高端精品高中数学一轮专题-二项式定理（讲）教案

二项式定理

学习目标　

1.   能用计数原理证明二项式定理.
2.   掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.   会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一　二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

知识点二　二项展开式的通项

(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.

思考　二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？

答案　一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同．

1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　 　)

2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　 　)

3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　 　)

4．(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　 　)

5．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．(　 　)

一、二项式定理的正用、逆用

例1　(1)求的展开式．

(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.

延伸探究

若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.

反思感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)  逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1　化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

二、二项展开式的通项的应用

例2　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

(2)求的展开式中x3的系数．

反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型

①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

跟踪训练2　已知二项式.

(1)求展开式的第4项的二项式系数；

(2)求展开式的第4项的系数；

(3)求展开式的第4项．

三、求两个多项式积的特定项

例3　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　)

A．－4  B．－3  C．－2  D．－1

(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　)

A．10  B．－10  C．2  D．－2

跟踪训练3　(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)

四、二项式定理的应用

例4　(1)试求201910除以8的余数；

(2)求证：32n+2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

跟踪训练4　(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．

(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.