数学湘教版2.7 正方形教案

2.7正方形(三)

    情感态度与价值观：

    培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．

    重难点、关键

    重点：探索正方形的性质与判定．

    难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．

    关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．

    教学准备

    教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．

    学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．

    学法解析

    1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．

3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．

    教学过程

    一、合作探究，导入新课

    【显示投影片】

    显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．

    【活动方略】

    教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：

    1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？

    2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？

    3．正方形具有哪些性质呢？

    学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．

实验活动：教师拿出矩形按下图左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．

教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：

    学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：

    正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．

    正方形性质：

    （1）边的性质：对边平行，四条边都相等．

    （2）角的性质：四个角都是直角．

    （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．

    （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．

    【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．

    二、实践应用，探究新知

    【课堂演练】（投影显示）

    演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．

求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．

思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．

    【活动方略】

    教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．

学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．

证：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，

∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，

又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，

∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．

（2）由（1）知△BOM≌△CON，

∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，

∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．

演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．

    思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．

    【活动方略】

    教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．

    学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．

证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．

∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：

EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，

CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，

∴EF2+CF2=CE2．

由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．

    【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．

    三、继续探究，学习新知

    【问题牵引】

    教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．

    学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：

   判定方法：

    1．是矩形，并且有一组邻边相等．

    2．是菱形，并且有一个角是直角．

    【投影显示】

    例4  求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

    思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．

    【活动方略】

    教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．

    已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．

    求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

    【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．

    学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

    四、随堂练习，巩固深化

    1．基训习题

    2．【探研时空】    如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．

请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．

思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．

    【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题．

    五、课堂总结，发展潜能

    【问题提出】

    正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．

1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）

2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

六、布置作业，专题突破

    1．基训

    2．选用课时作业优化设计

作业优化设计

    【驻足“双基”】

    1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．

2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．

    3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（  ）．

    A．     B．     C．     D．

    4．四条边都相等的四边形一定是（  ）

    A．正方形     B．菱形     C．矩形     D．以上结论都不对

5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．

    【提升“学力”】

6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．

【聚焦“中考”】

    7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

    （1）求证：DE=DF．

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

          7题图                                    8题图

8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？

    9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）