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2021届山西省阳泉市高三上学期期末考试数学（文）试题
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山西省阳泉市2020—2021学年度第一学期期末考试试题高三文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A． B． C． D．2.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 ( )A．－3 B．－1 C．1 D．33.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）如图，AB是单位圆O的直径，且满足，则（ ）A．1 B． C． D．5.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了14人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（ ）A． B． C． D．6.双曲线的左、右焦点分别为.过作斜率为的直线交轴于点，交双曲线右支交于点，若，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.7.设变量满足约束条件则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．108.在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于（ ）A．66 B．132 C．-66 D．-1329.执行下边的程序框图，如果输入的为0.001，则输出S的值等于A． B． C． D．10.已知函数若,则( )A. B. C. D. 11.若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，现有命题：①的最大值为0 ； ②的图像关于轴对称；③的周期为；④的图像关于直线对称.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.1第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.14.已知为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则三角形的面积为__________.15.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，______.16.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（Ⅱ）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.18.（本小题满分12分）在中，三边，，的对角分别为，，，已知，（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若边上的中线长为，求的长.19．（本小题满分12分）如图，在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（Ⅰ）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（Ⅱ）若，求的值．21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若在处取到极值，求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求的取值范围．请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.选修4－4：坐标系与参数方程22．（本小题满分10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．选修4－5：不等式选讲23．（本小题满分10分）已知，，为正数，函数.（1）若，求函数的最小值；（2）若且，，不全相等，求证：. 高三文科数学参考答案一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13． 14．5 15． 16．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．）17.（Ⅰ）由样本数据可知，在昼批次的20个样本中有2个不合格品，有18个合格品，合格品的比率为，因此昼批次合格品概率估计值为0.9.在夜批次的20个样本中有4个不合格品，有16个合格品，合格品的比率为，因此夜批次合格品概率估计值为0.8；（Ⅱ）昼批次合格品的概率为0.9，不合格品的概率为0.1，所以1000件产品中合格品的均值为900件，不合格品的均值为100件，所以利润为（元）；夜批次合格品的概率为0.8，不合格品的概率为0.2，所以1000件产品中合格品的均值为800件，不合格品的均值为200件，所以利润为（元）．故这台车床一天的总利润的平均值为（元）.18.（Ⅰ）∵，由正弦定理，得，∴.∴.又∵，∴.∵，∴，又∵，∴，∴．（Ⅱ）设边上的中线为，则，∴，即，，解得，或（舍去），∵，∴．19.（Ⅰ）证明：如图所示：Q为CD的中点，连接NQ，PQ，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．所以QP⊥AC，AC⊥NQ，QP∩NQ＝Q，所以AC⊥平面NPQ，∵NP⊂平面NPQ，∴AC⊥NP；（Ⅱ）解：如图所示：连接PB1，B1M，四边形MDPB1是平行四边形，则 ∴四面体DMNP的体积为．20.（Ⅰ）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．∴的方程为．（Ⅱ）由，可得．由，得．∴．从而，故．代入的方程得．代入直线方程可得 .设直线与轴交于点，则.∴．21.（Ⅰ）由，得，∵，∴．∴，令，则， ∴在 上单调递增．又∵，∴当时，，当时，．令，解得，，解得，∴的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）当时，，不合题意．当时，由（1）知，故，满足题意．当时，，满足题意．综上，的取值范围是．22．（1）将消去参数，化为普通方程，即，将代入，得，所以的极坐标方程为；，，，所以的普通方程为.（2）由，解得或，所以与的交点的极坐标分别为，．23．解：（1）因为，所以法1：由上可得：所以，当时，函数的最小值为2法2：当且仅当，即时取得最小值2（2）证明：因为，，为正数，所以要证即证明就行了法1：因为（当且仅当时取等号）又因为即且，，不全相等，所以即法2：因为当且仅当时取等号又因为即且，，不全相等，所以，即． 题号123456789101112答案CDCBBDADCABA
山西省阳泉市2020—2021学年度第一学期期末考试试题高三文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A． B． C． D．2.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 ( )A．－3 B．－1 C．1 D．33.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）如图，AB是单位圆O的直径，且满足，则（ ）A．1 B． C． D．5.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了14人，高二年级抽了人，则该校高一年级学生人数为（ ）A． B． C． D．6.双曲线的左、右焦点分别为.过作斜率为的直线交轴于点，交双曲线右支交于点，若，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.7.设变量满足约束条件则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．108.在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于（ ）A．66 B．132 C．-66 D．-1329.执行下边的程序框图，如果输入的为0.001，则输出S的值等于A． B． C． D．10.已知函数若,则( )A. B. C. D. 11.若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 12.已知函数，现有命题：①的最大值为0 ； ②的图像关于轴对称；③的周期为；④的图像关于直线对称.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.1第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.14.已知为椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则三角形的面积为__________.15.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，______.16.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（Ⅱ）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.18.（本小题满分12分）在中，三边，，的对角分别为，，，已知，（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若边上的中线长为，求的长.19．（本小题满分12分）如图，在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥NP；（Ⅱ）求四面体DMNP的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（Ⅰ）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（Ⅱ）若，求的值．21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若在处取到极值，求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求的取值范围．请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.选修4－4：坐标系与参数方程22．（本小题满分10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．选修4－5：不等式选讲23．（本小题满分10分）已知，，为正数，函数.（1）若，求函数的最小值；（2）若且，，不全相等，求证：. 高三文科数学参考答案一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13． 14．5 15． 16．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．）17.（Ⅰ）由样本数据可知，在昼批次的20个样本中有2个不合格品，有18个合格品，合格品的比率为，因此昼批次合格品概率估计值为0.9.在夜批次的20个样本中有4个不合格品，有16个合格品，合格品的比率为，因此夜批次合格品概率估计值为0.8；（Ⅱ）昼批次合格品的概率为0.9，不合格品的概率为0.1，所以1000件产品中合格品的均值为900件，不合格品的均值为100件，所以利润为（元）；夜批次合格品的概率为0.8，不合格品的概率为0.2，所以1000件产品中合格品的均值为800件，不合格品的均值为200件，所以利润为（元）．故这台车床一天的总利润的平均值为（元）.18.（Ⅰ）∵，由正弦定理，得，∴.∴.又∵，∴.∵，∴，又∵，∴，∴．（Ⅱ）设边上的中线为，则，∴，即，，解得，或（舍去），∵，∴．19.（Ⅰ）证明：如图所示：Q为CD的中点，连接NQ，PQ，M，N，P分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．所以QP⊥AC，AC⊥NQ，QP∩NQ＝Q，所以AC⊥平面NPQ，∵NP⊂平面NPQ，∴AC⊥NP；（Ⅱ）解：如图所示：连接PB1，B1M，四边形MDPB1是平行四边形，则 ∴四面体DMNP的体积为．20.（Ⅰ）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．∴的方程为．（Ⅱ）由，可得．由，得．∴．从而，故．代入的方程得．代入直线方程可得 .设直线与轴交于点，则.∴．21.（Ⅰ）由，得，∵，∴．∴，令，则， ∴在 上单调递增．又∵，∴当时，，当时，．令，解得，，解得，∴的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）当时，，不合题意．当时，由（1）知，故，满足题意．当时，，满足题意．综上，的取值范围是．22．（1）将消去参数，化为普通方程，即，将代入，得，所以的极坐标方程为；，，，所以的普通方程为.（2）由，解得或，所以与的交点的极坐标分别为，．23．解：（1）因为，所以法1：由上可得：所以，当时，函数的最小值为2法2：当且仅当，即时取得最小值2（2）证明：因为，，为正数，所以要证即证明就行了法1：因为（当且仅当时取等号）又因为即且，，不全相等，所以即法2：因为当且仅当时取等号又因为即且，，不全相等，所以，即． 题号123456789101112答案CDCBBDADCABA
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