高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板03 函数概念（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板03 函数概念（解析版），共10页。试卷主要包含了求函数的定义域，求函数的解析式，函数的单调性问题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、求函数的定义域1.模板解决思路求复合函数的定义域，应当首先得到的定义域，然后令满足的定义域,得到关于的不等式(组)，然后解不等式(组)可得.而的定义域，则应通过条件化简得到.2.模板解决步骤①第-步通过条件得到的定义域D.②第二步令，得到关于的不等式(组).③第三步解不等式(组)得到关于的取值范围，即为的定义域知识点1.函数的定义域函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.知识点2.求函数的定义域应注意的问题（1）如果是整式，那么函数的定义域是R;(2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合;(3)如果是偶次根式，那么函数的定义域是使被开方数大于等于0的实数的集合;(4)如果是对数函数,那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合知识点3.复合函数定义域的求法（1）已知的定义域是，求的定义域，可通过解关于g的不等式，求出的范围（2）已知的定义域，求的定义域，可由，求的范围（即的值域）例题1（2017高三上·山东开学考）已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【答案】 解：（Ⅰ）由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，令x﹣1=0，x+2=0，解得x=1，x=﹣2，这就是两个分界点．把全体实数分成3个区间．不等式的解集是以下不等式组解集的并集： ，或 ，或 解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）；（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是：（﹣∞，﹣5]．   【解析】（1）根据零点分界讨论，脱掉绝对值，解出函数的定义域，（2）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，解出a的取值范围.例题2已知函数 ( ，且 ).    （1）求 的定义域；    （2）判断函数 的奇偶性，并求函数的单调区间.    【答案】 （1）∵ ( 且 )，  ∴ ，即 ，解得 或 ，故函数 的定义域 ，
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称， ∵ ，∴函数为奇函数，设 ，则 ，因为函数u在 和 上均为减函数，当 时，函数 在 为增函数，所以函数 在 ， 上为减函数，当 时，函数 在 为减函数，故函数 在 ， 上为增函数.【解析】（1）利用对数型函数定义域求解方法结合分式不等式求解集的方法，进而求出函数的定义域。
(2)利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用换元法， 设 ，则 ， 再利用分类讨论的方法结合的单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而求出函数的单调区间。  模板二、求函数的解析式1.模板解决思路求的解析式，一-般是从条件的等式中，把看作未知数，然后从方程(组)中解出来,若条件只含,解出即可.若含的是,则令,解出()即得.若含有两个不同的(x)与(y),则替换构造出另一个等式，通过方程组解出.2.模板解决步骤①第一步观察已知条件的构成形式②第二步选择合适的方法(如拼凑法、换元法方程组法、特值法等)整理成解方程(组).③第三步解得的解析式，并注明定义域常见的一般函数的解析式的求法(1)代人法，例如，已知=x2-1,求时,有==1(2)待定系数法:已知的函数类型,要求的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数即可(3)拼凑法:已知的解析式，要求时，可从的解析式中拼凑出“"，即用来表示，再将解析式的两边的用代替即可.(4)换元法:令,求出的解析式，然后用代替=的两边所有的即可.注意换元前后的定义域的变化.(5)方程组法:已知与满足的关系式，要求时，可用中代替两边的所有,得到关于及的方程组,解之即可得出.例题1定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e2x+x2﹣ax，函数g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若s，t，r满足|s﹣r|＜|t﹣r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，比ex﹣1+b更靠近，试求b的取值范围．【答案】 解：（Ⅰ）∵f（x）=e2x+x2﹣ax，∴f′（x）=2e2x+2x﹣a，∵函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．∴f′（0）=2﹣a=0，得a=2，∴f（x）=e2x+x2﹣2x；（Ⅱ）g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b=ex﹣b（x﹣1），则g′（x）=ex﹣b，①若b≤0，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，即g（x）在（﹣∞，lnb）上为减函数，则（lnb，+∞）上为增函数；（Ⅲ）∵函数g（x）有极值，∴b＞0，由题意知|﹣lnx|＜|ex﹣1+b﹣lnx|，（※），设p（x）=﹣lnx，x≥1，q（x）=ex﹣1+b﹣lnx，（x≥1），∵p（x）在[1，+∞）上是减函数，p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）=﹣lnx≥0，当x＞e时，p（x）=﹣lnx＜0，∵q′（x）=ex﹣1﹣  ， ∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上为增函数，则q（x）≥q（1）=b+1＞0，则q（x）=ex﹣1+b﹣lnx＞0，①当1≤x≤e时，﹣lnx＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣ex﹣1  ， 设m（x）=﹣ex﹣1  ， ∵m（x）=﹣ex﹣1  ， 在[1，e]上为减函数，∴b＞m（1），即b＞e﹣1，②当x＞e时，（※）即lnx﹣＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣+2lnx﹣ex﹣1  ， 设n（x）=＞﹣+2lnx﹣ex﹣1  ， x＞e，则n′（x）=＞﹣+﹣ex﹣1  ， x＞e，则n′（x）在（e，+∞）上为减函数，∴n′（x）＜n′（e），∵n′（e）=﹣ee﹣1＜0，∴n（x）在（e，+∞）上为减函数，n（x）＜n（e）=1﹣ee﹣1  ， 则b≥1﹣ee﹣1  ， 综上b＞e﹣1．【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）根据更靠近的定义，构造函数，求函数的导数，利用最值和导数的关系进行求解即可．例题2（2020·海南模拟）已知向量 ，其中 ，设函数 的最小正周期为 .    （1）求函数 的解析式；    （2）求函数 在区间 上的单调递增区间.    【答案】 （1）解：由题意   ,   因为最小正周期为 ,所以 ,解得 ,所以
（2）解：令 ,解得 ,   所以函数 的单调递增区间为 ,因为 ,则当 时,函数 的增区间为 ；当 时,函数 的增区间为 ；当 时,函数 的增区间为 ,故可得函数 在区间 上的单调递增区间为 .【解析】（1）化简 ,由最小正周期为 可得 ,即可求解；（2）令 ,可得 ,由 ,对 赋值求解即可.模板三、函数的单调性问题1.模板解决思路常见函数的单调性和单调区间是函数的一种性质,复杂函数的单调性一般是利用复合丽数的单调性进行处理而利用单调性求参数，则是先带参数讨论单调性，然后对比条件,确定参数的范围2.模板解决步骤①第一步确定函数的定 义域②第二步若是复合函数,将函数分成若干个函数的复合函数.若不是，跳过此步.③第三步根据复 合函数的单调性或直接利用函数单调性的证明步骤讨论单调性.④第四步确定参数的取值范围知识点1.函数单调性的证明步骤（1）取值：设x1，x2为该区间任意的两个值，且x1<x2(2)作差变形:作差-,并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论;(4)判断:根据定义作出结论.知识点2函数单调性的常用结论(1)函数与+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)k>0时,函数与k单调性相同，k<0时,函数与k单调性相反.(3)若恒为正或恒为负值，则与具有相反的单调性.(4)若,都是增(减)函数，则+是增(减)函数.(5)若,都是增(减)函数，则.当两者都恒大于零时,是增(减)函数，当两者都恒小于零时，是减(增)函数.5.复合函数的单调性判断:同增异减设,复合而成函数,则在其定义域内单调性满足:增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数例题1（2020·朝阳模拟）已知：①函数 ；  ②向量 ， ，且 ， ；③函数 的图象经过点 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________________，且函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .（1）若 ，且 ，求 的值；    （2）求函数 在 上的单调递减区间.  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】 （1）解：方案一：选条件①  因为       ，又   ，所以 ，所以 .方案二：选条件②因为 ， ，所以 .又   ，所以 ，所以 . 方案三：选条件③由题意可知，   ，所以 ，所以 . 又因为函数 图象经过点 ，所以 . 因为 ，所以  ，所以 .因为 ， ，所以  .所以
（2）解：由 ，   得 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以函数 在 上的单调递减区间为 ， 【解析】（1）选择一个条件，转化条件得 ，由题意可得 ，代入即可得解；（2）令 ，解得 的取值范围后给 赋值即可得解.例题2已知函数f(x)=ax2+  ， 其中a为实数.（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若a(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.【答案】 （1）f(x)是非奇非偶函数。
（2）函数f(x)在[1,2]上单调递增。【解析】（1）当a=0时， f(x)=  ，  显然是奇函数， 当a≠0时， f(1)=a+1, f(-1)=a-1, f(1)≠f(-1)且 f(1)+ f(-1)≠0，所以此时 f(x)是非奇非偶函数。（2）设x2<x2[1,2], 则 f(x1)- f(x2)=a(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)[a(x1+x2)-],  因为x1<x2[1,2], 所以x1-x2<0, 2<x1+x2<4, 1< x1x2<4,  所以2<a(x1+x2)<12, <<1,  所以a(x1+x2)->0, 所以 f(x1)- f(x2)<0, 即 f(x1)-<f(x2), 故函数f(x)在[1,2]上单调递增
函数单调性的判断
    (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.
    (2)复合法:同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数.
    (3)导数法:利用导数研究函数的单调性.
    (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.