2012-2013高二北师大数学选修2-2：第四课时 2.3 计算导数教学设计

第四课时  2.3  计算导数

教学过程：

一、创设情景

我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢？

由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.

二、复习

1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。

（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数＝

三、新课讲授

1.函数的导数

根据导数定义,因为

所以

表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即物体一直处于静止状态.

2.函数的导数

因为

所以

表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为,若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.

3.函数的导数

因为

所以

表示函数图像(图3.2-3)上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.

4.函数的导数

因为

所以

5.函数的导数

因为

所以

推广: 若,则

注:这里可以是全体实数.

根据上面推导过程推导出基本初等函数的求导公式：

  ⑴  (k,b为常数)      ⑵  (C为常数) 

  ⑶                       ⑷ 

⑸                    ⑹ 

⑺      由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻    （为常数）

⑼ 

⑽ 

⑾  ⑿     ⒀       ⒁ 

从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

四、典例分析

利用定义求函数的导数

例1、求f(x)＝＋x的导函数f′(x)，并利用导函数f′(x)求导数值：f′(－1)，f′(2)，f′(4)．

【思路点拨】　→→→→

【解】　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)

＝＋(x＋Δx)－(＋x)

＝－＋Δx＝＋Δx＝＋Δx，

∴＝－＋1，∴当Δx→0时，→－＋1，

即f′(x)＝ ＝ ＝－＋1.

分别将x＝－1,2,4代入可得：

f′(－1)＝－2＋1＝－1；

f′(2)＝－＋1＝；

f′(4)＝－＋1＝.

点评　1.本例求导方法简记为：一差、二比、三趋近，求函数在一点处的导数，一般是先求函数的导数，再计算这点的导数值．

2.利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：

(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；

(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；

(3)当Δx趋于0时，得到导函数

f′(x)＝ .

利用导数公式求导数

例2、求下列函数的导数

(1)y＝π＋1；(2)y＝；(3)y＝x；

(4)y＝2x；(5)y＝logx；(6)y＝2－1.

分析　先观察或对原函数表达式进行适当变形，然后再用基本初等函数的导数公式求解．

【解】　(1)y′＝(π＋1)′＝0.

(2)y′＝′＝(x－2)′＝－2x－3.

(3)y′＝′＝(x)′＝x＝.

(4)y′＝(2x)′＝2xln2.

(5)y′＝′＝＝－.

(6)∵y＝2－1＝sin2＋2sin·cos＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.

点评：在求函数的导数时，要注意先将分式、根式转化为幂的形式，然后求导．

利用导数公式求切线方程

例3、求曲线y＝过点(3,2)的切线方程．

分析　由于点(3,2)不在曲线y＝上，因此可先设过点(3,2)与曲线y＝相切的切线的切点为(x0，y0)，因为y＝＝x，可根据幂函数的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出所求切线的方程．

【解】　∵点(3,2)不在曲线y＝上．

∴设过(3,2)与曲线y＝相切的直线在曲线的切点为(x0，y0)，则y0＝.

∵y＝，∴y′＝(x)′＝x－1＝ .

∴根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k＝ .

∵切线过点(3,2)，

∴＝，＝，

整理得()2－4＋3＝0，解得x0＝1，x0＝9，

∴切点坐标为(1,1)或(9,3)．

(1)当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k＝，

∴切线方程为y－2＝(x－3)，即x－2y＋1＝0.

(2)当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k＝，

∴切线方程为y－2＝(x－3)，即x－6y＋9＝0.

综上可知，曲线y＝过点(3,2)的切线方程为x－2y＋1＝0或x－6y＋9＝0.

点评：求曲线的切线方程主要有两类题型：一是已知切点，这类可直接由切点处的导数求斜率，再由点斜式求切线方程．二是不知道切点坐标的题型，即待定切点型，首先应设出切点坐标，进而列出切线的点斜式方程，然后将条件代入，列出一个方程，即可求出切点，进而确定切线方程．

课堂小结：

1．f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值．

         2．对公式y＝xα的理解：

        (1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；        (2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．

课堂练习

1.求下列函数的导数：   (1)y＝x2 012；(2)y＝；(3)y＝5x；(4)y＝.

解：(1)y′＝(x2 012)′＝2 012x2 011；

(2)y′＝′＝－9x－4；

(3)y′＝(5x)′＝5xln 5；

(4)y′＝()′＝＝ .

2.．若f(x)＝x2－ex，则f′(－1)＝________.

解析：f′(x)＝2x－ex，∴f′(－1)＝－2－.

答案：－2－