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数学人教版新课标B2.2 椭圆一课一练
展开1.已知椭圆的焦点是F1,F2是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
[答案] A
[解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故选A.
2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.(0,1]
[答案] A
[解析] 椭圆方程化为eq \f(x2,2)+eq \f(y2,\f(2,k))=1.
焦点在y轴上,则eq \f(2,k)>2,即k<1.又k>0,∴0
A.eq \f(64\r(3),3) B.64(2+eq \r(3))
C.64(2-eq \r(3)) D.64
[答案] A
[解析] 在△PF1F2中,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则由椭圆定义知r1+r2=20 ①
由余弦定理知
cs60°=eq \f(r\\al(2,1)+r\\al(2,2)-|F1F2|2,2r1·r2)=eq \f(r\\al(2,1)+r\\al(2,2)-122,2r2·r2)
=eq \f(1,2),即req \\al(2,1)+req \\al(2,2)-r1r2=144 ②
①2-②得r1r2=eq \f(256,3).
∴S△PF1F2=eq \f(1,2)r1·r2sin60°=eq \f(64,3)eq \r(3).
4.已知F是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的一个焦点,PQ是过其中心的一条弦,且c=eq \r(a2-b2),则△PQF面积的最大值是( )
A.eq \f(1,2)ab B.ab
C.ac D.bc
[答案] D
[解析] 设它的另一个焦点为F′,则|F′O|=|FO|,|PO|=|QO|,FPF′Q为平行四边形.
S△PQF=eq \f(1,2)SPF′QF=S△PFF′,则当P为椭圆短轴端点时,P到FF′距离最大,此时S△PFF′最大为bc.
即(S△PQF)max=bc.
5.椭圆eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
[答案] A
[解析] 不妨设F1(-3,0),F2(3,0),由条件知P(3,±eq \f(\r(3),2)),即|PF2|=eq \f(\r(3),2),由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4eq \r(3),|PF1|=eq \f(7\r(3),2),|PF2|=eq \f(\r(3),2),即|PF1|=7|PF2|.
6.设0≤α<2π,若方程x2sinα-y2csα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)π))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4),2π))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,4)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),\f(3π,2)))
[答案] C
[解析] 将方程变形为:eq \f(x2,\f(1,sinα))+eq \f(y2,-\f(1,csα))=1.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)>0,\f(1,-csα)>0,\f(1,sinα)<\f(1,-csα))),∴sinα>-csα>0.
∴α在第二象限且|sinα|>|csα|.
7.已知椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,9)=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上.若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为( )
A.eq \f(9,5) B.3
C.eq \f(9\r(7),7) D.eq \f(9,4)
[答案] D
[解析] a2=16,b2=9⇒c2=7⇒c=eq \r(7).
∵△PF1F2为直角三角形.
∴P是横坐标为±eq \r(7)的椭圆上的点.(点P不可能为直角顶点)
设P(±eq \r(7),|y|),把x=±eq \r(7)
代入椭圆方程,知eq \f(7,16)+eq \f(y2,9)=1⇒y2=eq \f(81,16)⇒|y|=eq \f(9,4).
8.(2009·江西)过椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
[答案] B
[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算.
把x=-c代入椭圆方程可得yc=±eq \f(b2,a),
∴|PF1|=eq \f(b2,a)
∴|PF2|=eq \f(2b2,a),
故|PF1|+|PF2|=eq \f(3b2,a)=2a,即3b2=2a2
又∵a2=b2+c2,∴3(a2-c2)=2a2,
∴(eq \f(c,a))2=eq \f(1,3),即e=eq \f(\r(3),3).
9.(2009·山东威海)椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y3,3)=1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于eq \f(1,1 000)的等差数列,则n的最大值是( )
A.2 000 B.2 006
C.2 007 D.2 008
[答案] A
[解析] ∵椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0),距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(-2,0),数列{|PnF|}的公差d大于eq \f(1,1 000),不妨|P1F|=1,|PnF|=3,3=1+(n-1)·d,∴d=eq \f(2,n-1)>eq \f(1,1 000),n-1<2 000,
即n<2 001.∴故选A.
10.已知点(4,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)+eq \f(y2,9)=1所截得的线段的中点,则l的方程是( )
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y-4=0
D.x+2y-8=0
[答案] D
[解析] 设截得的线段为AB,A(x1,y1),B(x2,y2), 中点坐标为(x0,y0),利用“差分法”得eq \f(y\\al(2,1)-y\\al(2,2),x\\al(2,1)-x\\al(2,2))=-eq \f(9,36),即eq \f(y1-y2,x1-x2)·eq \f(y0,x0)=-eq \f(9,36),
∴k=eq \f(y1-y2,x1-x2)=-eq \f(1,2),∴直线l的方程为y-2=-eq \f(1,2)(x-4),即x+2y-8=0.
二、填空题
11.已知椭圆的焦点是F1(0,-1)、F2(0,1),P是椭圆上一点,并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是________________.
[答案] eq \f(y2,4)+eq \f(x2,3)=1
[解析] 由题意设椭圆方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0).
∵|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,∴2a=4.
∴a=2,又c=1,∴b2=3,
∴方程为eq \f(y2,4)+eq \f(x2,3)=1.
12.设F1、F2是椭圆eq \f(x2,3)+eq \f(y2,4)=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则cs∠F1PF2=____________.
[答案] eq \f(3,5)
[解析] ∵|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=1,
∴|PF1|=eq \f(5,2),|PF2|=eq \f(3,2),|F1F2|=2,
∴cs∠F1PF2=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2-22,2×\f(5,2)×\f(3,2))=eq \f(3,5).
13.已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0
[解析] 由e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2-b2,a2)=1-eq \f(1,a2)
得0<1-eq \f(1,a2)≤eq \f(3,4).
从而-1<-eq \f(1,a2)≤-eq \f(1,4),
∴eq \f(1,4)≤eq \f(1,a2)<1,故1
[答案] eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 (±1,0)
[解析] 由|AF1|+|AF2|=2a=4得a=2.
∴原方程化为:eq \f(x2,4)+eq \f(y2,b2)=1,将A(1,eq \f(3,2))代入方程得b2=3.
∴椭圆方程为:eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1,焦点坐标为(±1,0).
三、解答题
15.已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2,斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B,与y轴交点为C,又B为线段CF1的中点,若|k|≤eq \f(\r(14),2),求椭圆离心率e的取值范围.
[解析] 设l:y=k(x+c)则C(0,kc),B(-eq \f(c,2),eq \f(kc,2)).
∵B在椭圆上,∴eq \f(c2,4a2)+eq \f(k2c2,4b2)=1.
即eq \f(c2,4a2)+eq \f(k2c2,4(a2-c2))=1⇒e2+eq \f(ke2,1-e2)=4.
∴k2=eq \f((4-e2)(1-e2),e2)≤eq \f(7,2)⇒2e4-17e2-8≤0⇒
eq \f(1,2)≤e2<1⇒eq \f(\r(2),2)≤e<1.
16.已知椭圆E:eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1.
(1)直线l:y=x+m与椭圆E有两个公共点,求实数m的取值范围.
(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点,经过直线l′:x+y=9上一点P作椭圆C,当C的长轴最短时,求C的方程.
[解析] (1)直线l与椭圆E有两个公共点的条件是:
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)+\f(y2,4)=1,y=x+m))有两组不同解,
消去y,得
3x2+4mx+2m2-8=0.
∴Δ=16m2-12(2m2-8)>0,
-2eq \r(3)
(2)依题意,F1(-2,0)、F2(2,0).
作点F1(-2,0)关于l′的对称点F1′(9,11).
设P是l′与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|
=|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|=eq \r(72+112)=eq \r(170).
∴(2a)min=eq \r(170),
此时,a2=eq \f(170,4)=eq \f(85,2),b2=a2-c2=eq \f(77,2).
∴长轴最短的椭圆方程是eq \f(x2,\f(85,2))+eq \f(y2,\f(77,2))=1.
17.如图所示,某隧道设计为双向四车通,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
I
若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
[解析] 如图所示,建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=eq \f(44\r(7),7),
此时l=2a=eq \f(88\r(7),7)≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米.
18.椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,e=eq \f(\r(3),2),过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,|PQ|=eq \f(20,9),且OP⊥OQ,求此椭圆的方程.
[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),
当PQ⊥x轴时,F(-c,0),|FP|=eq \f(b2,a).
又∵|FQ|=|FP|,
且OP⊥OQ,
∴|OF|=|FP|,即c=eq \f(b2,a),
∴ac=a2-c2,e2+e-1=0.
∴e=eq \f(\r(5)-1,2).与题设e=eq \f(\r(3),2)不符,所以PQ不垂直于x轴,设PQ所在直线方程为y=k(x+c),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵e=eq \f(\r(3),2),∴a2=eq \f(4,3)c2,b2=eq \f(1,3)c2.
∴椭圆方程可化为3x2+12y2-4c2=0.
将PQ所在直线方程代入,得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0.
由韦达定理,得x1+x2=-eq \f(24k2c,3+12k2),
x1x2=eq \f(12k2c2-4c2,3+12k2).
由|PQ|=eq \f(20,9),得eq \r(1+k2).eq \r((-\f(24k2c,3+12k2))2-\f(4(12k2c2-4c2),3+12k2))
=eq \f(20,9).①
∵OP⊥OQ,∴eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)=-1,
即x1x2+y1y2=0,
∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0,②
联立①②解得c2=3,k2=eq \f(4,11).
∴a2=4,b2=1.
故椭圆方程为eq \f(x2,4)+y2=1.
人教版新课标B选修2-12.2 椭圆综合训练题: 这是一份人教版新课标B选修2-12.2 椭圆综合训练题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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