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2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+5）2+7
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+7
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．（3分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC＝5，∠A＝30°，则AC的长为（ ）
A．10 B．8 C． D．
7．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（3分）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣4的对称轴是 ．
12．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝110°，则∠DCE的度数为 ．
13．（3分）如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
14．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝2∠BAD，若BD＝2，则⊙O的直径为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
18．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 ．
20．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
23．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．在△ABC中，∠C＝120°，CB＝AC，AB＝2，D，E两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A→C→B、射线AB运动，连接DE．当点D到达点B时，D，E两点同时停止运动，设AD＝x，△ADE与△ABC重叠部分面积为S．
（1）填空：AC＝ ；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
25．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点．
（1）如图1，若点E恰好在线段AC上，连接FG．探究线段FG和BG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，过点E作EH⊥EA，垂足为E，交BG于点H，求的值．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
3．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣1，3），
故选：A．
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+5）2+7
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+7
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+2）2+5的顶点坐标为（﹣2，5），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）．
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：C．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
【解答】解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
6．（3分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC＝5，∠A＝30°，则AC的长为（ ）
A．10 B．8 C． D．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝AB，求出BC，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵BC＝5，
∴AB＝10，
由勾股定理得：AC＝．
故选：D．
7．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，由直角三角形的性质可得∠AA'C＝∠CAA'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，
∴∠AA'C＝∠CAA'＝45°，且∠1＝25°，
∴∠B'A'C＝20°，
∴∠BAC＝20°，
故选：B．
8．（3分）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．
【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，
∴OA＝OB＝AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．
故选：B．
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【解答】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣4的对称轴是 直线x＝2 ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．
【解答】解：由y＝2（x﹣2）2﹣4可知，抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝2；
故答案为：直线x＝2．
12．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝110°，则∠DCE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∴∠DCE＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．（3分）如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （4，0） ．
【分析】抛物线经过（0，0）且对称轴为直线x＝2，根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过（0，0），且对称轴为直线x＝2，
∴由抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一个交点为（4，0），
故答案为：（4，0）．
14．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
∵点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上，
而三点横坐标离对称轴x＝﹣1的距离按由远到近为：（3，y3）、（﹣4，y1）、（﹣2，y2），
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝2∠BAD，若BD＝2，则⊙O的直径为 4 ．
【分析】利用圆周角定理得到：∠ADB＝90°，∠ACD＝∠B，结合三角形内角和定理和已知条件可以判定∠DAB＝30°，则AB＝2BD，此题得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵＝．
∴∠ACD＝∠ABD．
又∵∠ACD＝2∠BAD，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝30°．
∵BD＝2，
∴AB＝2BD＝4．
故答案是：4．
16．（3分）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，则m的取值范围为 ﹣3≤m≤1 ．
【分析】把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．
【解答】解：当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣3，
当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，
解得m1＝0，m2＝1，
所以抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，m的取值范围为﹣3≤m≤1；
故答案为：﹣3≤m≤1．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
18．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（2，0），B（2，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣6；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，则C（4，0），
所以△ABC的面积＝×（4﹣2）×6＝6．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 （1，﹣3 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点B1的坐标（﹣3，5）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，点B2的坐标（5，﹣1）．
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心P的坐标（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
20．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
【分析】过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得出AE＝BE，CE＝DE，相减即可得出答案．
【解答】证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，
∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
【分析】（1）令h＝0，求t即可；
（2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解．
【解答】解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0
解得t1＝0（舍去），t2＝4
∴小球从飞出到落地要用4s
（2）由配方法得
y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20
∵a＝﹣5＜0
∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s．
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝40°，再利用等腰三角形的性质可得；
（2）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得∠C＝∠DEC，从而证明结论；
（3）设CE＝x，则BE＝12﹣x，根据勾股定理可得AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，代入即可得出方程，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
23．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设五仁月饼每盒进价a元，则豆沙月饼每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售五仁月饼的利润y与五仁月饼每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设五仁月饼每盒进价a元，则豆沙月饼每盒进价（a﹣10）元，
则＝，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴五仁月饼每盒进价40元，豆沙月饼每盒进价30元；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．在△ABC中，∠C＝120°，CB＝AC，AB＝2，D，E两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A→C→B、射线AB运动，连接DE．当点D到达点B时，D，E两点同时停止运动，设AD＝x，△ADE与△ABC重叠部分面积为S．
（1）填空：AC＝ 2 ；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H．根据AC＝，求解即可．
（2）分三种情形：①当0＜x＜2时，作DF⊥AB于F．②当2＜x≤2时，③当2＜x≤4时，分别利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB于点H．
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B．
∵∠C＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
①当0＜x＜2时，作DF⊥AB于F．
∴DF＝AD＝x，
∴S＝•AE•DF＝x×＝x2．
②当2＜x≤2时，过点D作DG⊥AB于G．
∵BD＝BC﹣CD＝2﹣（x﹣2）＝4﹣x，
∵∠CAB＝30°，
∴DH＝BD＝﹣x+2，
S＝•AE•DG＝x×（﹣x+2）＝﹣x2+x．
③当2＜x≤4时，作DH⊥AB于H．
由②可知，DH＝BD＝﹣x+2，
S＝•AB•DH＝××（﹣x+2）＝﹣x+2．
综上，S＝．
25．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点．
（1）如图1，若点E恰好在线段AC上，连接FG．探究线段FG和BG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，过点E作EH⊥EA，垂足为E，交BG于点H，求的值．
【分析】（1）如图1，连接BE，BF．根据直角三角形的性质得到AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，推出△ABE是等边三角形．得到BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．根据全等三角形的性质得到BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，得到△FBG是等边三角形，于是得到结论；
（2）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．根据直角三角形的性质得到BM＝AM＝CM，求得∠BMC＝120°，根据三角形中位线定理得到GM＝AE＝AF，GM∥AE，根据全等三角形的性质得到∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，推出△BFG是等边三角形，得到BG＝FG，∠FGB＝60°，根据＝，EF＝AF，于是得到结论．
【解答】解：（1）FG＝BG，
证明：如图1，连接BE，BF．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB．
同理，AE＝2AF，
∵AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，
∴EG＝AF，AB＝AE．
∴△ABE是等边三角形．
∴BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠BEG＝120°，
又∵∠BAC＝∠FAE＝60°，
∴∠FAB＝120°．
∴∠BEG＝∠FAB．
∴△ABF≌△BEG（SAS），
∴BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，
∴∠ABF+∠FBE＝∠FBE+∠EBG＝60°，
即∠FBG＝60°，
∴△FBG是等边三角形，
∴FG＝BG；
（2）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．
∵AM＝MC，∠ABC＝90°，
∴BM＝AM＝CM，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AM＝BM，
∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，
∴∠BMC＝120°，
∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAF＝120°+∠EAC，
∵AM＝MC，EG＝GC，
∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，
∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，
∴△BAF≌△BMG（SAS），
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BG＝FG，∠FGB＝60°，
∵AE⊥EH，∠AEF＝30°，
∴∠GEH＝60°，
∴∠EHG＝∠GEH＝60°．
∴EF＝BH，
∵＝，EF＝AF，
∴＝．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ ﹣2a （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝即可解决问题；
（2）分别算出﹣x＝1和x＝0对应的函数值即可求得a的值；
（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3对称轴为直线x＝1，
∴对称轴为直线x＝，
∴b＝﹣2a，
故答案为：﹣2a；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，此时点（0，﹣3）到x轴的距离小于5，
当x＝﹣1时，y＝a+2a﹣3＝3a﹣3.3a﹣3＝5，
解得a＝；
（3）存在，
∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEN+∠CEM＝90°，
∵∠QEN+∠NQE＝90°，
∴∠EQN＝∠CEM，
∵∠CME＝∠QNE＝90°，EC＝EQ，
∴△ENQ≌△CME（AAS），
∴CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝或x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0）；
②如图，
∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴B点的坐标为（3，0）．
∴点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；
③如图，过点E作x轴的垂线l'，再分别过点C和点Q作垂线l'的垂线，分别交于点M'和点N'，
同理：△EM'C≌△QN'E（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0），
综上所述，点E的坐标为（，0）或（0，0）或（，0）．
2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+5）2+7
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+7
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．（3分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC＝5，∠A＝30°，则AC的长为（ ）
A．10 B．8 C． D．
7．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（3分）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣4的对称轴是 ．
12．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝110°，则∠DCE的度数为 ．
13．（3分）如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
14．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝2∠BAD，若BD＝2，则⊙O的直径为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
18．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 ．
20．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
23．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．在△ABC中，∠C＝120°，CB＝AC，AB＝2，D，E两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A→C→B、射线AB运动，连接DE．当点D到达点B时，D，E两点同时停止运动，设AD＝x，△ADE与△ABC重叠部分面积为S．
（1）填空：AC＝ ；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
25．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点．
（1）如图1，若点E恰好在线段AC上，连接FG．探究线段FG和BG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，过点E作EH⊥EA，垂足为E，交BG于点H，求的值．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年辽宁省大连市旅顺口区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
3．（3分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣1，3），
故选：A．
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x+5）2+7
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+7
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+2）2+5的顶点坐标为（﹣2，5），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）．
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：C．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
【解答】解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
6．（3分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BC＝5，∠A＝30°，则AC的长为（ ）
A．10 B．8 C． D．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝AB，求出BC，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵BC＝5，
∴AB＝10，
由勾股定理得：AC＝．
故选：D．
7．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，由直角三角形的性质可得∠AA'C＝∠CAA'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，
∴∠AA'C＝∠CAA'＝45°，且∠1＝25°，
∴∠B'A'C＝20°，
∴∠BAC＝20°，
故选：B．
8．（3分）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．
【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，
∴OA＝OB＝AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．
故选：B．
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【解答】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣4的对称轴是 直线x＝2 ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．
【解答】解：由y＝2（x﹣2）2﹣4可知，抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝2；
故答案为：直线x＝2．
12．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A＝110°，则∠DCE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∴∠DCE＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．（3分）如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （4，0） ．
【分析】抛物线经过（0，0）且对称轴为直线x＝2，根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过（0，0），且对称轴为直线x＝2，
∴由抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一个交点为（4，0），
故答案为：（4，0）．
14．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
∵点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上，
而三点横坐标离对称轴x＝﹣1的距离按由远到近为：（3，y3）、（﹣4，y1）、（﹣2，y2），
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝2∠BAD，若BD＝2，则⊙O的直径为 4 ．
【分析】利用圆周角定理得到：∠ADB＝90°，∠ACD＝∠B，结合三角形内角和定理和已知条件可以判定∠DAB＝30°，则AB＝2BD，此题得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵＝．
∴∠ACD＝∠ABD．
又∵∠ACD＝2∠BAD，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝30°．
∵BD＝2，
∴AB＝2BD＝4．
故答案是：4．
16．（3分）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，则m的取值范围为 ﹣3≤m≤1 ．
【分析】把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m的值，即可求解．
【解答】解：当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣3，
当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，
解得m1＝0，m2＝1，
所以抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1与线段AB始终有交点，m的取值范围为﹣3≤m≤1；
故答案为：﹣3≤m≤1．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
18．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）把A（2，0），B（2，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣6；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，则C（4，0），
所以△ABC的面积＝×（4﹣2）×6＝6．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 （1，﹣3 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点B1的坐标（﹣3，5）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，点B2的坐标（5，﹣1）．
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心P的坐标（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
20．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
【分析】过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得出AE＝BE，CE＝DE，相减即可得出答案．
【解答】证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，
∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
【分析】（1）令h＝0，求t即可；
（2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解．
【解答】解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0
解得t1＝0（舍去），t2＝4
∴小球从飞出到落地要用4s
（2）由配方法得
y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20
∵a＝﹣5＜0
∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s．
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝40°，再利用等腰三角形的性质可得；
（2）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得∠C＝∠DEC，从而证明结论；
（3）设CE＝x，则BE＝12﹣x，根据勾股定理可得AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，代入即可得出方程，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
23．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设五仁月饼每盒进价a元，则豆沙月饼每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售五仁月饼的利润y与五仁月饼每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设五仁月饼每盒进价a元，则豆沙月饼每盒进价（a﹣10）元，
则＝，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴五仁月饼每盒进价40元，豆沙月饼每盒进价30元；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当五仁月饼每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．在△ABC中，∠C＝120°，CB＝AC，AB＝2，D，E两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A→C→B、射线AB运动，连接DE．当点D到达点B时，D，E两点同时停止运动，设AD＝x，△ADE与△ABC重叠部分面积为S．
（1）填空：AC＝ 2 ；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H．根据AC＝，求解即可．
（2）分三种情形：①当0＜x＜2时，作DF⊥AB于F．②当2＜x≤2时，③当2＜x≤4时，分别利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB于点H．
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B．
∵∠C＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
①当0＜x＜2时，作DF⊥AB于F．
∴DF＝AD＝x，
∴S＝•AE•DF＝x×＝x2．
②当2＜x≤2时，过点D作DG⊥AB于G．
∵BD＝BC﹣CD＝2﹣（x﹣2）＝4﹣x，
∵∠CAB＝30°，
∴DH＝BD＝﹣x+2，
S＝•AE•DG＝x×（﹣x+2）＝﹣x2+x．
③当2＜x≤4时，作DH⊥AB于H．
由②可知，DH＝BD＝﹣x+2，
S＝•AB•DH＝××（﹣x+2）＝﹣x+2．
综上，S＝．
25．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点．
（1）如图1，若点E恰好在线段AC上，连接FG．探究线段FG和BG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，过点E作EH⊥EA，垂足为E，交BG于点H，求的值．
【分析】（1）如图1，连接BE，BF．根据直角三角形的性质得到AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，推出△ABE是等边三角形．得到BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．根据全等三角形的性质得到BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，得到△FBG是等边三角形，于是得到结论；
（2）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．根据直角三角形的性质得到BM＝AM＝CM，求得∠BMC＝120°，根据三角形中位线定理得到GM＝AE＝AF，GM∥AE，根据全等三角形的性质得到∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，推出△BFG是等边三角形，得到BG＝FG，∠FGB＝60°，根据＝，EF＝AF，于是得到结论．
【解答】解：（1）FG＝BG，
证明：如图1，连接BE，BF．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB．
同理，AE＝2AF，
∵AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，
∴EG＝AF，AB＝AE．
∴△ABE是等边三角形．
∴BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠BEG＝120°，
又∵∠BAC＝∠FAE＝60°，
∴∠FAB＝120°．
∴∠BEG＝∠FAB．
∴△ABF≌△BEG（SAS），
∴BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，
∴∠ABF+∠FBE＝∠FBE+∠EBG＝60°，
即∠FBG＝60°，
∴△FBG是等边三角形，
∴FG＝BG；
（2）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．
∵AM＝MC，∠ABC＝90°，
∴BM＝AM＝CM，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AM＝BM，
∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，
∴∠BMC＝120°，
∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAF＝120°+∠EAC，
∵AM＝MC，EG＝GC，
∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，
∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，
∴△BAF≌△BMG（SAS），
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BG＝FG，∠FGB＝60°，
∵AE⊥EH，∠AEF＝30°，
∴∠GEH＝60°，
∴∠EHG＝∠GEH＝60°．
∴EF＝BH，
∵＝，EF＝AF，
∴＝．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）填空：b＝ ﹣2a （用含a的代数式表示）；
（2）当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值；
（3）若点A的坐标为（﹣1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x≥0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝即可解决问题；
（2）分别算出﹣x＝1和x＝0对应的函数值即可求得a的值；
（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3对称轴为直线x＝1，
∴对称轴为直线x＝，
∴b＝﹣2a，
故答案为：﹣2a；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，此时点（0，﹣3）到x轴的距离小于5，
当x＝﹣1时，y＝a+2a﹣3＝3a﹣3.3a﹣3＝5，
解得a＝；
（3）存在，
∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEN+∠CEM＝90°，
∵∠QEN+∠NQE＝90°，
∴∠EQN＝∠CEM，
∵∠CME＝∠QNE＝90°，EC＝EQ，
∴△ENQ≌△CME（AAS），
∴CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝或x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0）；
②如图，
∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴B点的坐标为（3，0）．
∴点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；
③如图，过点E作x轴的垂线l'，再分别过点C和点Q作垂线l'的垂线，分别交于点M'和点N'，
同理：△EM'C≌△QN'E（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，
∴E（，0），
综上所述，点E的坐标为（，0）或（0，0）或（，0）．
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