高端精品高中数学一轮专题-二次函数与一元二次方程、不等式（讲）教案

二次函数与一元二次方程、不等式

【知识清单】

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

2.一元二次不等式的概念及形式

(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

(2)形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；

②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；

④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

 (3)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

3.三个“二次”之间的关系

（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．

（2）三个“二次”之间的关系：

3.不等式恒成立问题 　

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.

2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为M，最小值为m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.

4.待定系数法的应用

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．

使用待定系数法解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①利用对应系数相等列方程；

②由恒等的概念用数值代入法列方程；

③利用定义本身的属性列方程；

④利用几何条件列方程．

【考点分类剖析】

考点一 ：二次函数的解析式

例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．

【规律方法】

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】

1.已知二次函数，满足且方程有两个相等实根．

（1）求函数的解析式；

（2）当且仅当时，不等式恒成立，试求，的值．

考点二：二次函数图象的识别

例2.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【总结提升】

识别二次函数图象应学会“三看”

【变式训练】

1.函数的图象大致是（   ）

A．    B．

C．    D．

考点三：二次函数的单调性问题

例3.若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．

【总结提升】

研究二次函数单调性的思路

(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．

【变式探究】

1.已知函数，.

（1）若函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）求函数在区间上的最小值.

考点四：二次函数的最值问题

例4.已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．

（1）求的解析式；

（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．

【技巧点拨】

二次函数最值问题的类型及求解策略

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

【变式探究】

1.函数在上的最大值和最小值依次是（    ）

A．， B．， C．， D．，

考点五：二次函数的恒成立问题

例5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．

【总结提升】

由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键

1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..

3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

【变式探究】

1.已知函数．若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是________．

考点六：二次函数与函数零点问题

例6.已知函数.

（1）若的值域为，求关于的方程的解；

（2）当时，函数在上有三个零点，求的取值范围.

【规律总结】

1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．

2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．

【变式探究】1.已知二次函数，且-1,3是函数的零点.

（1）求解析式，并解不等式;

（2）若，求行数的值域。

考点七：一元二次不等式恒成立问题

例7.设函数．若对于，恒成立，求m的取值范围．

【总结提升】

由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键

1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..

3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

【变式探究】1.已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．