2021年高一下学期第一次月考卷 数学（B卷）-原卷版

（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷

数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量，，若，则实数（    ）

A．0 B． C．1 D．3

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则是（    ）

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．等边三角形  D．等腰直角三角形

3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东的方向，此船的航速是（    ）

A．海里/时 B．海里/时

C．海里/时 D．海里/时

4．在中，，且的面积为，则外接圆的半径的最小值是（    ）

A． B．6 C． D．12

5．已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（    ）

A．在方向上的投影一定是m

B．在方向上的投影一定是km

C．在方向上的投影一定是km

D．在方向上的投影一定m

7．在中，内角所对的边分别为，给出下列四个结论：①若，则；②；③若，则；④等式一定成立，以上结论正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若

，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

10．在锐角中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（    ）

A． B．

C．  D．

11．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（    ）

A．

B．

C．

D．满足的实数与的和为定值4

12．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ）

A．若，则点O为的重心

B．若，则点O为的垂心

C．若，则点O为的外心

D．若，则点O为的内心

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量满足，且，则的取值范围是___________．

14．在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．

若，则的值为______．

15．已知中，角，，所对的边分别为，，．，，的面积为4，则______．

16．已知，，，为的角平分线，则（i）面积的取值范围为______．（ii）的最小值为_____．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，，(t∈R)，O是坐标原点．

（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；

（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．

18．（12分）在中，．

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长．

19．（12分）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．

（1）若，求的面积；

（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．

20．（12分）在中，，，分别为角，，的对边，

．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．

21．（12分）已知向量，，，且A为的内角．

（1）求角A的大小；

（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长．

22．（12分）已知中，角所对的边分别为，满足．

（1）求的大小；

（2）如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．

（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷

数学（B）答案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】因为向量，，且，

所以，即，

所以有，解得，故选B．

2．【答案】A

【解析】在△ABC中，因为，所以，所以．

由余弦定理，知，所以，即，

所以△ABC是直角三角形，故选A．

3．【答案】D

【解析】由题意得在中，，，．

由正弦定理得，即，得，

因此此船的航速为 (海里/小时)，故选D．

4．【答案】A

【解析】由三角形的面积公式可得，则，

由余弦定理可得，即，

则外接圆的半径（当且仅当时，等号成立）．

所以外接圆的半径的最小值是，故选A．

5．【答案】B

【解析】由，平方可得，

即，则，所以，

故选B．

6．【答案】D

【解析】∵在方向上的投影是m，∴，

∵，，，，，

∴在方向上的投影为，当k>0时，在方向上的投影为m，

故选D．

7．【答案】C

【解析】对于①：在三角形中，∵，∴，

由正弦定理，∴，故①正确；

对于②：正弦定理及等比性质得，故②正确；

对于③：∵，∴或，即或，故③错误；

对于④：在三角形中，因为，所以，

所以，即，

展开得，

由正弦定理，得，故④正确，

正确的有①②④，故选C．

8．【答案】B

【解析】依题意，，

故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ABC

【解析】由，

两边同时平方得，即，

因为平面向量、、为三个单位向量，且，

，

，解得，

故选ABC．

10．【答案】BC

【解析】对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则，

由正弦定理得，故A错误；

因为是锐角三角形，所以，

所以B对，同理C对；

对于D，由于，，所以D错，

故选BC．

11．【答案】BCD

【解析】A．因为，所以，故错误；

B．，

，故正确；

C．建立如图所示平面直角坐标系：

设，则，，，

所以，，

所以

，故正确；

D．由，得，

所以，故正确，

故选BCD．

12．【答案】AC

【解析】选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；

选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，

同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；

选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，

同理有，于是O为的外心；

选项D，由，得，

∴，即，∴．

同理可证，，

∴，，，即点O是的垂心，

故选AC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】设与的夹角为，

因为，，

则

，

所以，即，

所以，即，解得，

即的取值范围是，故答案为．

14．【答案】

【解析】如图，结合题意绘出图象：

因为，，

所以，，

则，，

故

，

因为，所以，解得，，

，故答案为．

15．【答案】6

【解析】由，得，

所以．

因为，所以，即，

解得，，

所以，，

故，所以．

由余弦定理及，可得，

解得，

故答案为．

16．【答案】，9

【解析】（i）在中，由余弦定理可得，

即，解得，

当且仅当时等号成立．

所以，

所以面积的取值范围为．

（ii）为的角平分线，，

所以，，

所以，

即，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值为9，

故答案为，9．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）当时，的最小值为．

【解析】（1），，

∵A，B，M三点共线，

∴与共线，即，

∴，解得．

（2），，，

∴当时，取得最小值．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，

得，

∴，即，

∴．

由正弦定理，得，

又，∴，即，，

∴．

（2）由，的面积为，得，

解得，即．

由余弦定理，可得，

解得．

∴的周长为．

19．【答案】（1）；（2）不能成立，理由见解析．

【解析】（1）由，得，，

即．

又∵，∴．

∵，∴，．

∴．

（2）假设能成立，∴．

由余弦定理得，∴．

∴，∴，∴或（舍），

此时，不满足，∴不成立．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，

结合正弦定理，得．

再由余弦定理，得，

又，则．

（2）由，，

则由正弦定理，有

，

因为为锐角三角形，则，则．

所以的取值范围为．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，所以，所以，

因为，所以．

（2）因为，所以，

又，，

所以在中，由正弦定理，可得，

所以，

所以在中，．

在中，由余弦定理，可得，

所以．

在中，由余弦定理，得，

所以．

22．【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积取得最大值．

【解析】（1）（法一）：在中，由正弦定理得，

，

，

，，

，故．

（法二）在中，由余弦定理得，

，，

，故．

（2）由（1）知，且，为等边三角形，

设，则在中，由余弦定理得，

，，

四边形的面积，

，，∴当，即时，，

所以当时，四边形的面积取得最大值．