第5讲 利用导数研究不等式问题（解析版）

第5讲  利用导数研究不等式问题

【题型精讲】

题型一：构造法证明不等式

1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意，当时，.

【答案】

（1）答案见解析

（2）证明见解析

（1）

由，

令，解得，，

①当，

由，解得或，

由，解得，

故在，上单调递增；

在上单调递减，

②当，，在上单调递增;

③当，由，解得或，

由，解得

故在，上单调递增；

在上单调递减，

综上所述，当时，

在，上单调递增；在上单调递减，

当，在上单调递增;

当，在，上单调递增；

在上单调递减.

（2）

证明：对任意，当时，要证，

需证，，

令，

则，

令，

则，因为，，所以，

所以，

所以时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即，原不等式成立.

2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：.

【答案】

（1）答案不唯一，见解析

（2）证明见解析

（1）

由题意知的定义域为.由已知得

当时,在上单调递增,无单调递减区间.

当时,令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）

证明：原不等式等价于，则，

易知在上单调递增，且，

所以在上存在唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增，

要证即要证，由，得,，代入,得，

因为，

所以.

3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，.

【答案】

（1）答案见解析

（2）证明见解析

（1）

解：.

①当时，，函数在R上单调递增；

②当时，由解得，由解得.

故在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）

证明：原不等式等价于.

令，则.

当时，；当时，.

∴，即，当且仅当时等号成立.

当时，显然成立；当且时，.

欲证对任意的，成立，只需证

令，令

递减，递增

故存在，使

又由，

所以时，，递增，

时，，递减，

时，，递增，又，

故时，.

综上所述，结论得证

题型二：等价转化法解决不等式恒成立问题

1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.

（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；

（2）若对上，总有成立，试求实数的最小值.

【答案】

（1）

（2）

（1）

依题意知，，，所以，.

设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，，

则有解得；同理，有解得.

所以，即所求切线，的斜率之积为.

（2）

由于对上，总有成立，即对，有恒成立.

令（），则.

令（），则有（），

所以函数在区间上为单调递增函数.

因为，所以，，

所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得，

即. ①

所以当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以函数在处取得极小值，即最小值，

即.②

又由①得，，所以，所以.则由②得，.

令，所以（），

所以函数在区间上为单调递减函数.

又，因此.所以.

由于，所以，即所求实数的最小值为.

2．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数，其中．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

（1）

解：当时，因为，

所以，

所以，，

所求切线的方程为，即．

（2）

因为，

所以．

令，得，令，得或．

所以的单调递减区间是，单调递增区间是，

①若，即，在上单调递增，在上单调递减．

因为在区间上，恒成立，

所以解得．

又，

所以．

②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

因为在区间上，恒成立，

所以解得．

又，

所以．

综上，，

所以的取值范围是．

3．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

（1）

因为，所以，，

即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为，

即为.

（2）

当时，函数的图象均在轴下方，

即当时，函数恒成立，所以有在时恒成立，

即，

令，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，故在取得最大值，

最大值为，所以，

故实数的取值范围是．

题型三：等价转化法解决不等式能成立问题

1．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.

(1)求的最小值；

(2)当实数取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)2；(2).

【详解】

(1)由题意可知，在恒成立，

故在恒成立，即，解得，

故的最小值为2；

(2)当时，存在实数x使不等式成立，

由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，

不妨令，即，

由，；；

故在上单调递增，在单调递减，

从而的最大值为，即，

故实数k的取值范围为.

2．（2021·北京市海淀外国语实验学校高三月考）已知函数，其中.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

由得.

（1）所以.

又因为.

故所求的切线方程为.

（2）因为

令，得，，

此时，随的变化如下：

由题意，要想存在实数，使得不等式的解集为

只需或

因为，

所以

所以的取值范围为.

3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）．

【详解】

（1）

又时，或时，

在单调递增，在单调递减.

（2）∵存在使成立，由（1）可得，

①当时，

即，令，

在单调递增，在单调递减，恒成立，

即当时，不等式恒成立；

(另解：当时，在单调递减，单调递增，

.)

②当时，在单调递增，，

，

综合①②得．

【课后精练】

1．（2021·吉林·高三开学考试（理））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题意，函数的定义域为，且，

当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：由（1）得在）上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以，

因为，所以则，

即,即.

2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若有两个零点，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由得：，

当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

有且仅有一个极小值点，无极大值点.

综上所述：当时，无极值点；当时，有且仅有一个极小值点，无极大值点.

（2）证明：由（1）可知：当时，有一个极小值点，且极小值为；

当时，，函数没有零点；

当时，，函数只有一个零点；

当时，，又，

，使得；

又，

，使得，

当时，有两个零点.

记，则，

记，则，

，，在上单调递增，，

即，在上单调递增，，

即恒成立，原不等式得证.

3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（文））已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）当时，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）解：依题意，，

令，则，

令，解得，

故当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

故，则，故函数在上单调递减.

（2）证明：要证，

即证，

令，则，

由（1）知，当时，，故在上单调递减，

所以，

又，所以.

设，则.

又在区间上单调递增，所以，

故，

所以当时，.

4．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意都有，求实数的取值范围.

【答案】

（1）单调递增区间单调递减区间

（2）

（1）

函数定义域是，

由已知，

时，，时，，

所以单调递增区间，单调递减区间；

（2）

因为对任意都有，即恒成立.

令，则.

令，则在上单调递增，因为，

所以存在使得，

当时单调递增，

当时单调递减.

所以 ，

由于，可得.则，

所以，

又恒成立，所以.

综上所述实数a的取值范围为.

5．（2021·安徽·高三月考（文））已知函数.

（1）若函数为增函数，求的取值范围；

（2）当，若在定义域内恒成立，求的值.

【答案】

（1）

（2）2

（1）

根据题意可得的定义域为，，则，

∵在定义域内为增函数，

∴在上恒成立，即在上恒成立，则，

∵，当时，等号成立，

∴，即m的取值范围为.

（2）

∵在定义域内恒成立，

∴在上恒成立，

令，则.

∵，

∴令，解得，即在上单调递增，

令，解得，即在上单调递减，

∴，

要使在定义域内恒成立，即，即，

令（其中），则，

∴当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

∴，即，

∴要使，只能取，即，

综上所述，m的值为2.

6．（2021·全国·高三专题练习）设函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任何恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.

【详解】

（1）由条件得，

∵在点处的切线与垂直，

∴此切线的斜率为0，即，有，得，

∴，由得，由得．

∴在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得极小值．

故的单调递减区间为，极小值为2

（2）条件等价于对任意恒成立，

设．　

则在上单调递减，

则在上恒成立，得恒成立，

∴（对仅在时成立），

故的取值范围是

7．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）设函数，.

（1）讨论函数零点的个数；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】

（1）答案见解析

（2）

（1）

函数，

令，得，

设，

则，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以的最大值为，

又，可知：

①当时，函数没有零点，

②当时，函数有且仅有1个零点，

③当时，函数有2个零点，

④当时，函数有且只有1个零点.

综上所述，当时，函数没有零点；

当或时，函数有且仅有1个零点；

当时，函数有2个零点.

（2）

对任意，恒成立，

等价于恒成立，

设，则，

可得在上单调递减，

所以在上恒成立，

分离m可得恒成立，

所以，所以m的取值范围是.

8．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2），，使成立，求的取值范围.

【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.

【详解】

解：（1）因为，所以，且定义域为，

令，解得或，

当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为.

（2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以，

即在上，因为，所以，，

当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，

所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又，

所以的取值范围为.

9．（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，.

（1）在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【详解】

（1）已知，，则，

所以函数在处的切线方程为：，即.

（2）

令，解得，则时，，函数单调递增

，时，，函数单调递减

①时，函数在单调递增，

②时，，则时，函数数取得极小值即最小值，

综上，，；，

(3)存在使得 ，

设，，

当时，，单调递减，，，单调递增，

所以当时，取得最小值，所以恒成立，所以

恒成立，

令，，则，

因为，所以，即，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

，，

所以，

所以

10．（2021·江西南昌·三模（理））已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．

（1）求函数的解析式；

（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．

【答案】（1）；（2）m的最大正整数为4．

【详解】

（1）因为是增函数，所以当时，是增函数，

又因为为偶函数，所以，即，

当时，，所以，

所以．

（2）因为，都有，所以，

当时，，则，即，

当时，同理可得，

所以．

同样地，由及，得到，

当，存在的最小值为，

由题意知，，即，

令，则

当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以在上单调递增，

因为，，，

所以存在，使得，所以的解集为，

所以m的最大正整数为4．