高端精品高中数学一轮专题-基本不等式及其应用（讲）教案

基本不等式及其应用

【知识清单】

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．

3．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

4.常用推论

（1）（）

（2）（，）；

（3）

【教材衍化】

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80  B．77

C．81  D．82

2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

【走出误区】

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)

二、易错纠偏

常见误区(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；

(2)忽视定值存在；

(3)忽视等号成立的条件．

1．若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2  B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2  D．有最大值，且最大值为－2

2．若x>1，则x＋的最小值为________．

3．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________．

【考点分类剖析】

考点一 ：利用基本不等式证明不等式

例1.证明：；

例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.

【变式探究】

1.求证:

2.已知、、都是正数，求证：

考点二：利用基本不等式求最值

例3.【多选题】设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

例4.若正实数，满足，则的最小值是______．

【规律方法】

利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

【变式探究】

1.若正数满足，则的最小值为（   ）

A．  B． 

C．  D．3

2.设，则的最小值为__________.

【总结提升】

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键

考点三：运用基本不等式解决含参问题

例5.已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．

【变式探究】

1.已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．

2.（1） 已知函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是______．

（2）已知正数满足恒成立，则实数的最小值为________．

考点四：运用消参法解决不等式问题

例6.若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

【变式探究】

1.若，且，则的最小值为    ．

2.设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．

3.已知正数x，y满足，求的最小值．

考点五：基本不等式的实际应用

例7.已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【变式探究】

（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是       .

考点六：基本不等式的综合运用

例8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.

例9.已知函数（）．

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式；

（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．

【变式探究】

1.已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．

2.设函数

（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.