高中数学沪教版高中二年级 第二学期11.4点到直线的距离教学设计

2.1.6第二节 点到直线的距离（２）

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学习要求

1．巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式；

2．掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；    

3．能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．

【课堂互动】

自学评价

1.若与关于点对称,

则　　,　　．

2. 若与关于直线

对称,

则与的中点落在直线上,

且与的连线与垂直.

【精典范例】

例1：在直线上找一点,使它到原点和直线的距离相等．

分析：直线 与直线

平行，即可算出它们之间的距离，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标．

【解】直线与之间的距离为：．

设直线上的点满足题意，则，

解得或，

∴所求点的坐标为或．

点评:本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固．

例2：求直线关于点对称的直线方程．

分析：解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等．

【解】设所求直线的方程为

，由点到直线的距离公式可得

，

∴（舍去）或，

所以，所求直线的方程为．

点评:本题也可以利用点与点的对称，设直线上任意一点

（在直线上，所以）与对称的点为则，解得，，然后将，的值代入求出所求直线，比较而言，此法注重轨迹的推导过程，而前面的方法比较简便，为求直线关于点对称的直线方程的基本方法（直线关于点对称的问题）．

例3：已知直线：，

：，求直线关于直线对称的直线的方程．

分析：直线关于直线对称，可以在上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程．这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算．

【解】由，解得：，∴过点，

又显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，

则，

解得：，即，

因为直线经过点、，所以由两点式得它的方程为：．

点评: 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直线对称的问题）．

注意：这里有一种特殊情况：

直线关于直线对称的直线方程为：．

例4：建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系.

【证明】设是等腰三角形，以底边

所在直线为轴，过顶点且垂直与的直线为轴，建立直角坐标系（如图）．设，

(，)，则．

直线的方程：，

即：．

直线的方程：，

即：．

设底边上任意一点为

（），

则到的距离

，

到的距离

，

到的距离

．

故原命题得证．

点评:本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用，运用代数方法研究几何问题.

追踪训练一

１． 点在轴上,若它到直线

的距离等于，则的坐标是或．

２．直线关于点对称的直线的方程为．

3. 光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程．

【解】由，解得：，

∴过点，

又显然是直线上一点，设关于直线的对称点为，

则，

解得：，即，

因为直线经过点、，所以由两点式得它的方程为．

４．求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高．

分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系．

【证明】设是等腰三角形，以底边所在直线为轴，过顶点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，如图，

设，，

则，直线方程为：

，即：，

直线方程为：，

即：，

设或是底边延长线上任意一点，

则到距离为

，

到距离为

，

到距离为

，

当时，

，

当时，

，

∴当或时，，故原命题得证．

【选修延伸】

一、数列与函数  

例５:分别过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：

（1）两平行线间的距离为；（2）这两条直线各自绕、旋转，使它们之间的距离取最大值．

分析：（１）两条平行直线分别过，

两点,因此可以设出这两条直线的方程之间(注意斜率是否存在)，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（２）这两条平行直线与垂直时，两直线之间距离最大．

【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意．

当两直线的斜率存在时，设方程分别为

与，

即： 与，由题意：，解得，

所以，所求的直线方程分别为：

， ．

综上：所求的直线方程分别为：

，

或．

（2）结合图形，当两直线与垂直时，两直线之间距离最大，最大值为，同上可求得两直线的方程．此时两直线的方程分别为，．

点评:（１）设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（２）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质．

思维点拔：对称问题

在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解．

追踪训练二

1．两平行直线，分别过，

（１），之间的距离为５，求两直线方

程；

（２）若，之间的距离为，求的取值范围．

【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意．

当两直线的斜率存在时，设方程分别为

与，

即： 与，

由题意：，解得或，

所以，所求的直线方程分别为：

：，：或

：，

：．

（２）．