2020-2021学年1.6微积分基本定理课堂检测

这是一份2020-2021学年1.6微积分基本定理课堂检测，共10页。

微积分基本定理与应用
【知识网络】
1．直观了解微积分基本定理的含义。
2．会求简单的定积分。
3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）
A．1 B．C． D．
例1（2）
（2）如图，阴影部分的面积是（）
A．B．
C．D．
（3）=（）
A． B．
C． D．
（4）= ．
（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力，k为常数，为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a） ．
y
x
1
2
2
-
-1
-1
A
B
C
D
例2图
[例2] 如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积．
[例3]如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为，求直线l的方程．
例3图
A
[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设ABD的面积为S1，求及S1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1．=（）
A．5B。4C。3D。2
2．=（）
A．B。C。D。
3．若，且a＞1，则a的值为（）
A．6B。4C。3D。2
4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）
A． B． C． D．
5．曲线与直线所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ．
6． 。
7．= 。
8．计算下列定积分的值
（1）；（2）；（3）。

9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？
10．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的表达式．
（2）若直线把的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．
微积分基本定理与应用
A组
1．下列有定义的定积分为（）
A．B。C。D。
2．=（）
A． B．2e C． D．
3．曲线与坐标轴围成的面积（）
A．4 B．2 C． D．3
4．若=a3-2（a＞1），则a= 。
5．= 。
6．求定积分：。
7．求曲线与轴所围成的图形的面积．
8．如图，抛物线与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。
（1）求使的面积为最大时P点的坐标；
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.
微积分基本定理与应用
B组
1．=（）
A．B。C。D。
2．=（）
A．21B。22C。23D。24
3．下列命题：
①若f(x)是定义在R上的奇函数，则为R上的偶函数；
②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则；
③。
其中正确命题的个数为（）
A．0B。1C。2D。3
4．由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。
5．已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ．
6．求由曲线与x轴所围的封闭区域的面积。
7．设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a≠0)，其中温度的单位是，时间的单位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8，12∶00的温度为60，13∶00的温度为58，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数在上函数值的平均为
，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．
8．一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
8．物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为
。
参考答案
微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
（3）C．
（4）。
（5）。
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．
由得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．
∴ 所求图形的面积
y
x
1
2
2
-
-1
-1
A
B
C
D
例2图
S=

．
[例3]设过原点的直线方程为y=kx，解方程组，得x1=0，x2=k+2a．
当k+2a≥0时，
．
于是 (k+2a)3=27a3，解得k=a．
所以，直线l的方程为y=ax．
当k+2a<0时，．
于是 - (k+2a)3=27a3，解得k= -5a．
所以，直线l的方程为y= -5ax．
综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y= -5ax．
[例4]（1）由y=2x2，得．当x= -1时，．
∴l1的方程为y-2= -4(x+1)，即4x+y+2=0．
（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．
又可求得点A到直线BD的距离为，=2a2+4a+2=2(a+1)2．
∴S1=．
（3）由题意，当a>-1时，
，
当a<-1时，，
∴S1∶S2=3∶2．即S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1．A。
2．A。
3．D。
4．C。
5．。
6．F(x)-F(0)。
7．4a。
8．（1）；（2）；（3）。
9．（Ⅰ）如图建立直角坐标系xy，设抛物线方程为．
则由抛物线过点，可得．
于是抛物线方程为．
当y=1时，，由此知水面宽为（m）．
（Ⅱ）柱体的底面积
．
∴柱体体积为，即水沟中有水．
10．（1）；（2）．
微积分基本定理与应用
A组
1．B。
2．D。
3．D。
4．2。
5．。
图
6．。
7．首先求出函数的零点：，，.又易判断出在 内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，所以所求面积为
。
8．（1）；（2）面积均为。
B组
1．D。
2．23。
3．D。
4．。
x
F
x
0
5．如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F = kx．在上式中k为比例系数．
根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx得k =490．这样得到的变力函数为F = 490x．于是所求的功为
（J）．
6．
7．（1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，，则d=60，b=0，a=1，c= -3，因此，温度函数T(t)= t3-3t+60．
（2），当时，；当时，．因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即t= -1是极大值点．
由于T（-1）=T（2）=62，所以10∶00到14∶00这段时间中，该物体在11∶00和14∶00的温度最高，最高温度为62．
（3）根据定义，平均温度为，即该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度60．
8．物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为
。