初中数学几何图形折叠题型及方法总结（原卷+解析卷）

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理解图形折叠（翻折）的意义，与轴对称的关系。
根据折叠前后图形形状和大小不发生改变，即全等型。利用三角形，四边形（特殊）的相关性质及判定定理解决边角、形积、边比关系等问题.。
进行简单的空间想象及图形趣味性探究。
常考题型：选择，填空，图形变换综合题型。
占分比重：3-10分
二、考点梳理（命题特点）&考试趋势
2.1. 图形折叠与图形相关性质定理结合求边角问题；
2.2. 图形折叠与三角形全等（相似）构造求边比，图形面积问题；
2.3. 图形折叠中的动点（动态几何）问题。
图形的折叠问题在近些年中招考试中均有考查，常设置 1-2 道题，分值一般为 3-10 分，以填空题和解答题的形式出现. 本专题内容在考查中常涉及到特殊平行四边形的折叠与性质、特殊三角形的判定、勾股定理的运用，角平分线的性质等. 因此考生在复习中应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形折叠的性质。
三、题型讲解
3.1解题技巧归纳（提分秘笈）
3.1.1归纳1边角问题
例1（2018春•新疆期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
例2（2017秋•郾城区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是
【注意事项】
折叠的规律是，折叠前后两部分的图形，关于折痕成轴对称，两图形全等。解决折叠型边角问题时，常用方程思想。.
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
3.1.2归纳2求线段取值范围
例3（2017•徐州模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB = 4，AD = 6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是 .
例4（2010•江东区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点P在线段BC上运动，现将纸片折叠，使点A与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），设BP=x，当点E落在AB上，点F落在AD上时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤1 B．0＜x≤3 C．1≤x≤3 D．3≤x≤5
【注意事项】
主要考查的是图形的翻折变换，正确的判断出x的两种极值下F、E点的位置，是解决此题的关键。
3.1.2归纳3求线段最值问题
例5（2015•三明）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是________.
【注意事项】
本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键。
例6（2016秋•南通月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，B′A长度的最小值是m，B′A长度的最大值是n，则m+n的值等于 .
【注意事项】
本题是折叠问题，主要考查了圆的性质，极值，求出m和n是解本题的关键。
3.1.2归纳3分类讨论求线段长度问题
例7（2016秋•华安县）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，求BD的长．
【注意事项】
本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键。
例8（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为 .
例9（2018•开封二模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为 .
【注意事项】
分类讨论线段长度. 其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度。
例9（名师原创）如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，AC = 10，一条直角边为6，点M，N分别在边AB，BC所在的直线上，沿直线MN将△BMN折叠，点B落在点P处，若AP∥BC且AP = 4，则BN = ________.
3.2易错易混归纳
3.2.1归纳1
例1（2010•西湖区模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=75°，将梯形沿直线EF翻折，使点B落在线段AD上，记作B′点，连接BB'交EF于点O，若∠B′FC=90°，则EO：FO= .
【注意事项】
此题的比例线段无法由相似三角形得到，所以要从角度入手进行求解；首先根据折叠的性质可得FB=FB′，即∠FBB′=∠FB′B=45°，已知了∠ABF的度数，即可得∠EBB′的度数，进而可在Rt△EOB、Rt△FBO中，以OB为中介，结合直角三角形的性质，求得OE、OF的比例关系。
3.2.2归纳2
例2（2016•新县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为 .
【注意事项】
本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质求出DM和AM，学会分类讨论的思想，所以中考常考题型。
3.2.2归纳3
例3（2017•日照一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为 .
【注意事项】
本题考查了折叠的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，注意分两种情况考虑：B′在横对称轴上与B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可。