2022届新高考一轮复习 第七章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法 教案

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第七章 数列
第1讲 数列的概念与简单表示法
复习要求
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
2．了解数列是自变量为整数的一类特殊函数．
知识梳理
一、数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列的第项
通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系能用公式表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列中，叫做数列的前项和

二、数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
2．图象法
数列的图象是一系列孤立的点．
3．公式法
（1）通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如．
（2）递推公式法：使用初始值和或，和来表示数列的方法．
三、与的关系
若数列的前项和为，则．
四、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列

其中
递减数列

常数列








一由数列的前几项写出数列的通项公式

【例1】写出下列数列的一个通项公式．
（1），，，，…；
（2）1，0，，0，，0，，…；
（3），，，…；
（4），，，，…．

【变式1．1】观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
（1）1，3，7，____，31，____，127；
（2）2，5，____，17，26，____，50；
（3），，____，，，____，；
（4）1，，____，2，，____，．
二由与的关系求
【例2】数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2．1】已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________．
【例3】记首项为1的数列的前项和为，且时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3．1】在数列中，若且，求数列的通项公式．
【例4】数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4．1】已知数列满足，求．
三由递推关系求数列的通项公式
【例5】已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式5．1】设数列满足，，求数列的通项公式．


【例6】已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知数列满足，若，则数列的通项公式______；若，则数列的通项公式______．
【变式7．1】已知数列的首项，且，求数列的通项公式．




【例8】在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【变式8．1】已知数列满足，且，求的通项公式．
【例9】（多选）已知数列满足，，数列的前2n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【变式9．1】已知数列满足：，（，），
则___________．
【例10】已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．
【变式10．1】在数列中，已知，求数列的通项公式．
【例11】已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
【变式11．1】已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式．




四数列的单调性与最值问题
【例12】已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是________．
【变式12．1】已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________．
【例13】已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式13．1】在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B． C． D．108

课后作业
一、选择题．
1．数列…的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项
C．第4项 D．第2项、第3项
二、填空题．
4．数列的前五项是，则的一个通项公式为___________．
5．已知一个数列前项和，则它的通项公式__________．
6．已知数列的前n项和为，且满足，，则_________．
7．已知数列中，，，则_________．
8．已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，，（n∈N*），则S5＝_________；数列{an}的通项公式为___________．
9．已知首项为1的数列各项均为正数，且对任意正整数恒成立，若满足不等式的正整数有且只有两个，则实数的取值范围为___________．

三、解答题．
10．已知数列中，，，证明：数列是等比数列．
11．已知数列的通项公式为．
（1）数列的第几项最大，最大项为多少？
（2）若，求正整数m的最小值．
12．已知数列满足，求出数列的通项公式．


13．已知数列中，，，求数列的通项公式．


14．已知数列中，，，（，），
求的通项公式．


15．已知数列，满足，，．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）求．


16．已知在数列中，是常数，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的前项和．




【例1】写出下列数列的一个通项公式．
（1），，，，…；
（2）1，0，，0，，0，，…；
（3），，，…；
（4），，，，…．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可．
（1）所给数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（2）由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为．
（3）由原数列可写成，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（4）由数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
【变式1．1】观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
（1）1，3，7，____，31，____，127；
（2）2，5，____，17，26，____，50；
（3），，____，，，____，；
（4）1，，____，2，，____，．
【答案】（1）；，；（2）10；37，；（3）；，；（4）；，．
【解析】（1）观察数列得各项加1后是2的幂次，应填空；，．
（2）观察数列得各项减1后是正整数的平方，应填空10；37，．
（3）观察数列得后项等于前项乘以，应填空；，．
（4）观察数列得各项都化为二次根式后，为正整数的正的平方根，应填空；，．



【例2】数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】时，，
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以，故选C．
【变式2．1】已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为___________．
【答案】
【解析】由题意，，故，
两式相减可得，
在中，令，可得，即，
因此数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，
有，
故答案为．
【例3】记首项为1的数列的前项和为，且时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
则，即，
可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，，
所以，故选D．
【变式3．1】在数列中，若且，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】∵，∴，∴，
∴是首项为，公差为的等差数列，
，∴．
当时，，
所以．
【例4】数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，则有；
当时，由，①
可得，②
①②可得，所以，，满足，
故对任意的，，故选D．
【变式4．1】已知数列满足，求．
【答案】．
【解析】设，前项和．
当时，，
当时，，
检验：，所以．
即，．


【例5】已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，即，
当时，
，
，解得，
当时，上式成立，
故，故，故选B．
【变式5．1】设数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】由题意，
故，，，，
累加可得，
即，经检验，也满足，
所以数列的通项公式为．
【例6】已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以，故选D．
【变式6．1】已知正项数列满足，且，求的通项公式．
【答案】．
【解析】由已知，得，
因为数列是正项数列，所以，即，
故，
累乘得，，
又也满足上式，故的通项．
【例7】已知数列满足，若，则数列的通项公式______；若，则数列的通项公式______．
【答案】，
【解析】当时，得，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，所以数列的通项公式．
当时，得，所以．
又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式，
故答案为；．
【变式7．1】已知数列的首项，且，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】，，，即，
所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
，即．
【例8】在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，故选A．
【变式8．1】已知数列满足，且，求的通项公式．
【答案】．
【解析】由，可得，
因为，所以，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以．
【例9】（多选）已知数列满足，，数列的前2n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】BD
【解析】根据题意，，
所以为公差为1的等差数列，
当时，，所以，
所以，则数列不是等比数列，因此选项A不正确；
所以，数列是等差数列，因此选项B正确；
所以，不为等差数列，因此选项C不正确；
，因此选项D正确，
故选BD．
【变式9．1】已知数列满足：，（，），
则___________．
【答案】
【解析】由题设，，即，
而，∴是首项、公差均为的等差数列，即，
∴，
故答案为．
【例10】已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】∵，∴，
即，∴，
且，，则，
又，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列，
∴，
故答案为．
【变式10．1】在数列中，已知，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】依题意，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
【例11】已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴，解得或，
当，时，，
∴是以首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴；
当，时，，
∴是以首项为，公比为的等比数列，
∴，
设，解得，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，故选A．
【变式11．1】已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】因为，
所以，即，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因为，，，，，
以上各式累加可得
，
因为，所以．

【例12】已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】数列是递增数列，
又，，
且，，解得或，
故实数的取值范围是，
故答案为．
【变式12．1】已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由数列是严格单调递增数列，
所以，即，
即恒成立，
又数列是单调递增数列，
所以当时，取得最小值，所以，
故答案为．
【例13】已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
当时，，此时，
综上，数列的通项公式为．
∴，
记，则在与上都是增函数，
∴数列的最小项是第6项，值为，故选C．
【变式13．1】在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B． C． D．108
【答案】D
【解析】，
因为，且，
所以此数列最大项为，故选D．
课后作业
一、选择题．
1．数列…的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，数列9，99，999，9999，的通项是，
所以的通项是，故选B．
2．已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，；
当时，，
整理得，即，
由累乘法，得，
又，解得，满足上式，
综上，，故选A．
3．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项
C．第4项 D．第2项、第3项
【答案】D
【解析】由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项，故选D．

二、填空题．
4．数列的前五项是，则的一个通项公式为___________．
【答案】
【解析】由题意，数列的前五项是，
即，则，
故答案为．
5．已知一个数列前项和，则它的通项公式__________．
【答案】
【解析】由题意，由项和转换公式可得，
故答案为．
6．已知数列的前n项和为，且满足，，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以时，，
即，化简得，
又，
所以，
检验时也成立，
所以，所以，
故答案为．
7．已知数列中，，，则_________．
【答案】
【解析】因为，
所以，，…，，
所以当时，

，
又满足，所以，
所以，
故答案为．
8．已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，，（n∈N*），则S5＝_________；数列{an}的通项公式为___________．
【答案】25；
【解析】，且，则，
转换为，
数列的各项均为正数，所以（常数），
所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，
故，则，
所以；
当时，，
当时，等式也成立，
所以，
故答案为25；．
9．已知首项为1的数列各项均为正数，且对任意正整数恒成立，若满足不等式的正整数有且只有两个，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为数列各项均为正数，所以，
所以，所以，所以为常数列，
由，所以，所以．
即满足不等式的正整数有且只有两个，
记，对称轴为，在上单增．
要使满足不等式的正整数有且只有两个，只能是和成立，不成立．
所以n=1时，有，n=2时，有，n=3时，有，
所以，解得，
故答案为．

三、解答题．
10．已知数列中，，，证明：数列是等比数列．
【答案】证明见解析．
【解析】因为，所以，
即，所以，
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．
11．已知数列的通项公式为．
（1）数列的第几项最大，最大项为多少？
（2）若，求正整数m的最小值．
【答案】（1）第2，3项最大，最大项为38；（2）最小值是9．
【解析】（1）因为，且，所以当或时，最大．
又，
故数列的第2，3项最大，最大项为38．
（2）因为函数的图象开口向下，且对称轴方程为，
所以可知数列从第3项起单调递减．
又，，，，
所以若，则．
所以正整数m的最小值是9．
12．已知数列满足，求出数列的通项公式．
【答案】．
【解析】因为，所以等式两边同除以得，
所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，
所以，所以．
13．已知数列中，，，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，
又，∴，
∴．
14．已知数列中，，，（，），
求的通项公式．
【答案】．
【解析】当时，由，得，
及，
所以数列是以3为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，
又，，则，，
所以，
，
由以上两式得．
将，代入也成立．
所以数列的通项公式是．
15．已知数列，满足，，．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）求．
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【解析】（1）由，可得，
于是，即，
而，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，所以．
因为，
所以
，
因此．
16．已知在数列中，是常数，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，，
所以，解得，
当时，则，
当时，则．
（2）当时，即，



，
解得或，
由，故（舍去），
所以，所以，即，
故是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
所以的前项和
．