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期末复习综合训练题(1) 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版 含答案）
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这是一份期末复习综合训练题(1) 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版 含答案），共55页。试卷主要包含了已知＝，则的值是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙教版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1（附答案）
1．已知跷跷板AB长3m，由于跷跷板的支撑点O偏离中点，所以当A端碰到地面时，AB与地面的夹角为α（如图①），当B端碰到地面时，AB与地面的夹角为β（如图②），则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH用含α、β的式子表示正确的是（ ）
A． B．+
C． D．
2．矩形ABCD中，边长AB＝4，边BC＝2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（点A、点D、点B在同一条直线上），若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为（ ）
A． B． C． D．mcosα
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为（ ）
A．3 B． C． D．
6．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，且分别交直线l1，l2于A、D、F和B、C、E，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：
①当x＞﹣2时，y1随x的增大而减小；
②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；
③当m＝1时，y1≤y2；
④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m＝．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
12．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．18cm
14．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
16．如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（ ）
A． B． C． D．2
18．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（ ）
A． B． C． D．2
19．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，点O是CD上的动点，以O为圆心作半径为1的圆，若该圆与△ABC重叠部分的面积为π，则OC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，已知⊙O的弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
21．如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以AB为直径向外作半圆O，P是半圆O上的一个动点，M是CP的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为（ ）
A．π B．π C．2π D．π
23．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2
24．如图△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知AB、CD是半径为3的⊙O的两条互相垂直的直径，E为OB上一点，且OE＝1，连CE并延长交⊙O于F，连AF交CD于G，则AG＝（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
27．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是 ．
28．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 ．
29．如图，在边长为5的正方形ABCD中，E为CD的中点．现将线段AB绕着点B旋转得BA′．当A′落在AE上时，则A′A的长为 ．
30．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为 ．
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
0
1
2
3
y
7
5
7
13
则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为 ．
32．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
33．如图，等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则的值等于 ．
34．如图，G是△ABC的重心，GD∥BC，若S△GDC＝1，则S△ABC＝
35．已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为 ．
36．若函数y＝x2+x+c的图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是 ．
37．（1）已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a＝3cm，b＝2cm，d＝4cm，则c＝ cm．
（2）在2和8这两个数之间添上一个数，使之成为2与8的比例中项，这个数是 ．
38．如图，OABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为 ．
39．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为 ．（结果用含a的代数式表示）
40．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
41．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N．则MN的值为 ．
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，E在BA延长线上，且DE＝BD，若BC＝8，AE＝2，则CD的长为 ．
43．如图，等边三角形ACD的边长为8，点B在AC边延长线上，且AC＝（+1）CB，连接BD，点E是线段BD上一点，连接AE交DC于点F，若∠AED＝60°，则DE的长为 ．
44．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式及最小值．
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．
①当m＝﹣4时，求n的值；
②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．
45．已知抛物线y1＝ax2﹣2ax+1与抛物线y2＝﹣x+3．
（1）求证：两个函数图象必有交点；
（2）当抛物线y1的顶点落在直线y2上时，求a的值；
（3）a＞0，当﹣4＜x＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
46．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AC于点D，交AB于点E，连结DE．
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形；
（2）若点D恰好是的中点，且CE＝6，求⊙O的半径和的长．
47．某网店销售一批商品，平均每天可售出50件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？
（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？
48．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证△DCE∽△DBC；
（2）若CE＝，CD＝2，求直径BC的长．
49．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
50．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连接DE，BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．
51．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）求证：BD＝DE；
（3）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
52．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝，OE＝2；求：
（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．
53．如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4．
（1）用尺规作△ABC的外接圆O；
（2）求△ABC的外接圆O的半径；
（3）求扇形BOC的面积．
54．在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．
（1）画树状图或列表，写出点P所有可能的坐标；
（2）求出点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率．
55．如图，△ABC的点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，∠ACD＝45°，DC＝．
（1）求圆心O到弦DC的距离；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°．
①求证：BC是⊙O的切线；
②求BD的长．
56．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
57．如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
58．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
59．如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．
（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD＝120°，则∠OBA+∠ODA＝ °．
（2）若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．
60．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）若的度数是40°，求∠AFC的度数；
（2）求证：AF平分∠CFE；
（3）若AB＝5，CD＝4，CF经过圆心，求CE的长．
参考答案
1．解：依题意有：AO＝OH÷sinα，BO＝OH÷sinβ，
AO+BO＝OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷sinα+OH÷sinβ＝3m，
则OH＝m．
故选：C．
2．解：设CN＝y，CM＝x，则BM＝2﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AMN＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝∠NMC+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠NMC，
∴△ABM∽△MCN，
∴＝，
即＝，
∴y＝﹣x2，
∵a＝﹣＜0，
∴y有最大值，y最大＝，
∴CN的最大值＝．
故选：C．
3．解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝．
故选：D．
4．解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
5．解：延长AO交圆于点D，连接CD，
由圆周角定理，得：∠ACD＝90°，∠D＝∠B
∴sinD＝sinB＝，
Rt△ADC中，sinD＝，AD＝2R＝4，
∴AC＝AD•sinD＝3．
故选：A．
6．解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°；
在Rt△ABE中，cosA＝，即＝；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝；
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为．
故选：A．
7．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故A选项结论正确，符合题意，B选项结论错误，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴△OCD∽△OEF，
∴＝，C选项结论错误，不符合题意；
与的关系无法确定，D选项结论错误，不符合题意；
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝﹣x2+2bx+c的对称轴为直线x＝﹣＝b，
而a＜0，
∴当x＞b时，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴b≤1．
故选：D．
9．解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故选：A．
10．解：①∵y1＝mx2+4mx﹣5m＝m（x+2）2﹣9m，y2＝2x﹣2，
当x＞﹣2时，y2随x的增大而增大，当m＜0时，y1随x的增大而减小，故①错误；
②令y1＝0，则mx2+4mx﹣5m＝0，x＝1或﹣5，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0），故②正确；
③当m＝1时，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m的图象与一次函数y2＝2x﹣2的图象的交点的横坐标为﹣3和 1，
∴当﹣3≤x≤1时，y1≤y2；故③错误；
④∵y2≤y1，
∴mx2+4mx﹣5m≥2x﹣2，整理得，mx2+（4m﹣2）x+2﹣5m≥0，
当△＝（4m﹣2）2﹣4m（2﹣5m）≤0时，函数值y2≤y1成立，
解得m＝，故④正确．
故选：C．
11．解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠α＝40°，x＝，
故选：A．
12．解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB＝8，
∵CD切⊙O于点E，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+BD+PD＝PA+PB＝16．
故选：C．
13．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝3：2，DE＝6cm，
∴AD：BC＝3：5，
∴，
解得BC＝10（cm）．
故选：B．
14．解：①任意不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题；
④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
故选：B．
15．解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
16．解：如图，作DE∥AC交AB于E．
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝
∴可以假设AD＝5k，AB＝3k，
∴BD＝k，CD＝k，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，＝＝，
∴BE＝2k，
∴AE＝k，
∴tan∠CAD＝tan∠ADE＝＝＝，
故选：D．
17．解：方法一：
由旋转可得，△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，DE＝AC＝3，
∴∠C＝∠BEC，
又∵∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BEC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，即BC2＝CE×CA，
∴BC＝＝，
∴BE＝，
方法二：过点B作BH⊥AC于点H，
由旋转可得BE＝BC＝1，
则CH＝EH＝CE＝，
则AH＝AC﹣CH＝，
则BH2＝AB2﹣AH2＝BC2﹣CH2，而AB＝3，
即9﹣（）2＝BC2﹣（）2，
解得BC＝＝BE，
故BE＝．
故选：A．
18．解：过点D作DE∥BC，如图所示：
∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC•DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
19．解：S＝πr2＝π，
∵圆O的半径为1，且圆与△ABC重叠部分的面积为π，
∴此圆全部在△ABC内，如图，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
若OC取最小值时，⊙O与BC相切，
设切点为P，连接OP，则OP⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠CDB，
∵∠OCP＝∠BCD，
∴△OCP∽△BCD，
同理可证△BAC∽△BCD，
∴△OCP∽△BCD∽△BAC，
∵BC：AC：AB＝6：8：10＝3：4：5，
∴OP：PC：CO＝3：4：5，
又∵OP＝1，
∴OC＝×5＝，
故选：D．
20．解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．
∵AB是直径，
∴∠ATB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPT＝60°，
∴PT＝PB•cos60°＝PB，
∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，
故选：C．
21．解：如图，
连接AF，令△ADF、，△BDF、△AEF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，
∵，，
∴＝，＝，＝n，＝n，
∴S2＝mS1，S3＝nS4，又△BCF的面积为1，
∴＝＝，＝＝n，
解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，
∴S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF＝++++1＝，
故选：D．
22．解：连接OC，OP，OM，如图，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴OC＝AB＝，
∵M为PC的中点，OP＝OC，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
∴点M运动的路径长＝•2π•＝π．
故选：B．
23．解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，选项B符合题意，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴＝，
推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．
∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，
故选：B．
24．解：∵中线AD、BE相交于点F
∴点F为△ABC的重心
∴AF＝2FD
∵E为AC中点，EG∥BC
∴GE为△ADC的中位线
∴GE＝DC＝BD
∵EG∥BC
∴△GEF∽△BDF
∴＝＝
∴FD＝2GF
设GF＝x，则FD＝2x，AF＝4x，AG＝AF﹣GF＝4x﹣x＝3x
∴＝＝
故选：C．
25．解：连接BC、BF，如图，
由题意可知：OE＝1，圆的半径为3，
∵AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
在Rt△COE中，CE＝＝＝，
在Rt△COB中，BC＝＝＝3，
∵OA＝3，
∴AE＝OA+OE＝3+1＝4，
∵∠BCE＝∠FAE，∠BEC＝∠FEA，
∴△CBE∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
∵∠GAO＝∠BAF，∠AOG＝∠AFB，
∴△AOG∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝．
故选：D．
26．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AP＝CQ，
∴CP＝BQ，
∵PC＝2AP，
∴BQ＝2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴＝＝，＝，
∴CQ＝3PD，
∴BQ＝6PD，
∴BO＝6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE＝AC＝4，
∵∠C＝60°，
∴BE＝4，
∴PE＝＝1，
∴PC＝4+1＝5，或PC＝4﹣1＝3，故②错误；
在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，PB＝AQ，
∵∠APQ＝∠BPA，
∴△APD∽△BPA，
∴＝，
∴AP2＝OP•PB，
∴AP2＝OP•AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB＝∠NBA＝60°，NA＝NB，
∵∠PBA＝∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO＝∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
＝60°+∠BAQ+60°+∠QAC
＝120°+∠BAC
＝180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA＝NB，CA＝CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD＝∠ACM＝30°，
∴∠MAC＝∠MAD+∠BAC＝90°，
在Rt△MAC中，AC＝3，
∴MA＝AC•tan∠ACM＝，CM＝2AM＝2，
∴MO′＝MA＝，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
27．解：Rt△ABC中，BC＝5m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5m，
∴AB＝＝10m．
故答案为10m．
28．解：∵AD＝CD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝10，
设⊙O的半径为5，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝﹣4＝，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝．
故答案为：．
29．解：如图所示，作BF⊥AE于F，
由旋转可知BA＝BA'，
故△BAA'为等腰三角形．
∵E为DC中点，
∴DE＝＝，
由勾股定理可得AE＝＝＝．
又BF⊥AA'，
∴AF＝A'F．
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∠BAF+∠EAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
又∠AFB＝∠ADE＝90°，
∴△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
解得AF＝．
∴AA'＝2AF＝．
故答案为：．
30．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故答案为20．
31．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∵x＝3时，y＝13，
∴x＝﹣1时，y＝13，
∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，
∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，
故答案为91．
32．解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），
∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
33．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴DA＝DB，
而∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴＝，即 ＝，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∴CD＝AC﹣AD＝AC﹣AC＝AC，
∴＝＝；
故答案为：．
34．解：如图，延长AG交BC于E，连接CG，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG：GE＝2：1，
∵GD∥BC，
∴AD：DC＝2：1，△ADG∽△ACE，
∵S△GDC＝1，
∴S△GDA＝2，
∵△ADG∽△ACE，
∴＝，即＝，
∴S△ACE＝，
∵E是BC的中点，
∴S△ABC＝2×＝9，
故答案为：9．
35．解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；
如图2所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝8，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．
36．解：∵抛物线y＝x2+x+c的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线不过原点且与x轴有两个交点，
∴Δ＝12﹣4×1×c＞0，且c≠0，
解得：c＜且c≠0，
故答案为：c＜且c≠0．
37．解：（1）根据题意得a：b＝c：d，
即3：2＝c：4，解得c＝6；
（2）设这个数为x，
x2＝2•8，解得x＝4或x＝﹣4（舍去），
所以这个数为4．
故答案为6，4．
38．解：设∠ABD＝∠1，∠OAC＝∠2，∠OBC＝∠3，
∵△ABC内接于⊙O，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，
∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，
∴∠1+∠3＝m∠1﹣45°①，
∵∠ADB＝n∠ABD+45°，
∴2∠3+∠2＝n∠1+45°②，
∵∠1+∠2+∠3＝90°，
∴由②得∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45°③，
把③代入①得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°，
∴（n+2）∠1＝m∠1，
即m＝n+2．
解法二：设∠ABD＝x，用x表示三角形ABC的三个角，分别是∠ABC＝mx﹣45°，∠BAC＝135﹣（n+1）x，∠BCA＝90﹣x，利用三角形内角和180度可以得出m＝n+2．
故答案为：m＝n+2．
39．解：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．
∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，
∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，
∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，
∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），
∴PA＝PT，PB＝PT，
∴PA＝PB＝AB＝a，
②当∠PDC＝90°时，∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，
∴∠APD＝∠DPC＝∠CPB＝60°，
设AP＝x，则PD＝2x．PC＝4x，PB＝2x，
∴3x＝a，
∴x＝a．
∴PA＝a
故答案为a或a．
40．解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝（0+4）＝2或x＝（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
41．解：如图，连接OC交MN于点J，延长CO交AB于H，连接OA，OM．
∵CA＝CB，
∴＝，
∴CH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，
∴CH＝＝＝4，
设OA＝OC＝x，
在Rt△AOH中，则有x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴OA＝OM＝OC＝，
∵O，C关于MN对称，
∴OC⊥MN，OJ＝JC＝，
∴MJ＝JN＝＝＝，
∴MN＝2MJ＝，
故答案为．
42．解：在BC上取一点F，使BF＝EA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE＝BD，
∴∠AED＝∠DBC，
在△AED和△FBD中，
，
∴△AED≌△FBD（SAS），
∴∠EAD＝∠BFD，
∵AE＝BF＝2，BC＝8，
∴FC＝BC﹣BF＝8﹣2＝6，
∵∠DFC＝180°﹣∠BFD，∠BAC＝180°﹣∠EAD，
∴∠DFC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CAB，
设CD＝a，
∵AB＝AC，
∴，
∴CA＝AB＝，
∴，，
解得a＝或﹣（舍）．
故答案为：．
43．解：如图，作DH⊥AC于点H，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝8，AH＝CH＝AC＝4，
∴DH＝＝＝4，
∵AC＝（+1）CB，
∴CB＝＝4（﹣1），
∴BH＝CB+CH＝4（﹣1）+4＝4，
∴BD＝＝＝4，
在△ADE和△BAD中，∠AED＝∠BAD＝60°，∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴DE＝＝＝．
故答案为：．
44．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，
得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴y有最小值，最小值为﹣4．
（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；
②点P到y轴的距离为|m|，
∴|m|≤4，
∴﹣4≤m≤4，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．
45．解：（1）令y1＝y2，得ax2﹣2ax+1＝﹣x+3，
整理得ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
∴Δ＝（1﹣2a）2+8a＝（1+2a）2≥0，
∴两个函数图象必有交点．
（2）∵y1＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a）
∵抛物线y1的顶点落在直线y2上，
∴1﹣a＝﹣1+3，解得a＝﹣1．
故a的值为﹣1．
（3）当﹣4＜x＜2时，y1＜y2，
∵ax2﹣2ax+1＝﹣x+3，
∴ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣，
∴两个函数图象交点的横坐标为2、﹣，
当a＞0时，
∴﹣≤﹣4，解得0＜a≤．
故a的取值范围是0＜a≤．
46．（1）证明：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵四边形BCDE内接于⊙O，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠AED＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接BD，OC，OE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∵，
∴⊙O的半径OC＝OE＝6；
∵点D是的中点，
∴BD过圆心O，且DE＝DC，BE＝BC，
∵∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠BOC＝2∠BEC＝135°，
∴的长为：＝．
47．解：（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，则该网店一天可获利润为
y＝（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；
（2）当y＝2100时，﹣2x2+30x+2000＝2100，
解得：x1＝10，x2＝5，
∵尽快减少库存，降价越多越好，
∴x＝10，
答：每天盈利2100元，需降价10元．
（3）y＝﹣2x2+30x+2000＝，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝7.5，ymax＝2112.5（元）．
答：每件商品降价7.5元时，可获得最大利润2112.5元．
48．证明：（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠DBC，且∠BDC＝∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE＝＝＝1，
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC＝2．
49．解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠APQ＝45°，
∴∠AOQ＝90°，
∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB
＝•PB•AP+•AB•OQ
＝×2×1+×3×
＝+；
（3）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
50．（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵AD：AE＝6：5，
∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，
∵AE•AB＝AD•AC，
∴AC＝＝＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x，
∴＝，
∵△ABC的面积为50，
∴△BCD的面积＝×50＝14．
51．证明：（1）∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
即AE⊥AC；
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∴BD＝DE；
（3）由（2）可知：BD＝BC＝3，AB＝AC＝5，
∴AD＝4，
∴AC•BE＝AD•BC，
∴5×BE＝6×4，
∴BE＝．
52．解：（1）如图，∵BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，BC＝4，
∴CE＝BC＝2，
∴在直角△COE中，由勾股定理得，CO＝＝＝4，
即⊙O的半径是4；
（2）在直角△COE中，∠CEO＝90°，CO＝2OE，
∴∠ECO＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝60°．
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形ACO﹣S△AOC＝﹣×42＝π﹣4．
答：阴影部分的面积是π﹣4．
53．解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝4，∠A＝60°，
∴∠ACH＝30°，
∴AH＝AC＝2，CH＝AH＝2，
∵AB＝6，
∴BH＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵∠BOC＝2∠A＝120°，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝CF＝，∠COF＝∠BOC＝60°，
∴OC＝＝＝．
（3）S扇形OBC＝＝．
54．解：（1）由列表法列举所有可能出现的情况：
因此点P所有可能的坐标有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即（3，4），（4，3），
∴点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为＝．
55．解：（1）连接OD，OC，过O作OE⊥DC于E，
∵∠A＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，CD＝，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝OC＝CD＝，
∵OE⊥DC，
∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，
∴OE＝DE＝，
∴圆心O到弦DC的距离为：；
（2）①由（1）得，△ODC是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，
∴∠ACB＝∠CDB，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD＝30°，
∴∠OCB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②由△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴CB2＝AB•DB，
过D作DF⊥AC于F，
∴∠AFD＝∠CFD＝90°，
∵∠A＝30°，∠ACD＝45°，DC＝，
∴DF＝DC＝1，AD＝2DF＝2，
∵∠A＝∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，
∴∠B＝∠CDB＝75°，
∴CB＝CD＝，
设BD＝x，则2＝x（2+x），
∴x＝﹣1（负值舍去），
∴BD＝﹣1．
56．解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．
（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况数；
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是．
57．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝8，
∴BG＝CGBC＝AC＝4，∠BAG＝∠CAG＝30°，
∴AG＝BG＝4，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝4：3，
∴BE＝BG＝3，
∴EG＝BE+BG＝3+4＝7，
在Rt△AEG中，AE＝＝＝；
（3）如图1，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴sin∠EBD＝＝，
∴EH＝BE，BH＝BE，
∵＝m，
∴BG＝mBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2mBE，
∴AH＝AB+BH＝2mBE+BE＝（2m+）BE，
在Rt△AHE中，tan∠EAD＝＝＝，
∴n＝．
58．（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
59．解：（1）如图1，连接BD，，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠0BD+∠ODB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠OBA+∠ODA＝180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD
＝180°﹣60°﹣60°
＝120°﹣60°
＝60°
（2）①如图2，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OBC＝∠ODC＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠OBA+∠ODA＝180°﹣（∠OBC+∠ODC）
＝180°﹣（60°+60°）
＝180°﹣120°
＝60°
②Ⅰ、如图3，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠OAD+60°，
∵OA＝OD，OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠ODA+60°．
Ⅱ、如图4，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OAB＝∠OAD﹣∠BAD＝∠OAD﹣60°，
∵OA＝OD，OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠ODA﹣60°，
即∠ODA＝∠OBA+60°．
故答案为：60．
60．（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．
∵的度数是40°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠DAB＝∠DOB＝20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝∠ACD，
∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠AFE，
即AF平分∠CFE．
（3）解：如图2中，设AB交CD于H．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝2，
∵OC＝，∠OHC＝90°，
∴OH＝＝＝，
∴AH＝OH+OA＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝∠AHC＝90°，
∴AH∥DE，
∵CH＝HD，
∴AC＝AE，
∴CE＝2AC＝4．
2021-2022学年浙教版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1（附答案）
1．已知跷跷板AB长3m，由于跷跷板的支撑点O偏离中点，所以当A端碰到地面时，AB与地面的夹角为α（如图①），当B端碰到地面时，AB与地面的夹角为β（如图②），则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH用含α、β的式子表示正确的是（ ）
A． B．+
C． D．
2．矩形ABCD中，边长AB＝4，边BC＝2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（点A、点D、点B在同一条直线上），若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为（ ）
A． B． C． D．mcosα
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为（ ）
A．3 B． C． D．
6．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，且分别交直线l1，l2于A、D、F和B、C、E，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：
①当x＞﹣2时，y1随x的增大而减小；
②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；
③当m＝1时，y1≤y2；
④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m＝．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（ ）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
12．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．18cm
14．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
16．如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（ ）
A． B． C． D．2
18．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（ ）
A． B． C． D．2
19．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，点O是CD上的动点，以O为圆心作半径为1的圆，若该圆与△ABC重叠部分的面积为π，则OC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，已知⊙O的弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
21．如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以AB为直径向外作半圆O，P是半圆O上的一个动点，M是CP的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为（ ）
A．π B．π C．2π D．π
23．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2
24．如图△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知AB、CD是半径为3的⊙O的两条互相垂直的直径，E为OB上一点，且OE＝1，连CE并延长交⊙O于F，连AF交CD于G，则AG＝（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP2＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
27．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是 ．
28．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 ．
29．如图，在边长为5的正方形ABCD中，E为CD的中点．现将线段AB绕着点B旋转得BA′．当A′落在AE上时，则A′A的长为 ．
30．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为 ．
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
0
1
2
3
y
7
5
7
13
则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为 ．
32．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
33．如图，等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则的值等于 ．
34．如图，G是△ABC的重心，GD∥BC，若S△GDC＝1，则S△ABC＝
35．已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为 ．
36．若函数y＝x2+x+c的图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是 ．
37．（1）已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a＝3cm，b＝2cm，d＝4cm，则c＝ cm．
（2）在2和8这两个数之间添上一个数，使之成为2与8的比例中项，这个数是 ．
38．如图，OABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为 ．
39．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为 ．（结果用含a的代数式表示）
40．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
41．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N．则MN的值为 ．
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，E在BA延长线上，且DE＝BD，若BC＝8，AE＝2，则CD的长为 ．
43．如图，等边三角形ACD的边长为8，点B在AC边延长线上，且AC＝（+1）CB，连接BD，点E是线段BD上一点，连接AE交DC于点F，若∠AED＝60°，则DE的长为 ．
44．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．
（1）求该二次函数的表达式及最小值．
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．
①当m＝﹣4时，求n的值；
②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．
45．已知抛物线y1＝ax2﹣2ax+1与抛物线y2＝﹣x+3．
（1）求证：两个函数图象必有交点；
（2）当抛物线y1的顶点落在直线y2上时，求a的值；
（3）a＞0，当﹣4＜x＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
46．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AC于点D，交AB于点E，连结DE．
（1）求证：△ADE是等腰直角三角形；
（2）若点D恰好是的中点，且CE＝6，求⊙O的半径和的长．
47．某网店销售一批商品，平均每天可售出50件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？
（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？
48．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证△DCE∽△DBC；
（2）若CE＝，CD＝2，求直径BC的长．
49．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
50．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连接DE，BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．
51．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）求证：BD＝DE；
（3）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
52．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝，OE＝2；求：
（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．
53．如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4．
（1）用尺规作△ABC的外接圆O；
（2）求△ABC的外接圆O的半径；
（3）求扇形BOC的面积．
54．在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．
（1）画树状图或列表，写出点P所有可能的坐标；
（2）求出点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率．
55．如图，△ABC的点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，∠ACD＝45°，DC＝．
（1）求圆心O到弦DC的距离；
（2）若∠ACB+∠ADC＝180°．
①求证：BC是⊙O的切线；
②求BD的长．
56．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
57．如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE；
（2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长．
（3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式．
58．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
59．如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．
（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD＝120°，则∠OBA+∠ODA＝ °．
（2）若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．
60．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）若的度数是40°，求∠AFC的度数；
（2）求证：AF平分∠CFE；
（3）若AB＝5，CD＝4，CF经过圆心，求CE的长．
参考答案
1．解：依题意有：AO＝OH÷sinα，BO＝OH÷sinβ，
AO+BO＝OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷sinα+OH÷sinβ＝3m，
则OH＝m．
故选：C．
2．解：设CN＝y，CM＝x，则BM＝2﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AMN＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝∠NMC+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠NMC，
∴△ABM∽△MCN，
∴＝，
即＝，
∴y＝﹣x2，
∵a＝﹣＜0，
∴y有最大值，y最大＝，
∴CN的最大值＝．
故选：C．
3．解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝．
故选：D．
4．解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
5．解：延长AO交圆于点D，连接CD，
由圆周角定理，得：∠ACD＝90°，∠D＝∠B
∴sinD＝sinB＝，
Rt△ADC中，sinD＝，AD＝2R＝4，
∴AC＝AD•sinD＝3．
故选：A．
6．解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°；
在Rt△ABE中，cosA＝，即＝；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝；
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为．
故选：A．
7．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故A选项结论正确，符合题意，B选项结论错误，不符合题意；
∵CD∥EF，
∴△OCD∽△OEF，
∴＝，C选项结论错误，不符合题意；
与的关系无法确定，D选项结论错误，不符合题意；
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝﹣x2+2bx+c的对称轴为直线x＝﹣＝b，
而a＜0，
∴当x＞b时，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴b≤1．
故选：D．
9．解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故选：A．
10．解：①∵y1＝mx2+4mx﹣5m＝m（x+2）2﹣9m，y2＝2x﹣2，
当x＞﹣2时，y2随x的增大而增大，当m＜0时，y1随x的增大而减小，故①错误；
②令y1＝0，则mx2+4mx﹣5m＝0，x＝1或﹣5，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0），故②正确；
③当m＝1时，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m的图象与一次函数y2＝2x﹣2的图象的交点的横坐标为﹣3和 1，
∴当﹣3≤x≤1时，y1≤y2；故③错误；
④∵y2≤y1，
∴mx2+4mx﹣5m≥2x﹣2，整理得，mx2+（4m﹣2）x+2﹣5m≥0，
当△＝（4m﹣2）2﹣4m（2﹣5m）≤0时，函数值y2≤y1成立，
解得m＝，故④正确．
故选：C．
11．解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠α＝40°，x＝，
故选：A．
12．解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB＝8，
∵CD切⊙O于点E，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+BD+PD＝PA+PB＝16．
故选：C．
13．解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝3：2，DE＝6cm，
∴AD：BC＝3：5，
∴，
解得BC＝10（cm）．
故选：B．
14．解：①任意不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题；
④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
故选：B．
15．解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
16．解：如图，作DE∥AC交AB于E．
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝
∴可以假设AD＝5k，AB＝3k，
∴BD＝k，CD＝k，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，＝＝，
∴BE＝2k，
∴AE＝k，
∴tan∠CAD＝tan∠ADE＝＝＝，
故选：D．
17．解：方法一：
由旋转可得，△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，DE＝AC＝3，
∴∠C＝∠BEC，
又∵∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BEC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，即BC2＝CE×CA，
∴BC＝＝，
∴BE＝，
方法二：过点B作BH⊥AC于点H，
由旋转可得BE＝BC＝1，
则CH＝EH＝CE＝，
则AH＝AC﹣CH＝，
则BH2＝AB2﹣AH2＝BC2﹣CH2，而AB＝3，
即9﹣（）2＝BC2﹣（）2，
解得BC＝＝BE，
故BE＝．
故选：A．
18．解：过点D作DE∥BC，如图所示：
∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC•DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
19．解：S＝πr2＝π，
∵圆O的半径为1，且圆与△ABC重叠部分的面积为π，
∴此圆全部在△ABC内，如图，
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
若OC取最小值时，⊙O与BC相切，
设切点为P，连接OP，则OP⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠CDB，
∵∠OCP＝∠BCD，
∴△OCP∽△BCD，
同理可证△BAC∽△BCD，
∴△OCP∽△BCD∽△BAC，
∵BC：AC：AB＝6：8：10＝3：4：5，
∴OP：PC：CO＝3：4：5，
又∵OP＝1，
∴OC＝×5＝，
故选：D．
20．解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．
∵AB是直径，
∴∠ATB＝90°，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPT＝60°，
∴PT＝PB•cos60°＝PB，
∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，
故选：C．
21．解：如图，
连接AF，令△ADF、，△BDF、△AEF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，
∵，，
∴＝，＝，＝n，＝n，
∴S2＝mS1，S3＝nS4，又△BCF的面积为1，
∴＝＝，＝＝n，
解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，
∴S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF＝++++1＝，
故选：D．
22．解：连接OC，OP，OM，如图，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴OC＝AB＝，
∵M为PC的中点，OP＝OC，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
∴点M运动的路径长＝•2π•＝π．
故选：B．
23．解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，选项B符合题意，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴＝，
推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．
∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，
故选：B．
24．解：∵中线AD、BE相交于点F
∴点F为△ABC的重心
∴AF＝2FD
∵E为AC中点，EG∥BC
∴GE为△ADC的中位线
∴GE＝DC＝BD
∵EG∥BC
∴△GEF∽△BDF
∴＝＝
∴FD＝2GF
设GF＝x，则FD＝2x，AF＝4x，AG＝AF﹣GF＝4x﹣x＝3x
∴＝＝
故选：C．
25．解：连接BC、BF，如图，
由题意可知：OE＝1，圆的半径为3，
∵AB，CD是⊙O的两条相互垂直的直径，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
在Rt△COE中，CE＝＝＝，
在Rt△COB中，BC＝＝＝3，
∵OA＝3，
∴AE＝OA+OE＝3+1＝4，
∵∠BCE＝∠FAE，∠BEC＝∠FEA，
∴△CBE∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
∵∠GAO＝∠BAF，∠AOG＝∠AFB，
∴△AOG∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝．
故选：D．
26．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AP＝CQ，
∴CP＝BQ，
∵PC＝2AP，
∴BQ＝2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴＝＝，＝，
∴CQ＝3PD，
∴BQ＝6PD，
∴BO＝6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE＝AC＝4，
∵∠C＝60°，
∴BE＝4，
∴PE＝＝1，
∴PC＝4+1＝5，或PC＝4﹣1＝3，故②错误；
在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，PB＝AQ，
∵∠APQ＝∠BPA，
∴△APD∽△BPA，
∴＝，
∴AP2＝OP•PB，
∴AP2＝OP•AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB＝∠NBA＝60°，NA＝NB，
∵∠PBA＝∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO＝∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
＝60°+∠BAQ+60°+∠QAC
＝120°+∠BAC
＝180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA＝NB，CA＝CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD＝∠ACM＝30°，
∴∠MAC＝∠MAD+∠BAC＝90°，
在Rt△MAC中，AC＝3，
∴MA＝AC•tan∠ACM＝，CM＝2AM＝2，
∴MO′＝MA＝，
即CO的最小值为，故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
27．解：Rt△ABC中，BC＝5m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5m，
∴AB＝＝10m．
故答案为10m．
28．解：∵AD＝CD，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝10，
设⊙O的半径为5，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝﹣4＝，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝．
故答案为：．
29．解：如图所示，作BF⊥AE于F，
由旋转可知BA＝BA'，
故△BAA'为等腰三角形．
∵E为DC中点，
∴DE＝＝，
由勾股定理可得AE＝＝＝．
又BF⊥AA'，
∴AF＝A'F．
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∠BAF+∠EAD＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
又∠AFB＝∠ADE＝90°，
∴△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
解得AF＝．
∴AA'＝2AF＝．
故答案为：．
30．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故答案为20．
31．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∵x＝3时，y＝13，
∴x＝﹣1时，y＝13，
∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，
∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，
故答案为91．
32．解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），
∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
33．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴DA＝DB，
而∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴＝，即 ＝，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC，
∴CD＝AC﹣AD＝AC﹣AC＝AC，
∴＝＝；
故答案为：．
34．解：如图，延长AG交BC于E，连接CG，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG：GE＝2：1，
∵GD∥BC，
∴AD：DC＝2：1，△ADG∽△ACE，
∵S△GDC＝1，
∴S△GDA＝2，
∵△ADG∽△ACE，
∴＝，即＝，
∴S△ACE＝，
∵E是BC的中点，
∴S△ABC＝2×＝9，
故答案为：9．
35．解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；
如图2所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝8，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．
36．解：∵抛物线y＝x2+x+c的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线不过原点且与x轴有两个交点，
∴Δ＝12﹣4×1×c＞0，且c≠0，
解得：c＜且c≠0，
故答案为：c＜且c≠0．
37．解：（1）根据题意得a：b＝c：d，
即3：2＝c：4，解得c＝6；
（2）设这个数为x，
x2＝2•8，解得x＝4或x＝﹣4（舍去），
所以这个数为4．
故答案为6，4．
38．解：设∠ABD＝∠1，∠OAC＝∠2，∠OBC＝∠3，
∵△ABC内接于⊙O，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，
∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，
∴∠1+∠3＝m∠1﹣45°①，
∵∠ADB＝n∠ABD+45°，
∴2∠3+∠2＝n∠1+45°②，
∵∠1+∠2+∠3＝90°，
∴由②得∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45°③，
把③代入①得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°，
∴（n+2）∠1＝m∠1，
即m＝n+2．
解法二：设∠ABD＝x，用x表示三角形ABC的三个角，分别是∠ABC＝mx﹣45°，∠BAC＝135﹣（n+1）x，∠BCA＝90﹣x，利用三角形内角和180度可以得出m＝n+2．
故答案为：m＝n+2．
39．解：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．
∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，
∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，
∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，
∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），
∴PA＝PT，PB＝PT，
∴PA＝PB＝AB＝a，
②当∠PDC＝90°时，∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，
∴∠APD＝∠DPC＝∠CPB＝60°，
设AP＝x，则PD＝2x．PC＝4x，PB＝2x，
∴3x＝a，
∴x＝a．
∴PA＝a
故答案为a或a．
40．解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝（0+4）＝2或x＝（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
41．解：如图，连接OC交MN于点J，延长CO交AB于H，连接OA，OM．
∵CA＝CB，
∴＝，
∴CH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，
∴CH＝＝＝4，
设OA＝OC＝x，
在Rt△AOH中，则有x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴OA＝OM＝OC＝，
∵O，C关于MN对称，
∴OC⊥MN，OJ＝JC＝，
∴MJ＝JN＝＝＝，
∴MN＝2MJ＝，
故答案为．
42．解：在BC上取一点F，使BF＝EA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE＝BD，
∴∠AED＝∠DBC，
在△AED和△FBD中，
，
∴△AED≌△FBD（SAS），
∴∠EAD＝∠BFD，
∵AE＝BF＝2，BC＝8，
∴FC＝BC﹣BF＝8﹣2＝6，
∵∠DFC＝180°﹣∠BFD，∠BAC＝180°﹣∠EAD，
∴∠DFC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CAB，
设CD＝a，
∵AB＝AC，
∴，
∴CA＝AB＝，
∴，，
解得a＝或﹣（舍）．
故答案为：．
43．解：如图，作DH⊥AC于点H，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝8，AH＝CH＝AC＝4，
∴DH＝＝＝4，
∵AC＝（+1）CB，
∴CB＝＝4（﹣1），
∴BH＝CB+CH＝4（﹣1）+4＝4，
∴BD＝＝＝4，
在△ADE和△BAD中，∠AED＝∠BAD＝60°，∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴DE＝＝＝．
故答案为：．
44．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，
得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴y有最小值，最小值为﹣4．
（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；
②点P到y轴的距离为|m|，
∴|m|≤4，
∴﹣4≤m≤4，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．
45．解：（1）令y1＝y2，得ax2﹣2ax+1＝﹣x+3，
整理得ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
∴Δ＝（1﹣2a）2+8a＝（1+2a）2≥0，
∴两个函数图象必有交点．
（2）∵y1＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a）
∵抛物线y1的顶点落在直线y2上，
∴1﹣a＝﹣1+3，解得a＝﹣1．
故a的值为﹣1．
（3）当﹣4＜x＜2时，y1＜y2，
∵ax2﹣2ax+1＝﹣x+3，
∴ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣，
∴两个函数图象交点的横坐标为2、﹣，
当a＞0时，
∴﹣≤﹣4，解得0＜a≤．
故a的取值范围是0＜a≤．
46．（1）证明：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
又∵四边形BCDE内接于⊙O，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠AED＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接BD，OC，OE．
∵∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∵，
∴⊙O的半径OC＝OE＝6；
∵点D是的中点，
∴BD过圆心O，且DE＝DC，BE＝BC，
∵∠EBC＝45°，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠BOC＝2∠BEC＝135°，
∴的长为：＝．
47．解：（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，则该网店一天可获利润为
y＝（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；
（2）当y＝2100时，﹣2x2+30x+2000＝2100，
解得：x1＝10，x2＝5，
∵尽快减少库存，降价越多越好，
∴x＝10，
答：每天盈利2100元，需降价10元．
（3）y＝﹣2x2+30x+2000＝，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝7.5，ymax＝2112.5（元）．
答：每件商品降价7.5元时，可获得最大利润2112.5元．
48．证明：（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠DBC，且∠BDC＝∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE＝＝＝1，
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC＝2．
49．解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠APQ＝45°，
∴∠AOQ＝90°，
∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB
＝•PB•AP+•AB•OQ
＝×2×1+×3×
＝+；
（3）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
50．（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵AD：AE＝6：5，
∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，
∵AE•AB＝AD•AC，
∴AC＝＝＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝x，
∴＝，
∵△ABC的面积为50，
∴△BCD的面积＝×50＝14．
51．证明：（1）∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
即AE⊥AC；
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∴BD＝DE；
（3）由（2）可知：BD＝BC＝3，AB＝AC＝5，
∴AD＝4，
∴AC•BE＝AD•BC，
∴5×BE＝6×4，
∴BE＝．
52．解：（1）如图，∵BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，BC＝4，
∴CE＝BC＝2，
∴在直角△COE中，由勾股定理得，CO＝＝＝4，
即⊙O的半径是4；
（2）在直角△COE中，∠CEO＝90°，CO＝2OE，
∴∠ECO＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝60°．
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形ACO﹣S△AOC＝﹣×42＝π﹣4．
答：阴影部分的面积是π﹣4．
53．解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝4，∠A＝60°，
∴∠ACH＝30°，
∴AH＝AC＝2，CH＝AH＝2，
∵AB＝6，
∴BH＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵∠BOC＝2∠A＝120°，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝CF＝，∠COF＝∠BOC＝60°，
∴OC＝＝＝．
（3）S扇形OBC＝＝．
54．解：（1）由列表法列举所有可能出现的情况：
因此点P所有可能的坐标有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即（3，4），（4，3），
∴点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为＝．
55．解：（1）连接OD，OC，过O作OE⊥DC于E，
∵∠A＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，CD＝，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝OC＝CD＝，
∵OE⊥DC，
∴DE＝，∠DEO＝90°，∠DOE＝30°，
∴OE＝DE＝，
∴圆心O到弦DC的距离为：；
（2）①由（1）得，△ODC是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠CDB+∠ADC＝180°，
∴∠ACB＝∠CDB，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD＝30°，
∴∠OCB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②由△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴CB2＝AB•DB，
过D作DF⊥AC于F，
∴∠AFD＝∠CFD＝90°，
∵∠A＝30°，∠ACD＝45°，DC＝，
∴DF＝DC＝1，AD＝2DF＝2，
∵∠A＝∠BCD＝30°，∠ACD＝45°，
∴∠B＝∠CDB＝75°，
∴CB＝CD＝，
设BD＝x，则2＝x（2+x），
∴x＝﹣1（负值舍去），
∴BD＝﹣1．
56．解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．
（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况数；
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是．
57．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝8，
∴BG＝CGBC＝AC＝4，∠BAG＝∠CAG＝30°，
∴AG＝BG＝4，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝4：3，
∴BE＝BG＝3，
∴EG＝BE+BG＝3+4＝7，
在Rt△AEG中，AE＝＝＝；
（3）如图1，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴sin∠EBD＝＝，
∴EH＝BE，BH＝BE，
∵＝m，
∴BG＝mBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2mBE，
∴AH＝AB+BH＝2mBE+BE＝（2m+）BE，
在Rt△AHE中，tan∠EAD＝＝＝，
∴n＝．
58．（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
59．解：（1）如图1，连接BD，，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠0BD+∠ODB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠OBA+∠ODA＝180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD
＝180°﹣60°﹣60°
＝120°﹣60°
＝60°
（2）①如图2，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OBC＝∠ODC＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠OBA+∠ODA＝180°﹣（∠OBC+∠ODC）
＝180°﹣（60°+60°）
＝180°﹣120°
＝60°
②Ⅰ、如图3，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠OAD+60°，
∵OA＝OD，OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠ODA+60°．
Ⅱ、如图4，，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，，
∴，
∴∠B0D＝120°，∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠OAB＝∠OAD﹣∠BAD＝∠OAD﹣60°，
∵OA＝OD，OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠ODA﹣60°，
即∠ODA＝∠OBA+60°．
故答案为：60．
60．（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．
∵的度数是40°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠DAB＝∠DOB＝20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝∠ACD，
∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠AFE，
即AF平分∠CFE．
（3）解：如图2中，设AB交CD于H．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝2，
∵OC＝，∠OHC＝90°，
∴OH＝＝＝，
∴AH＝OH+OA＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝∠AHC＝90°，
∴AH∥DE，
∵CH＝HD，
∴AC＝AE，
∴CE＝2AC＝4．
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