必修52.1 数列的概念与简单表示法第1课时当堂达标检测题

第二章  数列

2.1　数列的概念与简单表示法

第1课时　数列的概念与通项公式

双基达标　限时20分钟

1．下列说法中，正确的是             (　　)．

A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列

C．数列的第k项是1＋

D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)

解析　A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝＝1＋.D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．

答案　C

2．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的 (　　)．

A．第12项      B．第13项

C．第14项      D．第15项

解析　令an＝＝9，解得n＝14.

答案　C

3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于         (　　)．

A．11    B．12    C．13    D．14

解析　从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即an＋an＋1＝an＋2，所以x＝5＋8＝13.

答案　C

4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．

解析　an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24. 

答案　24

5．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．

解析　由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，

得an>0(n∈N*)．

又an＋1－an＝an－an＝－an<0，

∴{an}是递减数列．

答案　递减

6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：

(1)，，，(　　)，，，…

(2)，(　　)，，，，…

(3)2,1，(　　)，，…

(4)，，(　　)，，…

解　(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则

序号　1　　2　　3　　4　　5　　6

　↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓　 ↓

数　　　 　 　(　)　　

于是括号内填，而分子恰为10减序号．

故括号内填，通项公式为an＝.

(2)＝，＝，＝，

＝.

只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．

故括号内填，通项公式为an＝.

(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.

(4)先将原数列变形为1，2，(　　)，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝

n＋.

综合提高　限时25分钟

7．下列命题：

①已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．

②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.

③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.

④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．

其中正确命题的个数为             (　　)．

A．4个     B．3个    C．2个    D．1个

解析　对于①，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第一项．①正确．

对于②，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，②正确；

对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29.③正确；

对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．

答案　A

8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是                                                                                                                                                                                                                                (　　)．

A．289      B．1 024     C．1 225     D．1 378

解析　由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，而所给的选项中只有1 225满足a49＝＝b35＝352＝1 225.故选C.

答案　C

9．数列，，，，…的一个通项公式是________．

解析　数列可写为：，，，，…，

分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，

分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，

故通项公式为an＝.

答案　an＝

10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.

解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，

∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.

答案　

11．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；

(2)a1＝1，an＋1＝.

解　(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，

∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；

a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；

a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；

a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.

故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.

(2)∵a1＝1，an＋1＝，

∴a2＝＝，a3＝＝，

a4＝＝，a5＝＝，

∴它的前5项依次是1，，，，.

它的前5项又可写成，，，，，

故它的一个通项公式为an＝.

12．(创新拓展)已知{an}的通项公式为an＝3n＋1，是否存在m，k∈N*，满足am＋am＋1＝ak？如果存在，求出m，k的值；如果不存在，说明理由．

解　由am＋am＋1＝ak，得6m＋5＝3k＋1，

整理后，可得k－2m＝，

∵m，k∈N*，∴k－2m为整数，

∴不存在m，k∈N*使等式成立．