考点40 数列求和（错位相减法）练习题

考点40  数列求和（错位相减法）

一、单选题

1．化简的结果是（    ）

A． B．

C． D．

2．数列{an}的通项，数列{an}的前n项和Sn为（    ）

A． B．

C． D．

3． Sn等于（    ）

A． B．

C． D．

4．数列{n·2n}的前n项和等于（    ）

A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2

C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1

5．Sn＝＋＋＋…＋等于（    ）

A． B． C． D．

6．复数的虚部是（    ）

A．1008 B．﹣1008 C．1008i D．﹣1008i

7．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．设数列满足，则

A． B． C． D．

9．等于（    ）

A． B． C． D．

10．已知正项数列的前项和为，数列满足，.数列满足，它的前项和为（    ）

A． B． C． D．

11．已知数列满足，则数列的最小值是

A．25 B．26 C．27 D．28

12．数列，，，…，的前项之和为，则等于

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知数列中，，则数列的前9项和为_____________．

14．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和______．

15．已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则f＝________.

16．已知等比数列的前项和满足，则数列的前项和___________.

参考答案

1．D

【分析】

用错位相减法求和．

【详解】

，（1）

，（2）

（2）－（1）得：

．

故选：D．

2．C

【分析】

利用错位相减法可求解.

【详解】

，①

，②

①－②得

，

.

故选：C.

3．B

【分析】

由错位相减法求和．

【详解】

由Sn，①

得Sn，②

①－②得，

Sn，

所以．

故选：B．

【点睛】

本题考查错位相减法求数列的和，错位相减法、裂项相消法、分组（并磺）求和法、倒序相加法是几种特殊的数列求和方法，它们对应着特定类型的数列的和．

4．B

【分析】

错位相减法求解即可.

【详解】

∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②

由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)

＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2.

故选:B.

5．B

【分析】

利用错位相减法求解即可.

【详解】

由Sn＝＋＋＋…＋，①

得Sn＝＋＋…＋＋，②

①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，

所以Sn＝－，

∴Sn＝.

故选：B.

6．B

【分析】

利用错位相减法进行求和化简即可.

【详解】

设S＝i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016，

则iS＝i2+2i3+3i4+4i5+…+2016i2017，

两式相减得（1﹣i）S＝i+i2+i3+i4+…+i2016﹣2016i2017

2016i2016i＝﹣2016i，

则S1008﹣1008i，

则对应复数的虚部为﹣1008，

故选：B.

【点睛】

方法点睛：把复数的指数和，类比等比数列的形式，利用错位相减法进行求和化简.

7．B

【分析】

先求出，用错位相减法求出把不等式恒成立，转化为，记，求出的最大值，即可求出t的最小值.

【详解】

解：对于，

当n=1时，

当n≥2时，

经检验：对n=1也成立，

∴ 

所以

∴  

，

两式相减得，， 

，

所以   所以， 令 ，

 ，

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，t的最小值为．

故选：B．

【点睛】

（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；

（2）数列求和常用方法：

①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．

8．D

【分析】

利用错位相减法求出（n），验证n=1满足，得 .

【详解】

①

当n时，  ②，

①- ②： ，故 （n），

当n=1时， ,故选D.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式求法，考查了推理能力与计算能力；已知数列的前几项和求通项，一般是利用（n） 求解，并且需验证是否满足（n）.

9．A

【分析】

根据题意，利用乘公比错位相减法，即可求解.

【详解】

由，

可得，

两式相减可得，，

所以．

故选：A.

10．C

【分析】

首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进而求出的通项公式，再利用特殊值法排除，得到答案.

【详解】

解：当时，，又，

两式相减整理得，

由于数列为正项数列，则，

故，即

，所以，则，

A中，舍去；B中舍去；C中，符合；D中，舍去，

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法及应用，其中代入排除法的使用可以避免错位相减法的复杂运算，属于基础题型.

11．B

【详解】

试题分析：因为数列中，，所以，，

，，上式相加，可得

，所以，所以

，当且仅当，即时，等式相等，故选B．

考点：数列的求和和基本不等式的应用．

12．B

【分析】

求得的值，将代入选项进行验证，由此得出正确选项.

【详解】

依题意可知.将代入选项验证可知，A,C两个选项不正确，将代入选项验证可知，D选项不正确.故本小题选B.

【点睛】

本小题主要考查数列前项和，对于选择题，可以采用特殊值排除法来解决，属于基础题.

13．

【分析】

由，得到，两式相减整理计算即可得答案.

【详解】

解：数列的前9项和

，

，

两式相减得，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查错位相减法求和，是基础题.

14．

【分析】

利用错位相减法求和

【详解】

由题知，①

所以，②

①-②得，

所以．

15．2－

【分析】

将代入，利用错位相减法计算可得．

【详解】

∵f＝＋2×＋3×＋…＋n×，①

∴f＝＋2×＋3×＋…＋n×.②

由①－②得， f＝＋＋＋…＋－＝1－－，

∴f＝2－－＝2－.

故答案为：2－

16．

【分析】

当时，，当时，，解方程得与，从而求得等比数列的通项公式，结合错位相减法即可求出结果．

【详解】

设等比数列的公比为，

当时，

当时，

解得

所以，

①

②

由①－②得

故

故答案为：