人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积导学案及答案

《空间几何体的表面积和体积》知识要点精析

一．   学习目标

    根据新的课程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”。那么，对于《立体几何初步》这一章的第3节《空间几何体的表面积和体积》来说，在学习的过程中，怎样准确地把握教与学的尺度呢？本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的选编及内容的呈现方式上，与以往相比有较大的变化。首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思维辨证的基础。由于几何图形的面积和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节。本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理和逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。

二．   知识点拨

《空间几何体的表面积和体积》这一节，新教材没有像以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，采用了“阅读”的形式介绍了祖恒原理，让学生体会祖恒原理和积分思想。为了增强学生的数学应用意识，教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、实践中的实际问题提供了知识基础和基本思想。

教材内容突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研究空间几何图形的过程，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化思想、化归思想等，涉及的一般科学方法主要有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。

本节内容涉及到以下一些面积与体积公式：

，，

，，

，，

，

虽然以上公式较多，但对于大多数公式学生并不感到陌生，教学中只需要让学生初步了解公式推导的方法，体会祖恒原理和积分思想。另外，对展图方法与割补法，也要在解题的过程中加以渗透。课本中例2介绍了把圆柱沿母线展开，将问题转化为平面几何问题的思路；对于课本的例1，应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征（正六棱柱挖去一个圆柱），渗透“割”与“补”的思想和方法。

三．   典例精析

除了课本中给出的典型例题外，还可适当补充一些经典的事例，帮助学生更好地认识立体几何，学习好立体几何。

例1正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是面对角线BC上一动点，Q是底面ABVF上一动点，则D1P+PQ的最小值等于 ____________。

分析：如图2，由题意可知：D1P+PQ取最小值时，点Q一定是P在底面上的射影。因为D1P与PQ分别在两个平面内，所以把△BC1C沿BC1翻转90°，使△BC1C与对角面ABC1D1在同一平面内，因为PQ⊥BC，所以当D1、P、Q三点共线且与BC垂直时，D1P+PQ最小，即为D1Q1=

点评：利用“展图法”，成功地将立体几何问题化归成了平面几何问题，从而使问题得到了很好的解决。

例2  如图3，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18，从AB中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点。

    （1）求绳子的最短长度；

    （2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。

分析  （1）要求绳子AM绕圆台一周的最短长度，则可沿AB将圆台的曲面展开，得扇环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上AM’间的距离，AM’=，即绳子的最短长度为21。

（2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离，则需将扇环补充成扇形，这样将BB’上的点到AM’的最短距离问题转化为点S到AM’的最短距离（因为点S到BB’上的点的距离等于半径SB）。故只需求出S到AM’的距离SQ，再减去半径SP即可。即上底圆周上的点到绳子最短距离PQ=SQ－SP=SQ－SB=。

点评：此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，是重要的数学思维方法。

例3一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是____________________。

分析：将正四面体ABCD“嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图4），则球O与正四面体的六条棱都相切等价于球O与正方体的六个

面都相切。易知正方体棱长为，所以球半径为，故           图4

球的体积为 。

例4 如图5，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、

BC的中点，并且MN⊥AM，若侧棱长SA=，则正三棱

锥S-ABC的外接球的表面积为

A              B

C  32            D                           

分析：由条件中的MN⊥AM，可以推得。             图5

又由正三棱锥S-ABC中对棱互相垂直，得。所以SB⊥平面SAC，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角。将该三棱锥补成正方体，使S成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC的外接球也即是正方体的外接球，根据得，R=3，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为，结果选（B）。

    点评：在例3和例4的解题过程，反映了正方体问题求解中的“嵌”与“补”，是一种重要的解题技巧，体现了立体几何的较高的能力要求。