高端精品高中数学一轮专题-空间几何体的表面积和体积（讲）教案

空间几何体的表面积和体积

【知识清单】

知识点1．几何体的表面积

圆柱的侧面积 

圆柱的表面积 

圆锥的侧面积 

圆锥的表面积 

圆台的侧面积 

圆台的表面积 

球体的表面积 

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

知识点2．几何体的体积

圆柱的体积 

圆锥的体积 

圆台的体积 

球体的体积 

正方体的体积   

正方体的体积   

【考点分类剖析】

考点一 ：几何体的面积

【典例1】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【典例2】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

【变式探究】

1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

考点二 ：几何体的体积

【典例3】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【典例4】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【变式探究】

1．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．

2．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．

考点三 ：  几何体的展开、折叠、切、截问题

【典例5】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

【规律方法】

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

【典例6】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）

【典例7】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为__________.

【总结提升】

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．

【典例8】《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两壍堵(qian du).斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑(bie nao).”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面， ，且 ，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．【多选题】已知正四面体的棱长为，则（    ）．

A． B．四面体的表面积为

C．四面体的体积为 D．四面体的外接球半径为

3．如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

【典例9】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若O为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为________时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是________．

【变式探究】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【典例10】单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【变式探究】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

【典例11】已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______.

【变式探究】

1.已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（    ）

A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形

C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为

2．已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．