浙江省衢州市温州市“衢温5+1”联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题含答案

绝密★考试结束前

2020学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考

高一年级数学学科 试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分（共60分）

一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）

1．已知全集，集合，，则=（    ）

A．   B．   C．   D．

2．cos120°的值为（    ）

A．     B．   C．    D．

3．如图，在正方体中，，分别是正方形与的中心，直线与的位置关系为（    ）

A．平面     B．相交

C．异面     D．相交或异面

4．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

5．如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的侧面积为（    ）

A．     B．

C．     D．

6．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．函数的图像可能是（    ）

A．  B． C． D．

8．已知函数是偶函数，则，的值可能是（    ）

A．，      B．，

C．，      D．，

二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．三个平面可以把空间分成个部分．在下列选项中，的值正确的有（    ）

A．5个     B．6个    C．7个    D．8个

10．下列等式正确的有（    ）

A．      B．

C．      D．

11．函数在区间上的值域为，则的值可能是（    ）

A．1     B．2    C．3    D．4

12．已知，函数满足：存在，对任意的，恒有.则可以是（    ）

A．   B．  C．  D．

非选择题部分（共90分）

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知，为单位向量，且．则与的夹角为______．

14．已知,为两个正实数，且恒成立．则实数的取值范围是______．

15．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，其中，，．则=______．

16．若平面向量，，满足，，．则的最大值为______．

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

17．（本小题满分10分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若为非空集合且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知，，．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）已知三个内角，，所对的边分别为，，，当，，时，求的面积．

19．（本小题满分12分）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发掘．科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代．已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为．（参考数据：）

（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；

（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？

20．（本小题满分12分）已知函数是偶函数．

（1）求的值；

（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．

21．（本小题满分12分）如图一，在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为，是内任意一点，则到三边的距离的和为定值．当是的中心时，到各边的距离均为”．

证明如下：设正三角形边长为，高，到三边的距离分别为，，

则：，即：

 化简得

若是中心，则

即：正三角形中心到各边的距离均为

类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为的正四面体（图二）相应的命题，并证明你的结论．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若，求函数的定义域；

（2）若，且有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数的定义域为，且在上具有单调性，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

2020学年第二学期衢温“5+1”联盟期中联考

高一年级数学学科 参考答案

一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分．

1．B  2．A  3．C  4．A

5．B  6．D  7．D  8．C

二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．

9．BCD   10．ABD   11．BCD   12．AB

三、填空题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．   14．   15．1或2   16．

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）

17．解：（1）依题意知：

由，得：

即：

（2）依题意得：

，解得

因此，的取值范围是

18．解：（1）

∴，

当时，

解得：

即：单调递增区间为

（2）由题意得：，∴∴

由余弦定理知：

∴

∴

19．解：（1）

（2）∵

∴

解得：

即：古生物距今大约5600年

20．解：由题意得：

即

∴，∴

（2）由题意得：恒成立

∴ ∴

∴恒成立

∴

∴

21．解：类比命题：正四面体的高为，是正四面体内任意一点，则到四个面的距离之和为定值．当是正四面体的中心时，到各面的距离均为

证明如下：设四个面的面积为

连结，，，，设到四个面的距离分别是，，，，

则：

∴

化简得：

若是正四面体的中心，则

即：正四面体中心到各面的距离均为．

22．解：（1）当时，，

由，得，解得或．

∴函数的定义域为；

（2），

设，∴有两个不同实数根，整理得，

同时，∴

（3）函数的定义域为，恒成立，

当时，，在上单调递减，

此时需要满足，即，函数在上递减；

当时，，在上递减，

∵，∴，即当时，函数在上递减．

综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减．