安徽省铜陵市2019学年九年级上期末数学试卷（含解析）

这是一份安徽省铜陵市2019学年九年级上期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年安徽省铜陵市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题都给出A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中必然发生的事件是（　　）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
3．已知x＝2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．2 B．0或2 C．0或4 D．0
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　）

A．15° B．28° C．29° D．34°
5．若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（　　）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
6．点P1（x1，y1）P2（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
7．边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
8．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB＝135°，BP＝1，AP＝，求PC的值．（　　）

A． B．3 C．2 D．2
10．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（　　）

A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
D．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
二、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）
11．若抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：　 　．
12．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是　 　．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为　 　．

14．如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2﹣k1＝　 　．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3|a|＜2|b|；④b2﹣4ac＜0；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b≤n（an+b）（n为一切实数），其中正确的是　 　．

三、解答题（本题共7小题，满分60分）
16．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
17．线段AB的端点A、B在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．如图所示，回答下列问题：
（1）在上述旋转过程中，求线段AB扫过的区域的面积；
（2）若有一张与（1）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A．B两点，且点A的横坐标是3．
（1）求k的值：
（2）过点P（0，n）作一条与x轴平行的直线，且该直线与y＝x﹣2的图象交于点M，与双曲线y＝（k≠0）的图象交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．

20．某省2019新中考方案规定：语文、数学、外语、体育四门为必考科目：历史、政治、物理、化学、地理、生物6门为选考科目．选考科目采取“6选3”模式，具体规定是：物理、化学中选一门：政治、历史中选一门；地理、生物中选一门．
问：（1）选考科目中共有多少种不同的选考结果，并用树形图表示：
（2）从（1）的结果中随机选择一种，求该结果同时包含生物和历史的概率．
21．为迎接2019年的到来，铜陵万达广场某商铺将进价为40元的礼盒按50元售出时，能卖出500盒．商铺发现这种礼盒每涨价0.1元时，其销量就减少1盒．
问：（1）若该商铺计划赚得9000元的利润，售价应定为多少元？
（2）物价部门规定：该礼盒售价不得超过进价的1.5倍．问：此时礼盒售价定为多少元，才能使得商铺的获利最大？且最大利润为多少元？
22．如图1，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝8，AB＝20，请直接写出△PMN面积的最大值．

参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题都给出A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．下列事件中必然发生的事件是（　　）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
3．已知x＝2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．2 B．0或2 C．0或4 D．0
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，
∴4（m﹣2）+8﹣m2＝0，即m2﹣4m＝0，
解得：m＝0或m＝4．
故选：C．
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　）

A．15° B．28° C．29° D．34°
【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．
故选：B．
5．若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（　　）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）2+2．
故选：B．
6．点P1（x1，y1）P2（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【解答】解：∵，k＝2019＞0，
∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴0＞y1＞y2．
故选：D．
7．边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，OB＝．
∴⊙O的半径是，
故选：B．

8．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，
∵DH⊥AC，
∴H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，
当B、H、E三点共线时，BH最小，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝13，AD＝5，
∴BD＝12，DE＝，
在Rt△BED中，BE＝，
∴BH＝﹣＝，
故选：C．

9．如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB＝135°，BP＝1，AP＝，求PC的值．（　　）

A． B．3 C．2 D．2
【解答】解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），
所以，AP′＝PC，BP′＝BP＝1，
所以，△PBP′是等腰直角三角形，
所以，∠P′PB＝45°，PP′＝＝＝，
∵∠APB＝135°，
∴∠APP′＝∠APB﹣∠P′PB＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△APP′中，AP′＝＝＝3，
∴PC＝AP′＝3，
故选：B．

10．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（　　）

A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
D．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
【解答】解：结合两幅图形分析可知：
图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，
曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，
在图2中函数图象的最高点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点，
由此可知：与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：
①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN；
②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）
11．若抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：　2　．
【解答】解：因为要使抛物线y＝x2+2x+c与x轴没有交点，必须b2﹣4ac＝22﹣4×1×c＜0，
解得：c＞1，
取c＝2，
故答案为：2．
12．在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是　50%　．
【解答】解：能有的共有4种情况，能构成平方式的有两种情况．
＝＝50%．
故能构成完全平方式的概率是50%．
故答案为：50%．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为　16　．

【解答】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC；
∴DE＝DA+EB，
∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝8，
∴△PDE的周长＝16．
故答案为：16
14．如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2﹣k1＝　4　．

【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF＝|k1|＝﹣k1，S△COE＝S△DOF＝k2，
∵S△AOC＝S△AOE+S△COE，
∴AC•OE＝×2OE＝OE＝（k2﹣k1）…①，
∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF，
∴BD•OF＝×3（EF﹣OE）＝×3（﹣OE）＝5﹣OE＝（k2﹣k1）…②，
由①②两式解得OE＝2，
则k2﹣k1＝4．
故答案为：4．

15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3|a|＜2|b|；④b2﹣4ac＜0；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b≤n（an+b）（n为一切实数），其中正确的是　②③④⑤　．

【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＞0错误，不符合题意；
②函数的对称轴为：x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0正确，符合题意；
③由②知b＝﹣2a，3a+2b＝﹣a＜0，而a＞0，b＜0，故3|a|＜2|b|为3a+2b＜0，正确，符合题意；
④抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＜0正确，符合题意；
⑤当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确，符合题意；
⑥函数在x＝1时，取得最小值，故a+b+c≤n（an+b）+c（n为一切实数），故a+b≤n（an+b）（n为一切实数）正确，符合题意；
故答案为：②③④⑤．
三、解答题（本题共7小题，满分60分）
16．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣4x+4＝5
（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2．
2（x﹣3）2﹣（3﹣x）（3+x）＝0，
（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0，
（3﹣x）（3﹣3x）＝0，
故3﹣x＝0或3﹣3x＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
17．线段AB的端点A、B在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．如图所示，回答下列问题：
（1）在上述旋转过程中，求线段AB扫过的区域的面积；
（2）若有一张与（1）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径．

【解答】解：（1）S＝＝．
（2）设该几何体底面圆的半径为r．
由题意：2πr＝，
r＝．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A．B两点，且点A的横坐标是3．
（1）求k的值：
（2）过点P（0，n）作一条与x轴平行的直线，且该直线与y＝x﹣2的图象交于点M，与双曲线y＝（k≠0）的图象交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．

【解答】解：（1）令x＝3，代入y＝x﹣2，则y＝1，
∴A（3，1），
∵点A（3，1）在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝3×1＝3；
（2）联立得：，
解得：或，即B（﹣1，﹣3），
如图所示：

当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．

【解答】解：如图，

（1）⊙O即为所求；
（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下：
连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，OD是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（3）设⊙O的半径为x，
在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
答：⊙O的半径为3．
20．某省2019新中考方案规定：语文、数学、外语、体育四门为必考科目：历史、政治、物理、化学、地理、生物6门为选考科目．选考科目采取“6选3”模式，具体规定是：物理、化学中选一门：政治、历史中选一门；地理、生物中选一门．
问：（1）选考科目中共有多少种不同的选考结果，并用树形图表示：
（2）从（1）的结果中随机选择一种，求该结果同时包含生物和历史的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：

由树状图可知，共有10种等可能结果；

（2）因为共有10种等可能结果，其中同时包含生物和历史的有2种结果，
所以该结果同时包含生物和历史的概率为＝．
21．为迎接2019年的到来，铜陵万达广场某商铺将进价为40元的礼盒按50元售出时，能卖出500盒．商铺发现这种礼盒每涨价0.1元时，其销量就减少1盒．
问：（1）若该商铺计划赚得9000元的利润，售价应定为多少元？
（2）物价部门规定：该礼盒售价不得超过进价的1.5倍．问：此时礼盒售价定为多少元，才能使得商铺的获利最大？且最大利润为多少元？
【解答】解：设涨价为x元，
（1）根据题意得：（50+x﹣40）（500﹣）＝9000，
（x﹣20）2＝0，
x1＝x2＝20，
所以定价为：20+50＝70元，
所以售价应该定位70元，该商铺可赚得9000元的利润；

（2）设该商铺的利润为y元，根据题意得：
y＝（50+x﹣40）（500﹣）＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∵该礼盒售价不得超过进价的1.5倍，
∴50+x≤1.5×40，
∴x≤10，
∴当x＝10时有最大利润﹣10（10﹣20）2+9000＝8000，
此时售价为50+10＝60元，
∴当售价为60元时，最大利润为800元．
22．如图1，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM⊥PN　；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝8，AB＝20，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝28，
∴PM＝14，
∴S△PMN最大＝PM2＝142＝98．