湘教版必修24.6向量的应用教案

课    题：平面向量数量积的坐标表示

教学目的：

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式

⑶能用所学知识解决有关综合问题

教学重点：平面向量数量积的坐标表示

教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，

（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0

3．向量的数量积的几何意义：

数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积

4．两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

1 =  =||cos；2   = 0

3当与同向时， = ||||；当与反向时， = ||||

 特别的 = ||2或

4cos = ；5|| ≤ ||||

5． 平面向量数量积的运算律

交换律：  = 

数乘结合律：() =() = ()

分配律：( + ) =  + 

二、讲解新课：

⒈平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量，，试用和的坐标表示

设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么

，

所以

又，，

所以

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即

2.平面内两点间的距离公式

（1）设，则或

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定

设，，则 

4.两向量夹角的余弦（）   

cos =

三、讲解范例：

例1  设 = (5, 7)， = (6, 4)，求

解： = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2

例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

证明：∵=(21, 32) = (1, 1),  = (21, 52) = (3, 3)

∴=1×(3) + 1×3 = 0   ∴

∴△ABC是直角三角形

例3 已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9与 = 4的向量

 解：设= (t, s)，

   由   ∴= (2, 3)

例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?

分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

解：由＝（１，），＝（＋１，－１）

有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．

记与的夹角为θ，则cosθ＝

又∵０≤θ≤π，∴θ＝

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使 = 90，求点和向量的坐标

解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x5, y2)

∵   ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0

又∵|| = ||   ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29

由

∴点坐标或；=或

例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

    求k值

解：当 = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0  ∴k = 

当 = 90时，= 0，== (12, k3) = (1, k3)

∴2×(1) +3×(k3) = 0   ∴k = 

当C= 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0   ∴k =

四、课堂练习：

1.若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（    ）

A.23           B.57           C.63         D.83

2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（    ）

 A.直角三角形     B.锐角三角形  C.钝角三角形   D.不等边三角形

3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（    ）

A.或         B.或

C.或     D.或

4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=        .

5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x=     .

6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为      .

参考答案：1.D  2.A  3.D  4. –7  5.  6.45°

五、小结  两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示

六、课后作业：

1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（    ）

A.        B.        C.         D.

2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（   ）

 A.λ＞       B.λ≥      C.λ＜       D.λ≤

3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（   ）

 A.23            B.          C.           D. 

4.已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为            .

5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝           .

6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为          .

7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x.

8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.

9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),

(1)若∥，求x与y间的关系式；

(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.

参考答案：1.C  2.A  3.C4.（，２）或（-，－２）

  5.()  6.-5  7.(2,-3)  8.不能(理由略)

9.(1)x+2y=0   (2) S四边形ABCD=16

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.

分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.

解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)

又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0

即25x+24y＝０                      ①

又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１

整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１     ②

由①②有24xy+25y２＝１               ③

将①变形代入③可得：y=±

再代回①得：