h==.即点B到平面CMN的距离为.
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面 ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），
S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).
∴=（－4，0，0），=（0，2，2），
∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，
∴AC⊥SB.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为
平面CMN的一个法向量，
·n=3x+y=0，
则取z=1，则x=，y=-，
·n=－x+z=0，
∴n=(，－，1)，
又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(n，)==.
∴二面角N－CM－B的大小为arccos.
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d==.

9．【04湖北理】 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC
的中点，点F是棱CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.
[解] 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，
考查空间想象能力和推理运算能力.
解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；
内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=， ∴tan∠C1HC=.
∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.
故二面角C1—EF—A的大小为.
解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）

（1）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.





10．【04湖南理】 如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.
[解] （Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.



又PE : ED=2 : 1，所以
从而
（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面
PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为


所以


设点F是棱PC上的点，则

令 得

解得 即 时，
亦即，F是PC的中点时，、、共面.
又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，
证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①
由 知E是MD的中点.
连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.
所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
证法二
因为

所以 、、共面.
又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.
11．【04全国Ⅱ·理】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；
(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．

[解] 解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，
∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，
又BB1=1，∴A1B=2，
∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1
又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM，
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM









(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，
则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，
∴∠B1GF是所求二面角的平面角
又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.
∴cos∠B1GF=
即所求二面角的大小为π-arccos
解法二：如图以C为原点建立坐标系
(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,),
M(,1,0),(,,),(,-1,-1),
(0,,-),
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM
(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角，
cos
所以所求二面角的大小为π-arccos

12．【04全国Ⅲ·理】 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.
(1)求证 AB⊥BC ；
(II)如果 AB=BC=2，求AC与侧面PAC所成角的大小．


[解] ⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.
∵PA＝PC　∴PO⊥AC　
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA＝PB＝PC　∴AO＝BO＝CO
∴△ABC为直角三角形　∴AB⊥BC
⑵解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=AB=，AO= ∴
由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=.
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC
则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.

∴ ∴.
故AC与平面PBC所成的角为.

13．【04全国Ⅳ·理】 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.


[解] 本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.
（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为 所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得 所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

14． 如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明：P-ABC为正四面体；
(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的
大小；(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
【证明】 (1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.
【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,
∴PM=AM=,由D是PA的中点,得
sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.
(3)存在满足条件的直平行六面体.
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,
则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.
∵正四面体P-ABC的体积是,∴0
15．【04天津·理】 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小












【解】 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力
方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线， ∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，所以，PA // 平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴ ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而平面PDC，∴ ②
由①和②推得平面PBC
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角
由（2）知，
设正方形ABCD的边长为a，则
，

在中，
在中，，∴
所以，二面角C—PB—D的大小为
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

∴，这表明PA//EG
而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB

（2）证明；依题意得，





又，故 ∴
由已知，且，所以平面EFD
（3）解：设点F的坐标为，，
则从而
所以
由条件知，，即
，解得
∴点F的坐标为，且
，
∴
即，故是二面角C—PB—D的平面角
∵，且
，，
∴ ∴
所以，二面角C—PB—D的大小为

16 ．【04天津·文】 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC的中点
（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值





【解】 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力
方法一：
（1）证明：连结AC、AC交BD于O连结EO
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ 点O是AC的中点
在中，EO是中位线 ∴
而平面EDB且平面，所以，平面EDB
（2）解：作交CD于F连结BF，设正方形ABCD的边长为
∵ 底面ABCD ∴ ∴ F为DC的中点
∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角
在中，
∵ ∴ 在中
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设
（1）证明：连结AC，AC交BD于G连结EG依题意得，，
∵ 底面ABCD是正方形
∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为
∴
∴ 这表明
而平面且平面EDB ∴ 平面EDB
（2）解：依题意得，
取DC的中点 连结EF，BF
∵ ，，
∴ ， ∴ ，
∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角
在中，，∴
所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为

17．【04浙江·理】 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

【解】 方法一
(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE
∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在RtΔASB中， ∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，
∴PQ⊥平面ABF，平面ABF， ∴PQ⊥QF
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
又∵ΔPAF为直角三角形， ∴，
∴ 所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点

方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴ =(,
又点A、M的坐标分别是（）、（
∴ =（ ∴=且NE与AM不共线， ∴NE∥AM
又∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=（·=0，
∴=（·=0得
,∴NE为平面BDF的法向量
∴cos<>= ∴的夹角是60º
即所求二面角A—DF—B的大小是60º

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º
∴
解得或（舍去）， 即点P是AC的中点

18．【04重庆·理】 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值





[解]
（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD， 故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线.
（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，
垂足H在BE上. 易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH//DE， 因此OH⊥面MAE.
连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a， .
因Rt△ADE~Rt△PDA，故





选择题与填空题答案
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C
8．D 9．B 10．C 11．C 12．A 13．B 14．C
15．D 16．B 17．B 18．D 19．D
二、填空题
1．a 2．①②④ 3．②④ 4． 3:16 5． 6．