【原创】（新教材）下学期高一第一次月考卷 数学（A卷）

（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷

数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由已知及图形得到，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误，

故选C．

2．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，

若，，则的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，故选D．

3．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，作，，，延长OB至点C，使，

以OA，OC为邻边作矩形OCDA，

则，，即为与的夹角，

，

则向量在的方向上的投影为，故选A．

4．设向量与的夹角为θ，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，

，解得，即，

，所以，故选A．

5．下列命题中，不正确的是（    ）

A．若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角

B．在中，若，则

C．在中，若，则一定是直角三角形

D．任何三角形的三边之比不可能是1：2：3

【答案】B

【解析】对于A：由余弦定理可得，

又，所以，所以角C是锐角，故A正确；

对于B：由余弦定理可得，

又，所以，所以角A是锐角，所以，故B错误；

对于C：因为，，所以，

所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；

对于D：若三角形三边之比是1：2：3，不妨设三边为a，2a，3a，

则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，

故任何三角形的三边之比不可能是1：2：3，故D正确，

故选B．

6．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【解析】由题得，，

由题知，故，解得或，

故选C．

7．已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，

两边平方，得，

即，整理得，

所以或，

因为，所以，所以，

所以，故选B．

8．在中，设，那么动点M的轨迹必通过的（    ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【答案】C

【解析】设BC的中点是O，

，

即，所以，

所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过的外心，

故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有（    ）

A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上

B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上

C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外

D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内

【答案】BC

【解析】因为，

若λ+μ=1且λ>0，则，

故，即，

又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；

若λ+μ=1且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；

若λ+μ>1，，

同上可得，

当时，，根据向量加法的平行四边形法则可以看出，点P在△OBC外，

C正确；

若，不妨令，，则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误，

故选BC．

10．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】，

整理可得，

可得，

为三角形内角，，，故A正确，B错误；

，，

，，

，解得，

由余弦定理得，解得，

故C错误，D正确，

故选AD．

11．有下列说法其中正确的说法为（    ）

A．若，，则

B．若，，分别表示，的面积，

则

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．若，则存在唯一实数使得

【答案】BC

【解析】A选项错误，例如，推不出；

B选项，设AC的中点为M，BC的中点为D，

因为，所以，即，

所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的，

而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，

故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确；

C选项，两边平方可得，所以，即夹角为，结论正确；

D选项错误，例如，

故选BC．

12．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且

，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．是等边三角形

B．若，则，，，四点共圆

C．四边形面积最大值为

D．四边形面积最小值为

【答案】AC

【解析】由正弦定理，，，

得，

，，

，B是等腰的底角，，

，是等边三角形，A正确；

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确，知，，

但由于，，时，

，∴B不正确；

C正确，D不正确，

设，则，

，

，

，

，，

，∴C正确，D不正确，

故选AC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量，不共线，实数x，y满足，则_____．

【答案】3

【解析】∵，不共线，且，

∴，解得，

∴，故答案为3．

14．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min．

【答案】3

【解析】∵，，，

∴．

∴所需时间，

∴该船到达B处所需的时间为3min，故答案为3．

15．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由于，所以，

由正弦定理得，所以，，

所以

．

当，即时，，没有最大值，所以，

则，其中，

要使有最大值，则要能取，

由于，所以，所以，

即，解得．

所以的取值范围是，故答案为．

16．已知平面向量满足，，，则的取值范围是_________；已知向量是单位向量，若，且，则的取值范围是__________．

【答案】，

【解析】（1）由，，解得，

又由，

代入已知值可得，

化简可得，解得．

（2）因为是单位向量，且，

设，，设，

则，，

因为，即，

化简得，

所以表示线段上的点到点的距离，

所以；，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设，是不共线的非零向量，且，．

（1）证明：，可以作为一组基底；

（2）以，为基底，求向量的分解式；

（3）若，求λ，μ的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）证明：若，共线，则存在λ∈R，使，则，

由，不共线得，

所以λ不存在，故平面向量，不共线，可以作为一组基底．

（2）解：设(m，n∈R)，得：

，

因为，，是不共线的非零向量，

所以，

所以．

（3）解：由得：

，

又，是不共线的非零向量，所以，

故所求λ，μ的值分别为3和1．

18．（12分）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）若，，求；

（2）若，求b的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意得，，得，

又，所以，

由余弦定理得，得，而，解得，

故为等边三角形，所以．

（2）依题意，由正弦定理得，则，

由于是锐角三角形，则，，，

得，

则b的取值范围为．

19．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，，．

（1）求外接圆的面积；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，

由正弦定理得，

因为，所以，得，

又，故，

∴外接圆的半径，

∴外接圆的面积为．

（2）由及，得，，

∵，则为锐角，

∴，故．

如图所示，在中，由余弦定理得，

，

解得，

则的周长为．

20．（12分）已知O是所在平面内一点，D为BC边中点．

（1）若点O满足，求证：；

（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，的面积为2，求的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）面积为12．

【解析】（1）∵D为BC边中点，∴，

∴由，得，

∴．

（2）如图，

根据条件：，

∴，∴，

又，∴，

所以，

即的面积为12．

21．（12分）如图，在四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）12．

【解析】（1）在中，，

，

利用正弦定理得，

，

又为钝角，为锐角，．

（2）在中，由余弦定理得，

解得或（舍去），

在中，，设，，

由余弦定理得，即，

整理得，

又，，

利用基本不等式得，即，

即，当且仅当时，等号成立，即，

所以，

所以周长的最大值为12．

22．（12分）在中，．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，求周长的最小值．

【答案】（1）；（2）12．

【解析】（1）由题意，，，

由余弦定理可得，，

，

的最大值为．

（2），，

又，，

，，

周长为，

当且仅当时，周长的最小值为12．