圆锥曲线通关练习21讲（基础到通关一应俱全）

这是一份圆锥曲线通关练习21讲（基础到通关一应俱全），共84页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
目录
专题01 直线与椭圆的位置关系 1
专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题 4
专题03 椭圆中的参数问题 8
专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题 12
专题05 椭圆中的向量问题 16
专题06 直线与双曲线的位置关系 20
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题 24
专题08 双曲线中的参数范围及最值问题 27
专题09 双曲线中的定点、定值、定直线问题 31
专题10 双曲线中的向量问题 35
专题11 直线与抛物线的位置关系 39
专题12 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题 42
专题13 抛物线中的参数问题 46
专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 49
专题15 圆锥曲线新定义问题 53
专题16 圆锥曲线与重心问题 58
专题17 圆锥曲线与内心问题 62
专题18 圆锥曲线与外心问题 67
专题19 圆锥曲线与垂心问题 71
专题20 圆锥曲线中的轨迹问题 75
专题21 圆锥曲线的综合应用 79

专题01 直线与椭圆的位置关系
一、单选题
1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
5．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
7．已知F是椭圆的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（ ）.
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2 B．面积的最大值为
C．直线的斜率为 D．为钝角
10．若直线l被圆所截得的弦长不小于，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是（ ）
A． B． C． D．
11．已知P是椭圆上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为，，若的最小值为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的方程为
B．椭圆E的离心率为
C．曲线经过E的一个焦点
D．直线与E有两个公共点
12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线的斜率为 D．
三、填空题
13．当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
14．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
15．已知，则的最值为_________.
16．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．
四、解答题
17．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程



18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A､B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.





19．设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．


20．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．



21．已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（1）求的值；
（2）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．




22．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．








专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题
一、单选题
1．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
2．经过椭圆(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
4．设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
5．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
8．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为 B．椭圆方程为
C．弦长 D．
10．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是（ ）.
A．直线AB与OM垂直；
B．若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；
C．若直线方程为y=x+1，则点M坐标为
D．若直线方程为y=x+2，则.
12．已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述正确的是（ ）
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．弦长存在最大值，且最大值为4
D．弦长不存在最小值
三、填空题
13．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
14．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，过作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，则的面积为________．
15．椭圆的右焦点为，，为轴上的两个动点，若，则面积的最小值为______．
16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．
四、解答题
17．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于､两点，且中点为，求直线的方程.





18．已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，过的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.



19．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程


20．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.




21．已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.
（1）求的长；
（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值．



22．已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，上顶点，的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.

专题03 椭圆中的参数问题
一、单选题
1．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．16 B．9 C．7 D．25
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，一个顶点为.对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设A，B是椭圆长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）
8．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 B．若，则曲线C表示双曲线
C．曲线C可能表示一个圆 D．若，则曲线C中过焦点的最短弦长为
10．已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若，则实数的取值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
11．已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．(多选)已知分别是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在使的面积为的点P的个数为4，则实数m的值可以是
A．2 B．3 C． D．5
三、填空题
13．已知椭圆，直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，若，则________.
14．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为____________
15．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．
16．点､分别为椭圆的左､右顶点，直线与椭圆相交于､两点，记直线､的斜率分别为､，则的最小值为___________
四、解答题
17．已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围.



18．已知椭圆的长轴长为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设的上顶点为A，右顶点为B，直线与平行，且与交于，两点，，点为的右焦点，求的最小值.




19．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．




20．已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.


21．设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．
（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．




22．已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点..
（1）求直线（为坐标原点）的斜率；
（2）设椭圆上任意一点，且，求的最大值和最小值.






专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题
一、单选题
1．已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知过原点的动直线l与椭圆交于A，B两点，D为椭圆C的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于两点（异于），若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则（　　）
A． B．3 C． D．2
6．已知椭圆，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋转时，有（其中t为定值），则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于，的三点，直线，，，围成一个平行四边形，则（ ）

A． B．
C． D．
8．已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交线段于，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是椭圆：的左､右焦点，且，分别在椭圆的内接的与边上，圆是的内切圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8
B．当点与上顶点重合时，圆的方程为
C．为定值
D．当轴时，线段交轴于点，则
10．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．直线与直线的斜率之积为
D．若直线，，的斜率之和为，则的值为
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
12．如图，已知椭圆的左､右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）

A．为定值 B．
C． D．的最大值为
三、填空题
13．已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．
14．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
15．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点，若为定值，则__________.
16．已知椭圆与y轴交于点M，N，直线交椭圆于两点，P是椭圆上异于的点，点Q满足，则__________
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴交于、两点，过定点的直线与曲线交于、两点（与、不重合），证明：直线，的交点在定直线上．




18．已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．





19．椭圆的离心率，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线与轴的交点为定点.




20．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.



21．已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.



22．已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．
专题05 椭圆中的向量问题
一、单选题
1．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别为双曲线的左､右焦点，为直角三角形，线段交双曲线于点Q，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
4．为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则
的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
6．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆为椭圆的左．右焦点，是椭圆上任一点，若的取值范围为，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．椭圆的离心率等于 D．椭圆的离心率等于
10．（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
11．已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
12．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得
三、填空题
13．已知A为椭圆 上的动点，MN为圆 的一条直径，则 的最大值为_____.
14．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则______．
15．在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，为两个焦点．若，则的值为________．
16．设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________
四、解答题
17．已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，若椭圆的离心率，且．
（1）求椭圆的解析式；
（2）过的直线交椭圆于两点，且与共线，求角的大小．




18．在平面直角坐标系中，已知椭圆中心在原点，焦距为2，右准线的方程为.过的直线交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.



19．已知焦点在轴的椭圆的方程为：，､分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，.
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.




20．已知椭圆C：的离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F与上顶点，原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率不为0的直线n过点F，与椭圆C交于M，N两点，若椭圆C上一点P满足，求直线n的斜率.







21．设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.






22．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.





专题06 直线与双曲线的位置关系
一、单选题
1．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．(－2，2) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．[－2，2]
3．已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点是双曲线的左焦点，过原点的直线与该双曲线的左右两支分别相交于点，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．{-1，1}
8．已知双曲线(，)与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若直线与双曲线有且只有一个公共点，则的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．10
10．在平面直角坐标系中，若双曲线与直线有唯一的公共点，则动点与定点的距离可能为（ ）
A．2 B． C． D．3
11．已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）
A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.7
三、填空题
13．已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________．
14．若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是______．
15．已知曲线与直线x+y-1=0相交于P，Q两点，且(O为原点)，则________.
16．若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_________.
四、解答题
17．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．





18．已知双曲线C：（）的左､右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.







19．已知双曲线C的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．
（1）求双曲线C渐近线方程；
（2）若直线与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围．







20．已知双曲线C：的离心率为，且经过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.








21．已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．




22．已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，.
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由.






专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题
一、单选题
1．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
4．已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
5．已知双曲线C : (a>0，b>0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．已知双曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0
C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0
7．已知双曲线左､右焦点分别为，，过作轴的垂线交双曲线的于，两点，若的周长为25，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
8．设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为
A． B． C． D．
二、多选题
9．双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（ ）
A．或
B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切
D．满足的直线有3条
10．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（ ）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
12．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．的离心率等于 D．的渐近线方程为

三、填空题
13．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
14．已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则___________.
15．已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为______．
16．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为___________.
四、解答题
17．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．




18．已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.






19．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．
（1）若，求直线l的方程；
（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值．



20．已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值.



21．直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．
（1）求与满足的关系；
（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．





22．已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．






专题08 双曲线中的参数范围及最值问题
一、单选题
1．若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．16 B．32 C．1或16 D．2或8
8．已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、多选题
9．如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
11．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值
12．已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．与的面积相等
B．若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为
C．若，则的渐近线方程为
D．若，则的离心率
三、填空题
13．已知是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是___________.
14．已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为___________
15．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
16．已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是__________.
四、解答题
17．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.



18．在平面直角坐标系内，已知双曲线：()，
（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；
（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值；
（3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围.


19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．

（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．



20．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围．






21．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．


22．己知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.




专题09 双曲线中的定点、定值、定直线问题
一、单选题
1．已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）
A．2 B． C． D．4
3．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是
A． B．
C． D．
4．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为
A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化
5．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则
A．-4 B． C．4 D．6
8．已知双曲线x29-y216=1,过其右焦点F的直线交双曲线于P,Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ的值为（ ）
A．53 B．58 C．54 D．56
二、多选题
9．已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
11．已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
12．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值
三、填空题
13．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________．
14．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．
15．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
16．已知双曲线 ，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为________.
四、解答题
17．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.








18．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．




19．已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．



20．已知双曲线的一个焦点为，且经过点
（1）求双曲线C的标准力程；
（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．





21．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，．交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．




专题10 双曲线中的向量问题
一、单选题
1．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．已知分别是双曲线的左右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A． B．－ C． D．－
11．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得
12．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
三、填空题
13．、是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则______．
14．已知双曲线，右焦点为，点是直线在第一象限上的动点，直线与双曲线的一条渐近线在第一象限上的交点为，若，则__________．
15．已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线、、、的斜率分别为，则______．
16．已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为________
四、解答题
17．点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
（1）求的值；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．





18．设双曲线C： 与直线l：相交于两个不同的点A、B．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值．








19．已知抛物线的焦点为，圆，，分别是抛物线和圆上的动点，当点在第一象限且轴时，的最大值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过点的直线交抛物线于，两点，且直线，设直线与抛物线的另一个交点为，求的最小值．




20．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．











21．已知双曲线的离心率为，点在上．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．





22．已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围.




专题11 直线与抛物线的位置关系
一、单选题
1．直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．，
C．， D．或
2．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
6．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
8．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则的取值范围是（ ）
A． B．) C． D．


二、多选题
9．已知，过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，为上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条
B．与到抛物线的准线距离之和的最小值为3
C．若，，成等比数列，则
D．抛物线在、两点处的切线互相垂直
10．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．-2
11．设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．可能大于
C．若，则
D．若在抛物线上存在唯一一点（异于、），使得，则
12．已知直线和抛物线交于、两点，直线、（为坐标原点）的斜率分别为、，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知O为坐标原点，点P(1，2)在抛物线C:y2=4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPA+kPB=0，则kAB·kOP的值为____.
14．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
15．抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．
16．过抛物线：的焦点的动直线交于，两点，线段的中点为，点.当的值最小时，点的横坐标为___________.
四、解答题
17．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．


18．已知,是抛物线上的点.
（1）若点在其准线上的投影为，求的最小值；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程.




19．已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.





20．已知抛物线：，点M在抛物线C上，点N在x轴的正半轴上，等边的边长为.
（1）求C的方程；
（2）若平行轴的直线交直线OM于点P，交抛物线C于点，点T满足，，判断直线TM与抛物线C的位置关系，并说明理由.




21．已知动圆过点，且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线交曲线于，两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，求的取值范围.




22．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点.
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在不过原点O的直线l∶y=kx+m与C交于P，Q两点，使得直线OP､PQ､OQ的斜率成等比数列､若存在，求k的值及m的取值范围；若不存在，请说明理由.





专题12抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题
一、单选题
1．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．1
3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3，2)，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若为定值，则这个定值是（ ）
A．p B．2p C． D．
5．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
6．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
7．过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设直线与抛物线相交于､两点，为坐标原点，若，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
10．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线为
C．直线的斜率为1 D．的面积为
11．若抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线交于两点，过A，B分别作抛物线的切线，设交于点P，下列命题正确的有（ ）
A． B． C． D．点P的纵坐标为定值
12．已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（ ）
A． B．
C． D．点在以为直径的圆内
三、填空题
13．已知直线与抛物线交于，两点，则______．
14．直线与抛物线交于，两点，若线段被点平分，则抛物线的准线方程为__________.
15．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
16．在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
四、解答题
17．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．




18．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交C于，两点，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）O为坐标原点，D为C上一点，若，求的值.




19．已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且∠OFM=(O为坐标原点).
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△AOB面积的最小值.





20．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．
（1）若与只有一个公共点，求的值；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．




21．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．




22．已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．





专题13 抛物线中的参数问题
一、单选题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数且）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点为抛物线的焦点，，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．32
6．已知抛物线，点，为坐标原点，若抛物线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线上任意一点到顶点的距离与到焦点的距离之比是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（ ）
A．点P的坐标为 B．
C．的面积的最大值为 D．的取值范围是
10．如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（ ）

A．，两点的纵坐标之积为
B．点在定直线上
C．点与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
11．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
12．已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
13．直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围______
14．已知点P在抛物线上，直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PA⊥PB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是___________．
15．设､分别是抛物线和圆上的点.若存在实数使得，则的最小值为________.
16．抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是______.
四、解答题
17．已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.


18．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.




19．已知抛物线：的焦点为，点在上，直线：与相离．若到直线的距离为，且的最小值为．过上两点分别作的两条切线，若这两条切线的交点恰好在直线上．
（1）求的方程；
（2）设线段中点的纵坐标为，求证：当取得最小值时，．




20．已知抛物线：的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线：与交于，两点，(其中为坐标原点)，求实数的取值范围.



21．已知抛物线，圆，过点引圆的两条切线，与抛物线分别交于两点，与圆的切点分别为．
（1）当时，求所在直线的方程；
（2）记线段的中点的横坐标为，求的取值范围．






22．已知抛物线的焦点为，经过点作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，且与相交于，两点，若是关于原点的对称点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．




专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题
一、单选题
1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．已知曲线：，过它的焦点作直线交曲线于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．抛物线x2＝－2y与过点P(0，－1)的直线l交于A，B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是(　　)
A．Y=－x－1 B．Y=x＋1 C．Y=x－1 D．Y=－x＋1
6．设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为
A． B．
C． D．
7．已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．
C． D．若于点，则点的轨迹是圆
10．已知抛物线方程为，直线，点为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B，则以下选项正确的是（ ）
A．当时，直线方程为 B．直线过定点
C．中点轨迹为抛物线 D．的面积的最小值为
11．已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（ ）
A．没有最大值也没有最小值
B．
C．
D．
E.若直线l的倾斜角为，则
12．已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．拋物线方程为 B．直线的方程为
C． D．

三、填空题
13．经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线______上．（写出此直线的方程）
14．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为____．
15．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.
16．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且.证明：直线恒过定点.




18．设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.
（1）求；
（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.




19．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.



20．已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于､两点；
①若，求直线的方程；
②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上.



21．在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.





22．已知抛物线的焦点为．点在上， ．
（1）求;
（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．





专题15 圆锥曲线新定义问题
一、单选题
1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
5．已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点.下列结论正确的是（ ）
A．椭圆上的所有点都是“★”点
B．椭圆上仅有有限个点是“★”点
C．椭圆上的所有点都不是“★”点
D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点
6．在平面内，曲线上存在点P，使点P到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别是，若，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的序号是（ ）
①在黄金椭圆中，成等比数列；
②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；
③在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆过焦点．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）．
A．曲线上不存在”完美点”
B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于
C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于
D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于
二、多选题
9．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为、则
D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上
10．数学家称为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（ ）
A． B．黄金椭圆离心率
C．设直线OQ的倾斜角为θ，则 D．交点Q坐标为(b,ωb)
11．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C过坐标原点
B．曲线C关于坐标原点对称
C．曲线C关于坐标轴对称
D．若点在曲线C上，则 的面积不大于
12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为
B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为
C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
D．对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小
三、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______
14．已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）
①；②；③；④
15．已知两定点,若直线上存在点,使得,则该直线为“型直线”.给出下列直线,其中是“型直线”的是___________.
① ② ③ ④
16．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
四、解答题
17．已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围.


18．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，已知椭圆的短半轴长为．
（1）写出椭圆的方程（用表示）；
（2）若椭圆的焦点在轴上，且上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围．


19．给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．




20．给定椭圆（），称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.
（1）求椭圆的“伴随圆”方程；
（2）在椭圆的“伴随圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两切线垂直；
（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、，使得，求满足条件的所有点的坐标.



21．给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.



22．在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；
（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.




专题16 圆锥曲线与重心问题
一、单选题
1．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知A是双曲线的左顶点，分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心，若，则为（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
5．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知的三个顶点都在抛物线：，且，抛物线的焦点为的重心，则（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
7．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（ ）
A．3 B． C．1 D．0
8．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是
C．取值范围是 D．
10．若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上点到直线的最大距离为
B．圆上点到直线的最小距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，若为的重心，则该双曲线的离心率为______.
14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．
15．已知，，是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线，，的斜率存在且分别为，，，则______．
16．已知抛物线E：y2＝4x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上的三个动点，其中x1＜x2＜x3且y2＜0，若ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，则直线AC的斜率为_____.
四、解答题
17．在双曲线C：中，､分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I.

（1）求内心I的横坐标；
（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点，若、的斜率、满足，求直线l的方程；
（3）若，求点P的坐标.




18．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.





19．若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.









20．已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.




21．已知椭圆离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由



22．设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.

（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；
（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.





专题17 圆锥曲线与内心问题
一、单选题
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P是双曲线（a>0，b>0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别为双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
10．若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
11．已知为双曲线（，）右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（ ）
A． B．
C．在定直线上 D．若，则或
12．已知，分别为双曲线的左右焦点，，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（ ）
A．离心率
B．点的横坐标为定值
C．若成立，则
D．若垂直轴于点，则
三、填空题
13．已知点P为双曲线心（，）右支上一点，点、分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的渐近线方程是________________．
14．已知直线l过点，l与抛物线交于E、F两点，当l不与y轴垂直时，在y轴上存在一点，使得的内心在y轴上，则实数______．
15．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.
16．椭圆：的右焦点为，点，在椭圆上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点，则椭圆的离心率___________
四、解答题
17．双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为.
（1）若，求的面积；
（2）若，求点的坐标.




18．如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）．

（1）求，的值；
（2）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由．






19．如图，已知椭圆：，离心率为，，为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一动点，为的内心，连接并延长交轴于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）设，的面积分别为，，求的取值范围.



20．已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为的直线与抛物线交于两点，且点在直线的右上方，求证：△的内心在直线上；
（3）在（2）中，若，求的内切圆半径长．

21．如图所示，作斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点B、C，点A（2,1）在直线的右上方．

（1）求证：△ABC的内心在直线x=2上；
（2）若，求△ABC内切圆的半径．









22．在双曲线C：x24-y25=1 中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，ΔPF1F2的重心为G，内心为I.
（1）是否存在一点P，使得IG∥F1F2 ？
（2）设A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2，与双曲线C交于M、N两点.若AM、AN的斜率k1、k2满足k1+k2=-12，求直线 l的方程.







专题18 圆锥曲线与外心问题
一、单选题
1．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为
A．4 B． C． D．
2．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
4．已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
二、填空题
6．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.
7．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
8．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．
9．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.
10．已知的三个顶点均在抛物线上，给出下列命题：
①若直线过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；
②若直线过点，则存在点使为直角三角形；
③存在，使抛物线的焦点恰为的外心；
④若边的中线轴，，则的面积为.
其中正确的序号为______________．
三、解答题
11．在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．
求C的方程；
若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．




12．已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.



13．设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.
（1）若，求的方程；
（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.


14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.
①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；
②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.



15．已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.




16．已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若，是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点．



17．已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．
（1）求抛物线C标准方程；
（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．







18．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点在圆上，.
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，求线段长度的最大值，并求出当线段长度最大时，外接圆的标准方程.



19．已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.
（1）若垂直l于点，且，求AF的长；
（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.









20．已知抛物线，焦点为F，过外一点Q（不在x轴上），作的两条切线，切点分别为A，B，直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，记的外心为M，的外心为T．

（1）若，求线段CF的长度；
（2）当点Q在曲线上运动时，求的最大值．




专题19 圆锥曲线与垂心问题
一、单选题
1．已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线：(，)的渐近线与抛物线：()交于点、、，若的垂心为抛物线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线：的虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
8．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上点到直线的最大距离为
B．圆上点到直线的最小距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
三、填空题
11．已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
12．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|＝4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为_____．
13．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=____________ .
14．已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______ .
15．已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.
16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
四、解答题
17．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别为，，，直线交线段于点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是△的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．




18．已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.


19．已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.
（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；
（2）若，求证：的垂心在定直线上.



20．已知①如图，长，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆与轴相交的下上顶点，若一直线交椭圆于两点，问是否存在直线使得为的垂心.若存在请求出直线的方程，若不存在请说明理由.

21．椭圆长轴端点为，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于两点，问：是否存在直线l，使点F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.







22．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且.

（1）证明：直线AB经过一个定点，并求出定点坐标；
（2）设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值.




专题20 圆锥曲线中的轨迹问题
一、单选题
1．已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
2．动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
3．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，有定点，，动点满足，记动点的轨迹为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则面积的值为（ ）
A． B． C． D．
6．点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（ ）
A． B． C． D．不确定
二、多选题
9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
10．已知的两个顶点A，B的坐标分别是，，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，则正确的是（ ）
A．当时，点C的轨迹是双曲线
B．当时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点）
C．当时，点C在圆上运动
D．当时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
11．已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹E的方程为
B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2
C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1
D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为
12．已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹是双曲线
C．当点满足时，的面积
D．当点满足时，的面积
三、填空题
13．设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为,且，求点的轨迹的方程_______________.
14．已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
15．给出下列命题：
①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②设，为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线．
③对任意实数，直线总与某一个定圆相切．
④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
⑤方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
其中真命题的序号是__________________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
16．已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
四、解答题
17．已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.


18．已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．



19．已知点，，直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若抛物线与曲线交于点，设，求面积最大时的值.


20．在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于不同的两点、.
①若为线段的中点，求直线的方程；
②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.
21．在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.








22．已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.







专题21 圆锥曲线的综合应用
一、单选题
1．已知F是抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，则三角形OAB面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
2．直线过椭圆的中心与椭圆交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为E，直线NE与椭圆交于另一个点P，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为4
B．椭圆C上不存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3
5．过抛物线的焦点F的直线于C交于A，B两点则取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
6．已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则满足题意的点有四个；
C．椭圆内接矩形周长的最大值为20；
D．若为钝角三角形，则；
10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
11．已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，下列说法中正确的有（ ）
A．若a＝2，b＝，且，则
B．若a＝2，b＝，且，则
C．若a＝5，m＝，则
D．若，且，则
三、填空题
13．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.
14．双曲线的焦点在圆上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P，Q两点满足（其中O是坐标原点），则的面积是_________．
15．已知椭圆：，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线、､的斜率之和为1.则______________.
16．设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.

四、解答题
17．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
（1）当时，求面积的最大值；
（2）设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．




18．已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围．




19．已知为坐标原点，椭圆：的左､右焦点分别为，，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，若，点在上，.证明：存在点，使得为定值.





20．在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率大于的直线交于，两点，点，连接，交直线于，两点，证明：点在以为直径的圆上．



21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．




22．已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．