2020-2021学年1.3 空间几何体的表面积与体积教学设计
展开学员编号： 年 级： 课时数： 3 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： | |
课 题 | 空间几何体的表面积和体积 |
授课日期及时段 |
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教学目的 | （1）通过对柱、锥、台体、球的研究，了解柱、锥、台、球的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解柱体、锥体、台体、球的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 |
教学内容 | |
一、课前检测 1．已知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm，则该圆锥的侧面积为_________． 2．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ． 3．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与 BM成60o角；④DM与NB垂直．以上四个命题中， 正确命题的序号是 ． 4．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 ． 5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积 是 ．
二、知识梳理 一、空间几何体的表面积 问题1：有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发，沿着圆柱侧面爬行一周，到达上底面圆周上一点B（线段AB是圆柱的一条母线），问蚂蚁爬行的最短路线是多长？ 平面展开图：沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形，这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。 （一）棱柱、棱锥、棱台的侧面积 1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 ◆S直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高。
2、正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 性质： （1）正棱锥的侧棱长相等。 （2）侧棱和底面所成的角相等。 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。 ◆S正棱锥侧＝ch´（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高） 3、正棱台 定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台。 侧面展开图是由各个侧面组成的。 S正棱台侧＝ （c ＋ c’）h’ （其中c，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）。
（二）、圆柱、圆锥、圆台的侧面积 把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。 1、圆柱的侧面积 ◆如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是
2、圆锥的侧面积 ◆如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是 3、圆台的侧面积 ◆如果圆台的上、下面半径是周长分别是侧面母线长是，那么它的侧面积是
二、柱锥台的体积公式 长方体的体积公式是什么？如：某长方体的长宽高分别是7cm,5cm，4cm，其体积为多少，即为多少个正方体？
1、祖暅原理 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。 2、柱体的体积公式 3、锥体的体积公式 4、台体的体积计算公式 ◆柱体，锥体，台体之间的关系： 5、球体的体积公式与表面积公式 （1）利用祖暅原理可得 （2）利用极限的思想推导出球的表面积公式：S球面＝4πR2 | |
三、重难点突破 1. 有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1 cm） 解：由题意知：BC＝5 cm，AB＝8，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC＝
2. 如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）。 解：V正四棱台＝ V长方体＝6＝864 V球 ＝ V＝ V正四棱台 ＋ V长方体＋ V球
3、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与底边边长x的函数关系式. 4、有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等于5cm，求它的内径.(钢的密度为，精确到) 5、表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.
四、课堂练习 1.如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（ ） A． B． C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S 2、已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 解析：1、解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A； 2、正六棱台上下底面面积分别为：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝，答案B。 点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 3、一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A． B． C． D． 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr. ∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2， ∴。答案为A。 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 4、如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 5、在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A．π B．π C．π D．π 6、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ） A．3π B．3π C．6π D．9π 解析：5、如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。 ∴，答案D。 6、∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝， ∴a2＝4，a＝2，a=2r， ∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 7、如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 解析：如图所示，由题意知，πr2h＝πR2h， ∴r＝． 又△ABO∽△CAO， ∴，∴OA2＝r·R＝， ∴cosθ＝，答案为D。 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 8、．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。 解：设截面圆心为，连结，设球半径为， 则， 在中，， ∴， 五、课堂小结 1.柱体的表面积和体积：柱体的表面积是侧面积与上、下底面面积之和.直棱柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；圆柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；
3.台体的表面积和体积：棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，因此侧面积为各个梯形面积之和，一个圆台的侧面展开图是一个扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积，所以它们的表面积为；圆台的上底面半径为，下底面半径为，则圆台的侧面积为，圆台的表面积为： 4.球体的表面积和体积：半径为的球体的表面积为，体积为；
【方法指导】 2.圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式有何联系？
六、课后作业 一、选择题 1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ） A．10cm B．5cm C．5cm D．cm 4．中心角为π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（ ） A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（a<b），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ） A．3（b2－a2） B．2（b2－a2） C．（b2－a2） D．（b2－a2） 6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ） A．1∶2∶3 B．1∶3∶5 C．1∶2∶4 D．1∶3∶9 7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ） A．3∶5 B．9∶25 C．5∶ D．7∶9 8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A． B． C． D． 9．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ） A． B． C． D． 10．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ） A．40 B． C． D．30 二、填空题 11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是______． 12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______． 13．圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______． 14．圆台的母线长是3 cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______． 三、解答题 15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长． 16．圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少? 17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．
参考答案
一、选择题 1．C 设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意 2a2＋c2＝81① 2a2＋4ac2＝144 即a2＋2ac2＝72② ①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C． 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D 8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr． ∴＝＝＝＝． ∴应选A． 9．A 10．B 可计算出直截面的周长为5＋，则S侧＝4（5＋）＝20（1＋）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□＋＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋）． 二、填空题 11．． 设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，·h＝N， 2（a＋b）h＝2·h＝·h＝． 12． 13．；60° 14．cm；cm，cm 三、解答题． 15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点． 则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC． 在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝，A1D1＝． 在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝（AD－A1D1）＝（a－x）． 则D1D＝2ED＝（a－x），由题意S＝3·． 即S＝（a2－x2）．解得x＝． 16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，[来源:21世纪教育网] 则＝，SO1＝·O1C＝， ∴OO1＝SO－SO1＝12－，则圆柱的全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－）x＋2πx2＝2π（12x－）． 当x＝cm时，S取到最大值cm2． 17．如图扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最知路程，由已知SA＝SA′＝3r，θ＝360°＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝． | |
人教版新课标A必修21.2 空间几何体的三视图和直观图教案设计： 这是一份人教版新课标A必修21.2 空间几何体的三视图和直观图教案设计，共2页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学思路等内容，欢迎下载使用。
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