数学必修25.1两角和与差的三角函数教学设计

第二十教时

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶

目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题）

过程：一、求值问题（续）

            例一  若tan=3x，tan=3x,  且=，求x的值。

解：tan()=tan=      ∵tan=3x，tan=3x

∴

∴3•3x3•3x=2    即：

∴(舍去)         ∴

例二 已知锐角, ,  满足sin+sin=sin,  coscos=cos,  求的值。

解： ∵sin+sin=sin      ∴sin sin = sin <0            ①

         ∴sin <sin              ∴<

       同理：∵coscos=cos       ∴ cos cos = cos   ②

①2+②2: 1+12cos（）=1        ∴cos（）=

∵          ∴   ∴=

      二、关于最值问题

例三   已知tan，tan是关于x的方程的两个实根，求tan(+)的取值范围。

    解：∵tan，tan是方程的两个实根

           ∴△=4(7m-3)-8m2≥0    ∴2m2-7m+3≤0     解之：≤m≤3

         又：      ∴

      为求范围：

      ∵≤m≤3      ∴≤m≤2

      ∴当时，有最大值

          当或时，有最小值2

            ∴     即：

             ∴pq+1=0

例四   若，求f (x)=sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。

     解： f (x)=sinx+cosx=2

∵          ∴

∴     

          即：     当且仅当 ，时 f (x)min=

                                             当且仅当 ，时 f (x)max=2   

      例五  已知f (x)=-acos2x-asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,]时，-5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。

             解： f (x)=-acos2x-asin2x+2a+b=-2a[sin2x+cos2x]+2a+b

                          =-2asin(2x+)+2a+b

                    ∵x[0,]        ∴       ∴

                    又： a>0    ∴-2a<0      ∴

                    ∴      ∴

                    ∵-5≤f (x)≤1         ∴

                   ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-     ∵t[-1,0]

                   ∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3