2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法 同步练习教案

  综合法

1.2.2  分析法

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

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2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，

求证：

3、若实数，求证：

4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

参考答案

1、证明：∵≥2bc,a＞0,

∴≥2abc             ①

同理 ≥2abc          ②

≥2abc               ③

因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴

2、证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴

又∵a，b，c都是正数，所以≤

∴

∴

∴

3、证明：采用差值比较法：

=

=

=

=

∴

∴

4、分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立

(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,

只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,

综合(1)、(2)可知:原不等式成立

分析二:用综合法

证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+ (b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2

∴≥|ac+bd|≥ac+bd

故命题得证

分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴≥|ac+bd|≥ac+bd,

即ac+bd≤

5、证明：(用分析法思路书写)

    要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，

    只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

    即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

    只需证a2-2ab+b2＞0成立，

    即需证(a-b)2＞0成立。

    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

    (以下用综合法思路书写)

    ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

    亦即a2-ab+b2＞ab

    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.