高中数学人教版新课标B选修1-22.2.2反证法教学设计及反思

这是一份高中数学人教版新课标B选修1-22.2.2反证法教学设计及反思，

1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法     反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。     反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线和平面，如果，且，求证。证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。因为，而，所以 与是两个不同的平面．因为，且，所以. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 . 点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：． 例2、求证：不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有, 因此，，所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有，即　所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。例3、已知，求证：（且）证明：假设不大于，即或.∵a＞0，b＞0∴由(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)a＜b(推理利用了不等式的传递性).又由　但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.∴成立.例4、设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。　议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？巩固练习：第83页练习3、4、5、6课后作业：第84页 4、5、6教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。     反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。虽然分析法和综合法的解题思路是相反的，但在实际解题过程中，分析法和综合法是相互联系的。用分析法思考的时候，要注意应用题里的已知条件，哪两个数量配合可以解决什么问题，以便提出恰当的中间问题；用综合法思考的时候，要注意应用题最后要解决的问题，以便使新的已知条件成为解决最后问题的需要。因此，分析中有综合，综合中分析，解答应用题时，两种方法要结合使用。2．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2反证法：设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。3．设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于证：设(1  a)b >, (1  b)c >, (1  c)a >,则三式相乘： ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a < ①又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤ 与①矛盾∴原式成立