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第七章 第二节 直线、平面的平行关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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这是一份第七章 第二节 直线、平面的平行关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第七章第二节直线平面的平行关系原卷板docx、第七章第二节直线平面的平行关系解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。
第二节 直线、平面平行的判定及其性质
知识回顾
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
⇒l∥α
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
⇒a∥b
课前检测
1.若直线 a 不平行于平面 α，则下列结论成立的是( )
A．α 内的所有直线都与 a 异面
B．α 内的直线都与 a 平行
C．α 内不存在与 a 平行的直线
D．直线 a 与平面 α 有公共点
【答案】D
【解析】ABC．若 a 在平面 α 内，则 α 内所有直线都与 a 共面，此时 a 与 α 有无数多个公共点．
其中有无数条直线与 a 平行，有无数条直线与 a 相交，故 ABC 错误；
D．若 a 与平面 α 相交，则 a 与平面 α 有一个公共点，故 D 正确．
故选 D
2.已知直线 l 与平面 α 平行，则“直线 m 与直线 l 平行”是“直线 m 与平面 α 平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由直线 l 与平面 α 平行，知：
“直线 m 与直线 l 平行”⇒“直线 m 与平面 α 平行或直线 m⊂ 平面 α”．
“直线 m 与平面 α 平行”⇒“直线 m 与直线 l 平行、相交或异面”．
∴“直线 m 与直线 l 平行”是“直线 m 与平面 α 平行”的既不充分也不必要条件．
故选 D
3.下列说法中正确的个数是( )
① 两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行；
② 已知直线a//平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条；
③ 平面α//平面β，直线a⊂α,b⊂β，那么直线a,b的位置关系可能是平行或异面；
④ 若α//β,a⊂α，则a与平面β内任意一条直线都平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】① 过两条平行直线的两个平面可能相交，故不正确；
② 由图可知：
正确
③ 两个平面平行，平面内的直线没有交点，根据空间图形两直线可能平行，可能异面，故正确；
④ 由图可知：
根据空间直线的位置关系，可知a与平面β内的直线可能异面．
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
答案 A
解析 对于A，由m∥l1，m⊂α，l1⊄α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6.(多选)下列命题正确的是( )
A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面
D．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b
【答案】AC
【解析】 若直线与平面有两个公共点，由基本事实2可得直线在平面内，故A对；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故B错；若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故C对；若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故D错．
7.(多选)如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是( )
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【答案】ABD
【解析】 取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，D正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，A正确；∵B是定点，∴M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，C不正确．∴A、B、D正确．
8.(一题两空)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
【答案】①或③
【解析】 由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
课中讲解
考点一.直线与平面平行的判定
例1.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点．
证明 MN// 平面 PAB；
【答案】见解析
【解析】取 BC 中点 E，连接 EN，EM；
因为 AD//BC，AB=3，BC=4，
所以 AM=BE，AMEB 为平行四边形，
所以 ME//AB，
又因为 NE 为三角形 PBC 中位线，
所以 NE//PB，
所以面 MNE// 面 PAB，
所以 MN// 平面 PAB．
变式1.如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB=2，BD=23，M，N 分别是线段 PA，PC 的中点．
求证：MN// 平面 ABCD；
【答案】见解析
【解析】
连接 AC 交 BD 于点 O，
因为 M，N 分别是线段 PA，PC 的中点，
所以 MN//AC，
因为 MM⊂ 平面 ABCD，AC⊂ 平面 ABCD
所以 MN// 平面 ABCD．
例2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：DE∥平面AA1C1C；
【答案】略．
【解析】由题意知，E 为 B1C 的中点，
又 D 为 AB1 的中点，因此 DE∥AC．
又因为 DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以 DE∥平面AA1C1C 线面平行．
【备注】本题可通过证明 DE∥AC 来证明 DE∥面AA1C1C．
变式2.如图，在四棱锥P-ABCD中,∠ADC=∠PAB=90∘ ,BC=CD=12AD ,PA⊥CD,AD//BC,
试在棱PD上找一点E，使得直线CE//平面PAB，并说明理由；
【答案】E为PD中点
【解析】取PD中点E，中点F，连接EC,EF,FC，四边形ABEF为平行四边形∴CF//BA∴面CEF//面PAB∵CE⊂面CEF∴CE//面PAB；
例3.如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．
直线 PA// 平面 DEF；
【答案】见解析
【解析】因为 D，E 分别为棱 PC、AC 中点
所以 DE//PA．
又因为 PA⊄ 平面 DEF，DE⊆ 平面 DEF
所以直线 PA// 平面 DEF．
变式3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘,AA1=AB=22AC=2，点P在线段BC上，且BP=12CP，点D是BB1的中点，且CD交于BC1点Q．证明：CC1//平面A1PQ；
【答案】见解析
【解析】∵ΔCC1Q∼ΔDBQ∴QDCQ=BDCC1=12∴QP//CC1∴CC1//平面A1PQ．
例4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，G为ABC的重心，BE=13BC1．求证：GE//平面ABB1A1；
【答案】见解析
【解析】证明：连结CG并延长交AB于O，过G作GD//AB，交BC于D，连接DE．如图所示．∵G为ABC的重心,∴BDBC=OGOC=13，又BEBC1=13，所以DE//CC1，又因为BB1//CC1，所以DE//BB1，∵DE⊄平面AA1B1B,BB1⊂ ⊂平面AA1B1B,∴DE//平面AA1B1B．∵GD⋂DE=D，且GD，DE⊂平面GDE，∴平面GDE//平面AA1B1B，又GE⊂平面GDE，所以GE//平面ABB1A1．
变式4.如图，四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，
E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD.
证明：
(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中点，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP.
∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD.
∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD.
又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考点二.直线与平面平行的性质
例1.如图，平面五边形 ABCDE 中，AB//CE，且 AE=2，∠AEC=60∘，CD=ED=7，cos∠EDC=57．将 △CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP=3，得到四棱锥 P-ABCE，记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：AB//l．
【答案】见解析
【解析】∵AB//CE，且 CE⊂ 面 PCE．
∴AB// 面 PCE．
又 ∵ 面 PAB∩ 面 PCE=l．
∴AB//l．
变式1.如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，∠ABC=60∘，PA=AB=2，点 E、F 分别为 BC、PD 的中点，设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q．
已知平面 PAB∩ 平面 PCD=l，求证：AB//l；
【答案】见解析
【解析】∵AB//CD，AB⊄ 平面 PCD，CD⊂ 平面 PCD，
∴AB// 平面 PCD，∵AB⊂ 平面 PAB，平面 PAB∩ 平面 PCD=l，∴AB//l．
例2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G．
求证：EH//FG．
【答案】
略
【解析】证明：∵E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点；
∴EH//BD，
EH不在平面BCD内，BD在平面BCD内．
∴EH//平面BCD．
又平面α过EH分别交BC、CD于F、G；
∴EH//FG．
【备注】先根据条件得到EH//BD，进而得到EH//平面BCD，即可得到结论的证明．
本体主要考察直线与平面平行的性质.一般在证明线线平行时，常用方法为：证明线线平行或证明线面平行．
变式2.如图，ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF 都是正三角形．
证明：直线 BC//EF；
【答案】见解析
【解析】
如图，设 G 是线段 DA 延长线 与线段 EB 延长线的交点．
由于 △OAB 与 △ODE 都是正三角形，
所以 OB//DE，OB=12DE，OG=OD=2，
同理，设 G' 是线段 DA 延长线与线段 FC 延长线的交点，有 OG'=OD=2，
又由于 G 和 G' 都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G' 重合．
在 △GED 和 △GFD 中，
由 OB//DE，OB=12DE 和 OC//DF，OC=12DF，
可知 B，C 分别是 GE 和 GF 的中点，所以 BC 是 △GEF 的中位线，故 BC//EF．
考点三.面面平行的判定与性质
例1.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点．
(1) 求证：E，F，B，D 共面；
【答案】略
【解析】连接 B1D1，BD，EF．
∵EF∥B1D1，而 B1D1∥BD，
∴EF∥BD，
∴E，F，B，D 四点共面．
(2) 求证：平面 AMN∥平面EFDB．
【答案】略
【解析】连接 AM,AN,MN,DF,BE,FM，
∵FM=A1D1，FM∥A1D1，AD=A1D1，AD∥A1D1，
∴FM=AD，FM∥AD．
∴ 四边形 AMFD 为平行四边形，
∴AM∥DF，
又 ∵MN∥EF，且 AM∩MN=M，DF∩EF=F，
∴平面AMN∥平面EFDB．
变式1.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1D1，DD1，D1C1 的中点，证明：
(1) EG∥AC；
【答案】略
【解析】连接A1C1
∵E,G分别为A1D1,C1D1中点
∴EG∥A1C1∥AC
(2) 平面 EFG∥ 平面 AB1C．
【答案】见解析
【解析】由（1）EG∥AC，则 EG∥ 平面 AB1C
同理可得 EF∥B1C，则 EF∥ 平面 AB1C
又 EG∩EF=E，
所以平面 EFG∥ 平面 AB1C．
例2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点E、H分别是所在边靠近B、D的三等分点，现沿着EH将矩形折成直二面角，分别连接AD、AC、CB，形成如图所示的多面体．
证明：平面BCE//平面ADH；
【答案】略
【解析】∵DH//CE，AH//BE，
DH∩AH=H，CE∩BE=E，
DH，AH⊂平面ADH，CE，BE⊂平面BCE，
∴平面BCE//平面ADH．
变式2.已知四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，侧面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 PA=3，AD=1，PD=2．若点 F 在线段 CD 上，且 DFFC=3，试问：在 PB 上是否存在一点 E，使 EF// 面 PAD？若存在，求出 PEEB 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，PEEB=3
【解析】存在 E，当 PEEB=3 时，使 EF// 面 PAD．
理由如下：
在 AB 上取一点 G，使 AGGB=3 时，则在 △PAB 中，PEEB=AGGB=3，
∴EG//AP，EG⊄ 平面 PAD，AP⊂ 平面 PAD，
∴EG// 平面 PAD，
∵ 在菱形 ABCD 中，AGGB=DFFC=3，
∴GF//AD，
同理，GF// 平面 PAD，
∵FG⊂ 平面 EFG，EG⊂ 平面 EFG，FG∩EG=G，
∴ 平面 EFG// 平面 PAD，
∴FG// 平面 PAD，
∵EF⊂ 平面 EFG，
∴EF// 平面 PAD．
例3.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1 分别是棱 AD，AA1 的中点．设 F 是棱 AB 的中点，
证明：直线 EE1// 面 FCC1．
【答案】见解析
【解析】因为 F 为 AB 的中点，
CD=2，AB=4，AB//CD，
所以 CD//AF，
因此四边形 AFCD 为平行四边形，
所以 AD//FC．
又 CC1//DD1，FC∩CC1=C，
FC⊂ 平面 FCC1，CC1⊂ 平面 FCC1，
AD∩DD1=D，AD⊂ 平面 ADD1A1，
所以平面 ADD1A1// 平面 FCC1．
又 EE1⊂ 平面 ADD1A1，EE1⊄ 平面 FCC1，
所以 EE1// 平面 FCC1．
【备注】面面平行定义的应用，当不好做辅助线找线线平行，可先证明面面平行，再由定义应用得出线面平行．
变式3.如图所示，PA⊥ 平面 ABC，点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上，∠CBA=30∘，PA=AB=2，点 E 为线段 PB 的中点，点 M 在 AB⏜ 上，且 OM//AC．求证：ME// 平面 PAC．
【答案】见解析
【解析】∵ 点 E 为线段 PB 的中点，点 O 为线段 AB 的中点
∴OE//PA．
∵PA⊂ 平面 PAC，OE⊄ 平面 PAC，
∴OE// 平面 PAC．
∵OM//AC，AC⊂ 平面 PAC，OM⊄ 平面 PAC，
∴OM// 平面 PAC．
∵OE⊂ 平面 MOE，OM⊂ 平面 MOE，OE∩OM=O，
∴ 平面 MOE// 平面 PAC．
∵ME⊂ 平面 MOE
∴ME// 平面 PAC．
考点四.平行关系的综合应用
例1. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0
变式1.（湖北荆州中学2019届高三模拟）如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
【解析】 (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
例2. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1) 证明：PB∥平面AEC；
(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
【解析】 (1) 连结BD，交AC于点O，连结EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) PC的中点G即为所求的点．
证明如下：
连结GE，FG.
因为E为PD的中点，
所以GE∥CD，GE＝CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
所以FA∥CD，FA＝CD，
所以FA＝GE，FA∥GE，
所以四边形AFGE为平行四边形，
所以FG∥AE.
又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，
所以FG∥平面AEC.
课后习题
一． 单选题
1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】选A 由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．
2．(2019·湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【答案】选D A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.
3.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
【答案】选C 如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是( )
A．①② B.①②③
C．①③ D．②③
【答案】选D 对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以①错误；对于②，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确．故选D.
5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列三个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
【答案】选C ①正确；②中三条直线也可能相交于一点，故错误；③正确，所以正确的命题有2个．
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 A
解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，
又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论错误的是( )
A．当＝3时，D1P∥平面BDC1
B．当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D的外接球表面为π
C．AP＋PD1的最小值为
D．当A1P＝时，A1P⊥平面D1AP
答案 C
解析 对于A，连结AB1，AD1，
则＝××1＝，＝×××sin 60°＝，A1C＝，
设A1到平面AB1D1的距离为h，则××h＝，
解得h＝，∴h＝A1C.
∴当＝3时，P为A1C与平面AB1D1的交点．
∵平面AB1D1∥平面BDC1，D1P⊂平面AB1D1，
∴D1P∥平面BDC1，故A正确．
又由以上分析可得，当A1P＝时，A1P即为三棱锥A1－D1AP的高，∴A1P⊥平面D1AP，所以D正确．
对于B，当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥P－AA1D1D的外接球半径为R，
所以2＋2＝R2，解得R＝，
故四棱锥P－AA1D1D的外接球表面积为π，所以B正确．
对于C，连结AC，D1C，则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，
∴AP＝D1P，
由等面积法得AP的最小值为＝＝，
∴AP＋PD1的最小值为，所以C不正确．
故选C.
二．多选题
8．(多选)下列四个命题中正确的是( )
A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行
B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行
答案 BC
解析 A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；
B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；
C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；
D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条平行，
故D错误．
故选BC.
9．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是( )
A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1
答案 AC
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故C正确；
∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．
故选AC.
10.（2020年淮阴中学月考）已知直线、和平面，下列说法中不正确的有
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．直线平行于平面内的无数条直线，则
【答案】．
【解析】由直线、和平面，得：
在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，则与平行或异面，故错误；
在中，直线平行于平面内的无数条直线，则或，故错误．
三．填空题
11．已知下列命题：
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.
上述命题正确的是________(填序号)．
解析：①若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①对；②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故②错；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故③对；④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故④错．
【答案】①③
12.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 的形状为________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
【答案】平行四边形
14.(2019·湖北省宜昌市宜都二中、东湖高中联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，现有如下四个结论：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A－BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．
其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 对于①，由AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面DD1B1B，又BE⊂平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；对于②，由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF在平面A1B1C1D1内，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；对于③，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到平面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A－BEF的体积为定值，此命题正确；对于④，由题干图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是∠A1AO，tan∠A1AO＝＝，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，BC1＝，OC1＝，OB＝，由余弦定理得，cos∠OBC1＝，∴∠OBC1＝30°，所以这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确．
15、(一题两空)如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)若BC1∥平面AB1D1，则＝________；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝________.
【答案】(1)1 (2)1
【解析】 (1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
因为＝，＝.
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
四． 解答题
16.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
17.如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝AB，
因为CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD.
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
18.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 (1)如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，
第二节 直线、平面平行的判定及其性质
知识回顾
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
⇒l∥α
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
⇒a∥b
课前检测
1.若直线 a 不平行于平面 α，则下列结论成立的是( )
A．α 内的所有直线都与 a 异面
B．α 内的直线都与 a 平行
C．α 内不存在与 a 平行的直线
D．直线 a 与平面 α 有公共点
【答案】D
【解析】ABC．若 a 在平面 α 内，则 α 内所有直线都与 a 共面，此时 a 与 α 有无数多个公共点．
其中有无数条直线与 a 平行，有无数条直线与 a 相交，故 ABC 错误；
D．若 a 与平面 α 相交，则 a 与平面 α 有一个公共点，故 D 正确．
故选 D
2.已知直线 l 与平面 α 平行，则“直线 m 与直线 l 平行”是“直线 m 与平面 α 平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由直线 l 与平面 α 平行，知：
“直线 m 与直线 l 平行”⇒“直线 m 与平面 α 平行或直线 m⊂ 平面 α”．
“直线 m 与平面 α 平行”⇒“直线 m 与直线 l 平行、相交或异面”．
∴“直线 m 与直线 l 平行”是“直线 m 与平面 α 平行”的既不充分也不必要条件．
故选 D
3.下列说法中正确的个数是( )
① 两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行；
② 已知直线a//平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条；
③ 平面α//平面β，直线a⊂α,b⊂β，那么直线a,b的位置关系可能是平行或异面；
④ 若α//β,a⊂α，则a与平面β内任意一条直线都平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】① 过两条平行直线的两个平面可能相交，故不正确；
② 由图可知：
正确
③ 两个平面平行，平面内的直线没有交点，根据空间图形两直线可能平行，可能异面，故正确；
④ 由图可知：
根据空间直线的位置关系，可知a与平面β内的直线可能异面．
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
答案 A
解析 对于A，由m∥l1，m⊂α，l1⊄α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6.(多选)下列命题正确的是( )
A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面
D．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b
【答案】AC
【解析】 若直线与平面有两个公共点，由基本事实2可得直线在平面内，故A对；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故B错；若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故C对；若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故D错．
7.(多选)如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是( )
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【答案】ABD
【解析】 取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∵MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，D正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，∴MB是定值，A正确；∵B是定点，∴M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，C不正确．∴A、B、D正确．
8.(一题两空)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
【答案】①或③
【解析】 由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
课中讲解
考点一.直线与平面平行的判定
例1.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点．
证明 MN// 平面 PAB；
【答案】见解析
【解析】取 BC 中点 E，连接 EN，EM；
因为 AD//BC，AB=3，BC=4，
所以 AM=BE，AMEB 为平行四边形，
所以 ME//AB，
又因为 NE 为三角形 PBC 中位线，
所以 NE//PB，
所以面 MNE// 面 PAB，
所以 MN// 平面 PAB．
变式1.如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB=2，BD=23，M，N 分别是线段 PA，PC 的中点．
求证：MN// 平面 ABCD；
【答案】见解析
【解析】
连接 AC 交 BD 于点 O，
因为 M，N 分别是线段 PA，PC 的中点，
所以 MN//AC，
因为 MM⊂ 平面 ABCD，AC⊂ 平面 ABCD
所以 MN// 平面 ABCD．
例2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：DE∥平面AA1C1C；
【答案】略．
【解析】由题意知，E 为 B1C 的中点，
又 D 为 AB1 的中点，因此 DE∥AC．
又因为 DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以 DE∥平面AA1C1C 线面平行．
【备注】本题可通过证明 DE∥AC 来证明 DE∥面AA1C1C．
变式2.如图，在四棱锥P-ABCD中,∠ADC=∠PAB=90∘ ,BC=CD=12AD ,PA⊥CD,AD//BC,
试在棱PD上找一点E，使得直线CE//平面PAB，并说明理由；
【答案】E为PD中点
【解析】取PD中点E，中点F，连接EC,EF,FC，四边形ABEF为平行四边形∴CF//BA∴面CEF//面PAB∵CE⊂面CEF∴CE//面PAB；
例3.如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．
直线 PA// 平面 DEF；
【答案】见解析
【解析】因为 D，E 分别为棱 PC、AC 中点
所以 DE//PA．
又因为 PA⊄ 平面 DEF，DE⊆ 平面 DEF
所以直线 PA// 平面 DEF．
变式3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘,AA1=AB=22AC=2，点P在线段BC上，且BP=12CP，点D是BB1的中点，且CD交于BC1点Q．证明：CC1//平面A1PQ；
【答案】见解析
【解析】∵ΔCC1Q∼ΔDBQ∴QDCQ=BDCC1=12∴QP//CC1∴CC1//平面A1PQ．
例4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，G为ABC的重心，BE=13BC1．求证：GE//平面ABB1A1；
【答案】见解析
【解析】证明：连结CG并延长交AB于O，过G作GD//AB，交BC于D，连接DE．如图所示．∵G为ABC的重心,∴BDBC=OGOC=13，又BEBC1=13，所以DE//CC1，又因为BB1//CC1，所以DE//BB1，∵DE⊄平面AA1B1B,BB1⊂ ⊂平面AA1B1B,∴DE//平面AA1B1B．∵GD⋂DE=D，且GD，DE⊂平面GDE，∴平面GDE//平面AA1B1B，又GE⊂平面GDE，所以GE//平面ABB1A1．
变式4.如图，四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，
E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD.
证明：
(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中点，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP.
∵FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD.
∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD.
又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考点二.直线与平面平行的性质
例1.如图，平面五边形 ABCDE 中，AB//CE，且 AE=2，∠AEC=60∘，CD=ED=7，cos∠EDC=57．将 △CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP=3，得到四棱锥 P-ABCE，记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：AB//l．
【答案】见解析
【解析】∵AB//CE，且 CE⊂ 面 PCE．
∴AB// 面 PCE．
又 ∵ 面 PAB∩ 面 PCE=l．
∴AB//l．
变式1.如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，∠ABC=60∘，PA=AB=2，点 E、F 分别为 BC、PD 的中点，设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q．
已知平面 PAB∩ 平面 PCD=l，求证：AB//l；
【答案】见解析
【解析】∵AB//CD，AB⊄ 平面 PCD，CD⊂ 平面 PCD，
∴AB// 平面 PCD，∵AB⊂ 平面 PAB，平面 PAB∩ 平面 PCD=l，∴AB//l．
例2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G．
求证：EH//FG．
【答案】
略
【解析】证明：∵E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点；
∴EH//BD，
EH不在平面BCD内，BD在平面BCD内．
∴EH//平面BCD．
又平面α过EH分别交BC、CD于F、G；
∴EH//FG．
【备注】先根据条件得到EH//BD，进而得到EH//平面BCD，即可得到结论的证明．
本体主要考察直线与平面平行的性质.一般在证明线线平行时，常用方法为：证明线线平行或证明线面平行．
变式2.如图，ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF 都是正三角形．
证明：直线 BC//EF；
【答案】见解析
【解析】
如图，设 G 是线段 DA 延长线 与线段 EB 延长线的交点．
由于 △OAB 与 △ODE 都是正三角形，
所以 OB//DE，OB=12DE，OG=OD=2，
同理，设 G' 是线段 DA 延长线与线段 FC 延长线的交点，有 OG'=OD=2，
又由于 G 和 G' 都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G' 重合．
在 △GED 和 △GFD 中，
由 OB//DE，OB=12DE 和 OC//DF，OC=12DF，
可知 B，C 分别是 GE 和 GF 的中点，所以 BC 是 △GEF 的中位线，故 BC//EF．
考点三.面面平行的判定与性质
例1.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点．
(1) 求证：E，F，B，D 共面；
【答案】略
【解析】连接 B1D1，BD，EF．
∵EF∥B1D1，而 B1D1∥BD，
∴EF∥BD，
∴E，F，B，D 四点共面．
(2) 求证：平面 AMN∥平面EFDB．
【答案】略
【解析】连接 AM,AN,MN,DF,BE,FM，
∵FM=A1D1，FM∥A1D1，AD=A1D1，AD∥A1D1，
∴FM=AD，FM∥AD．
∴ 四边形 AMFD 为平行四边形，
∴AM∥DF，
又 ∵MN∥EF，且 AM∩MN=M，DF∩EF=F，
∴平面AMN∥平面EFDB．
变式1.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1D1，DD1，D1C1 的中点，证明：
(1) EG∥AC；
【答案】略
【解析】连接A1C1
∵E,G分别为A1D1,C1D1中点
∴EG∥A1C1∥AC
(2) 平面 EFG∥ 平面 AB1C．
【答案】见解析
【解析】由（1）EG∥AC，则 EG∥ 平面 AB1C
同理可得 EF∥B1C，则 EF∥ 平面 AB1C
又 EG∩EF=E，
所以平面 EFG∥ 平面 AB1C．
例2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点E、H分别是所在边靠近B、D的三等分点，现沿着EH将矩形折成直二面角，分别连接AD、AC、CB，形成如图所示的多面体．
证明：平面BCE//平面ADH；
【答案】略
【解析】∵DH//CE，AH//BE，
DH∩AH=H，CE∩BE=E，
DH，AH⊂平面ADH，CE，BE⊂平面BCE，
∴平面BCE//平面ADH．
变式2.已知四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，侧面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 PA=3，AD=1，PD=2．若点 F 在线段 CD 上，且 DFFC=3，试问：在 PB 上是否存在一点 E，使 EF// 面 PAD？若存在，求出 PEEB 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，PEEB=3
【解析】存在 E，当 PEEB=3 时，使 EF// 面 PAD．
理由如下：
在 AB 上取一点 G，使 AGGB=3 时，则在 △PAB 中，PEEB=AGGB=3，
∴EG//AP，EG⊄ 平面 PAD，AP⊂ 平面 PAD，
∴EG// 平面 PAD，
∵ 在菱形 ABCD 中，AGGB=DFFC=3，
∴GF//AD，
同理，GF// 平面 PAD，
∵FG⊂ 平面 EFG，EG⊂ 平面 EFG，FG∩EG=G，
∴ 平面 EFG// 平面 PAD，
∴FG// 平面 PAD，
∵EF⊂ 平面 EFG，
∴EF// 平面 PAD．
例3.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1 分别是棱 AD，AA1 的中点．设 F 是棱 AB 的中点，
证明：直线 EE1// 面 FCC1．
【答案】见解析
【解析】因为 F 为 AB 的中点，
CD=2，AB=4，AB//CD，
所以 CD//AF，
因此四边形 AFCD 为平行四边形，
所以 AD//FC．
又 CC1//DD1，FC∩CC1=C，
FC⊂ 平面 FCC1，CC1⊂ 平面 FCC1，
AD∩DD1=D，AD⊂ 平面 ADD1A1，
所以平面 ADD1A1// 平面 FCC1．
又 EE1⊂ 平面 ADD1A1，EE1⊄ 平面 FCC1，
所以 EE1// 平面 FCC1．
【备注】面面平行定义的应用，当不好做辅助线找线线平行，可先证明面面平行，再由定义应用得出线面平行．
变式3.如图所示，PA⊥ 平面 ABC，点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上，∠CBA=30∘，PA=AB=2，点 E 为线段 PB 的中点，点 M 在 AB⏜ 上，且 OM//AC．求证：ME// 平面 PAC．
【答案】见解析
【解析】∵ 点 E 为线段 PB 的中点，点 O 为线段 AB 的中点
∴OE//PA．
∵PA⊂ 平面 PAC，OE⊄ 平面 PAC，
∴OE// 平面 PAC．
∵OM//AC，AC⊂ 平面 PAC，OM⊄ 平面 PAC，
∴OM// 平面 PAC．
∵OE⊂ 平面 MOE，OM⊂ 平面 MOE，OE∩OM=O，
∴ 平面 MOE// 平面 PAC．
∵ME⊂ 平面 MOE
∴ME// 平面 PAC．
考点四.平行关系的综合应用
例1. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0
变式1.（湖北荆州中学2019届高三模拟）如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
【解析】 (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
例2. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1) 证明：PB∥平面AEC；
(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
【解析】 (1) 连结BD，交AC于点O，连结EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2) PC的中点G即为所求的点．
证明如下：
连结GE，FG.
因为E为PD的中点，
所以GE∥CD，GE＝CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
所以FA∥CD，FA＝CD，
所以FA＝GE，FA∥GE，
所以四边形AFGE为平行四边形，
所以FG∥AE.
又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，
所以FG∥平面AEC.
课后习题
一． 单选题
1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】选A 由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．
2．(2019·湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【答案】选D A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.
3.如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A．垂直
B．相交不垂直
C．平行
D．重合
【答案】选C 如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是( )
A．①② B.①②③
C．①③ D．②③
【答案】选D 对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以①错误；对于②，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确．故选D.
5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列三个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B.1
C．2 D．3
【答案】选C ①正确；②中三条直线也可能相交于一点，故错误；③正确，所以正确的命题有2个．
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 A
解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，
又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论错误的是( )
A．当＝3时，D1P∥平面BDC1
B．当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D的外接球表面为π
C．AP＋PD1的最小值为
D．当A1P＝时，A1P⊥平面D1AP
答案 C
解析 对于A，连结AB1，AD1，
则＝××1＝，＝×××sin 60°＝，A1C＝，
设A1到平面AB1D1的距离为h，则××h＝，
解得h＝，∴h＝A1C.
∴当＝3时，P为A1C与平面AB1D1的交点．
∵平面AB1D1∥平面BDC1，D1P⊂平面AB1D1，
∴D1P∥平面BDC1，故A正确．
又由以上分析可得，当A1P＝时，A1P即为三棱锥A1－D1AP的高，∴A1P⊥平面D1AP，所以D正确．
对于B，当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥P－AA1D1D的外接球半径为R，
所以2＋2＝R2，解得R＝，
故四棱锥P－AA1D1D的外接球表面积为π，所以B正确．
对于C，连结AC，D1C，则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，
∴AP＝D1P，
由等面积法得AP的最小值为＝＝，
∴AP＋PD1的最小值为，所以C不正确．
故选C.
二．多选题
8．(多选)下列四个命题中正确的是( )
A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行
B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行
答案 BC
解析 A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；
B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；
C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；
D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条平行，
故D错误．
故选BC.
9．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是( )
A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1
答案 AC
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故C正确；
∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．
故选AC.
10.（2020年淮阴中学月考）已知直线、和平面，下列说法中不正确的有
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．直线平行于平面内的无数条直线，则
【答案】．
【解析】由直线、和平面，得：
在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，则与平行或异面，故错误；
在中，直线平行于平面内的无数条直线，则或，故错误．
三．填空题
11．已知下列命题：
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.
上述命题正确的是________(填序号)．
解析：①若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①对；②如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故②错；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故③对；④若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故④错．
【答案】①③
12.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 的形状为________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
【答案】平行四边形
14.(2019·湖北省宜昌市宜都二中、东湖高中联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，现有如下四个结论：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A－BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．
其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 对于①，由AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面DD1B1B，又BE⊂平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；对于②，由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF在平面A1B1C1D1内，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；对于③，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到平面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A－BEF的体积为定值，此命题正确；对于④，由题干图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是∠A1AO，tan∠A1AO＝＝，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，BC1＝，OC1＝，OB＝，由余弦定理得，cos∠OBC1＝，∴∠OBC1＝30°，所以这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确．
15、(一题两空)如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)若BC1∥平面AB1D1，则＝________；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝________.
【答案】(1)1 (2)1
【解析】 (1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
因为＝，＝.
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
四． 解答题
16.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
17.如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝AB，
因为CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD.
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
18.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 (1)如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，
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