2020－2021学年北京市各区八年级上学期期末数学试题分类汇编—轴对称

这是一份2020－2021学年北京市各区八年级上学期期末数学试题分类汇编—轴对称，共41页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2020·北京顺义·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，过点作交于点.若，则的度数为（ ）
A．18°B．20°C．30°D．36°
4．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5．（2020·北京房山·八年级期末）点(﹣2，5)关于坐标原点对称的点的坐标是( )
A．(2，﹣5)B．(﹣2，﹣5)C．(2，5)D．(5，﹣2)
6．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2020·北京昌平·八年级期末）如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有( )个
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（2020·北京朝阳·八年级期末）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（2020·北京朝阳·八年级期末）正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
10．（2020·北京石景山·八年级期末）如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）
A．.B．
C．D．
二、填空题
11．（2020·北京昌平·八年级期末）等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为_____cm．
12．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期末）把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则____．
（2020·北京丰台·八年级期末）点 M（3，﹣4）关于 x 轴的对称点的坐标是_________．
14．（2020·北京房山·八年级期末）已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为_______．
15．（2020·北京朝阳·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是__________
（2020·北京大兴·八年级期末） 点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是_________．
17．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是_____．
18．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是_____．
19．（2020·北京西城·八年级期末）如图，，点D在边上，，则________°．
20．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝_____（用含α的式子表示）．
（2020·北京密云·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P(1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是________；
22．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB=OB，∠A=60°，则点A到y轴的距离为______．
23．（2020·北京西城·八年级期末）如图，是等边三角形，于点D，于点E．若，则___；与的面积关系是：____．
（2020·北京石景山·八年级期末）如果等腰三角形的一个角比另一个角大30 ，那么它的顶角是_____度
三、解答题
25．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.
（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；
（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
26．（2020·北京顺义·八年级期末）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，那么BD与CE相等吗？为什么？
27．（2020·北京西城·八年级期末）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

28．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．
29．（2020·北京丰台·八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
30．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．
31．（2020·北京西城·八年级期末）如图，，点E在的延长线上，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：．
32．（2020·北京朝阳·八年级期末）如图， ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．
33．（2020·北京朝阳·八年级期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
34．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，请你按照下面要求完成尺规作图．
①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
②再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
③连接并延长交于点．
请你判断以下结论：
①是的一条角平分线；②连接，是等边三角形；③；
④点在线段的垂直平分线上；⑤．其中正确的结论有________（只需要写序号）．
35．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，，．点是射线上一点，点是线段上一点，且点与点关于直线对称，连接，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．
（1）根据题意完成作图；
（2）请你写出与之间的数量关系，并进行证明；
（3）写出线段，之间的数量关系，并进行证明．
36．（2020·北京丰台·八年级期末）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼Ａ，B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．

（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 ．
参考答案
1．D
【分析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【详解】
解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2），
∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变，横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点．
2．B
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．
【详解】
解：如图：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
故选：B.
【点睛】
本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.
3．A
【分析】
根据等腰三角形的性质可得，在根据，以及三角形的内角和即可得到答案．
【详解】
，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
4．D
【分析】
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．
【详解】
解：与成轴对称的格点三角形最多有6个．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
5．A
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】
点(﹣2，5)关于坐标原点对称的点的坐标是(2，﹣5)，
故选A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标都互为相反数．
6．C
【分析】
分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】
解：如下图：
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，
所以点C的个数为：2+1=3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键.
7．D
【分析】
根据等腰三角形的判定可得答案．
【详解】
解：如图所示，满足条件的点P的个数有5个，
故选D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解．
8．B
【分析】
根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【详解】
解：第1个是轴对称图形，符合题意；
第2个是轴对称图形，符合题意；
第3个不是轴对称图形，不合题意；
第4个是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
9．C
【分析】
根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABE≌△DCE，先求出∠BEA和∠CED的度数，再求∠BEC即可．
【详解】
解：根据正五边形的性质可得AB=AE=CD=DE，∠BAE=∠CDE=108°，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BEA＝∠CED＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BEC＝108°-36°-36°＝36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明△ABE≌△DCE是解题关键．
10．D
【分析】
根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.
【详解】
D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.
故选D.
【点睛】
此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.
11．6或8
【分析】
分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
【详解】
解：①6cm是底边时，腰长=（20-6）=7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为6或8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
12．．
【分析】
先利用等腰直角三角形的性质求出 ，，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论．
【详解】
如图，过点作于，
在中，，
，，
两个同样大小的含角的三角尺，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题
的关键．
13．（3，4）．
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】
点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为（3，4）．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．
【分析】
作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．
【详解】
解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值.
设DD′与OA交于点E，
∵∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE=OD=,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=
∴CP′=2DP′=2
∴DP′+CP′=3
故与和的最小值为3
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
15．80°
【分析】
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】
∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
16．(2,3)
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】
点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故答案为（2，3）．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．①③④．
【分析】
根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质．
18．0＜t＜或t＞6．
【分析】
过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【详解】
解：①过A作AP⊥BC时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP＝，
∴当0＜t＜时，△ABP是钝角三角形；
②过A作P'A⊥AB时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP'＝6，
∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，
故答案为：0＜t＜或t＞6．
【点睛】
此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
19．
【分析】
先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．2α．
【分析】
根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠A的度数；
【详解】
解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，
∴∠C＝（90﹣α）°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，
∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°
∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；
故答案为：2α．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
21．（-1，2）
【分析】
关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
故Q坐标为（-1，2）.
故答案为（-1，2）.
【点睛】
此题考查的是关于y轴对称的两点坐标的特点，掌握两点关于坐标轴或原点对称坐标特点是解决此题的关键.
22．1
【分析】
过A作AC⊥OB，首先证明△AOB是等边三角形，再求出OC的长即可．
【详解】
解，过A作AC⊥OB于点C，
∵AB=OB，∠A=60°
∴∠AOB=60°且△AOB是等边三角形，
∵点B的坐标为（2，0）
∴OB=2
∵AC⊥OB
∴
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．
23．； ．
【分析】
根据等边三角形三线合一性质，可知，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解得；由解得，继而解得、，再根据三角形面积公式解得，，整理即可解得的值．
【详解】
是等边三角形，
是的平分线
在中，
；
故答案为：；．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．80°或40°
【分析】
根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【详解】
①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x＋2（x−30）＝180
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y＋2（y＋30）＝180
y＝40，
故填：80°或40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
25．（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【分析】
（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】
解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC；
（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.
理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，
∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，
即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；
（3）AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.
证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=，
∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE，
∴，
∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE，
∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE，
∵AE=DE，
∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.
26．BD＝CE，理由见解析
【分析】
利用AAS证明△ADB≌△AEC，即可得结论．
【详解】
解：BD＝CE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】
证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案为：BD．
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【分析】
（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．
（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．
②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．
【详解】
（1）补全图形，如图1所示
（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．
②证明：连接DE，DF．如图3所示
∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
【点睛】
本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．
29．（1）正确，结论“AE＝EF”仍然成立，证明过程见解析；（2）是；（3）点E（，0）．
【分析】
（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，继而根据全等三角形的性质求得结论；
（3）在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE＝a，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点F坐标，代入解析式求得a的值，即可求解．
【详解】
（1）仍然成立，
如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）
∴AE＝EF，
故答案是：是；
（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，
设点E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝＝a，
∴BM＝1+a，
∴点F（1+a，a），
∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴点E（，0）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，一次函数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
30．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（-4，-4）．
【分析】
（1）依据点B关于y轴的对称点坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点坐标为（-1，-2），即可得到坐标轴的位置；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）依据关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到点A关于x轴的对称点的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系xOy．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）A点关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点A（-4，4）关于x轴的对称点的坐标（-4，-4）．
【点睛】
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
31．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD，则可利用AAS证明△ABC≌△ECD，再由全等三角形的性质可证得结论；
（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC，结合∠ABC=∠ECD，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC，即可证明∠ABD=∠EBD．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC=CD．
（2）证明：如图，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵∠ABC=∠ECD，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，
又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC，
∴∠ABD=∠EBD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
32．CE＝2AD，证明详见解析
【分析】
延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，根据等腰三角形的性质得到MA＝ME，根据全等三角形的性质得到∠N＝∠DAB．根据平行线的性质得到∠3＝∠AEC．求得MC＝MN，于是得到结论．
【详解】
解：CE＝2AD；
理由：延长AD至点N使DN＝AD，AN交CE于点M，连接CN，
∵∠DAB＝∠AEC，
∴MA＝ME，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠DAB，BD＝CD，∠1＝∠2＝90°．
∴ABD≌NCD（AAS），
∴∠N＝∠DAB．
∴CN∥AE．
∴∠3＝∠AEC．
∴∠3＝∠N．
∴MC＝MN，
∴CE＝MC+ME
＝MN+MA
＝AN
＝2AD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．
【分析】
（1）连接CN，AP，MP，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN和∠MBC；
（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；
②根据垂直平分线的性质可得PB=BM，PC=CN，再设BN长为x，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）如图，连接CN，AP，MP，
∵N、P关于AC对称，
∴C为PN的中点，且AC为NP的中垂线，
∴AN=AP，
∴△ANP为等腰三角形，
∴∠NAC=∠CAP（三线合一），
同理可证∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，
∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；
（2）①补全图2如下，
②由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上，
∴PB=BM，PC=CN，
设BN长为x，则BM的长为3x，CN长为2-x，
∴PC=CN=2-x，
∵PB=BM=PC+BC,
∴，
解得x=1，
∴满足条件的P点存在，且CP=2-1=1．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．
34．画图见解析；①②④.
【分析】
先按照步骤，进行尺规作图；然后根据角平分线定义、等边三角形判定定理、面积公式、垂直平分线的性质、外角定义逐个判断即可.
【详解】
按照已给的步骤，尺规作图结果如图1所示：
如图，连接PC、PM、CM、DM
（1）由圆的半径定义可知，
又
则平分，故①正确；
（2）在中，
又
是等边三角形，故②正确；
（3）由（1）、（2）可得，
则在中，
，故③不正确；
（4）由（3）已证，
则点在线段的垂直平分线上，故④正确；
（5）由（3）已证，，即
则，故⑤不正确
综上，正确的结论有①②④.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、等边三角形的判定定理、垂直平分线的性质等知识点，读懂题意，利用尺规作出图形是解题关键.
35．（1）如图见解析；（2）．证明见解析；（3）．证明见解析.
【分析】
（1）根据对称性可知，由此可画出点E；再利用三角板画，并延长FE、CB，两者的交点即为点G；
（2）先利用直角三角形的性质求出，再根据外角定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；
（3）如图（见解析），连接，过点作，垂足为点，再利用对称性和直角三角形两锐角互余的性质得出，再利用三角形全等的判定定理与性质可得，然后在中，得出，从而可得出答案.
【详解】
（1）对称性可知，由此可画出点E；再利用三角板画，并延长FE、CB，两者的交点即为点G，作图结果如下所示：
（2），证明过程如下：
∵在中，
又为的外角
在中，
由得；
（3），证明过程如下：
如图，连接，过点作，垂足为点
∵点与点关于直线对称
设
在中，，则
在中，
又
在与中，
又∵在中，
.
【点睛】
本题考查了点的对称性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键.
36．（1）详见解析；（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与l的交点即为O点的位置；
（2）依据线段垂直平分线性质定理即可作答.
【详解】
解：（1）如下图，点O为所求：
（2）依据为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质定理，作线段的垂直平分线.理解线段垂直平分线的性质定理，并会用尺规作线段的垂直平分线是解决此题的关键.