高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板08 三角恒等交换 (解析版)

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板08 三角恒等交换 (解析版)，共7页。试卷主要包含了三角函数的给值求值问题，三角函数式的化简求值等内容，欢迎下载使用。
模板一、三角函数的给值求值问题1.模板解决思路三角丽数的给值求值问题，主要应用和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等将未知角的三角函数转化为已知角的三角函数.因此,将未知角用已知角表示出来是解决此类问题的关键.当已知角只有一个时，则应考虑将未知角用已知角和常用角表示出来.2.模板解决步骤①第一步将γ表示成的形式，若γ只与相关，则可将β视为常见角,其中a,b均为整数.②第二步求出的其他三角丽数值,注意角的范围.③第三步代入公式，求出 关于γ的三角函数值知识点1.两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βα，β∈R知识点2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R知识点3.两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角知识点4.两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切公式tan(α＋β)＝T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切公式tan(α－β) ＝T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)知识点5.二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 2α＝2sin αcos αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α正切tan 2α＝T2α知识点6.半角公式sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.知识点7.辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).例题1设,求解下列问题：（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角,的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】 （1）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数的单调递增区间是;单调递减区间是
（2）由得由题意知为锐角，所以有正弦定理：可得：即,当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为【解析】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.例题2（2018·浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．【答案】 解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ，所以 .（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ，由 得 .由 得 ，所以 或 【解析】（Ⅰ）利用三角函数的定义求sin α，再利用诱导公式，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由配角法cosβ=cos[（α+β）-α]展开后代值计算得答案．模板二、三角函数式的化简求值1.模板解决思路对于要化简求值的三角函数式，,首先要化简，尽可能得到简单形式，然后利用已知条件，朝化简后的形式靠拢，得到一 致的形式,代人可求得三角函数式的值，2.模板解决步骤①第一步将三角函数式朝着已知三角函数值的角的方向化简.②第二步利用已知三角函数值，求出与①化简后相关的三角函数值.③第三步代人并求值. 在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅仅限于是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系。常用的公式变形：2.化简的方法有：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等例题1（2021·江西模拟）已知 的三个内角A  ， B  ， C的对边分别为a  ， b  ， c  ，  ， ．    （1）求角B的大小；    （2）若 ， ，求 的值．    【答案】 （1）由题意 ，  由正弦定理可得 得 ， 因为 ， 所以 因为 ，所以 .
（2）因为 ， ， ，  由 得 ，即 整理可得 又 ， ，∴ ，故 ，所以 .【解析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再利用诱导公式公式求出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
（2）利用正弦定理求出 ， ，由   ，  得出 ，再利用两角差的正弦公式结合辅助角公式求出  ，  又因为 结合已知条件，再利用大边对应大角的性质，从而求出角A的取值范围，进而推出 ， 再利用同角三角函数基本关系式，从而求出 的值。例题2（2020·宝鸡模拟）设函数 .    （1）求 的最小正周期和值域.    （2）在锐角 中，角 ､ ､ 的对边长分别为 ､ ､ .若 ， ，求 周长的取值范围.    【答案】 （1）解：       ，值域为 .
（2）解：由 可得 ，   因为三角形为锐角 ，所以 即 , ,由正弦定理 得 ，所以 因为 为锐角三角形，所以 ，即 解得 所以 即 ，所以周长的取值范围为区间 【解析】（1）利用二倍角的余弦公式和正弦公式，再利用辅助角公式化简函数为余弦型函数，再利用余弦型函数最小正周期公式求出函数f(x)的最小正周期；再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图像求出余弦型函数的值域。
（2）由（1）结合 ， 可得 ， 再利用三角形为锐角 ，结合锐角三角形中角A的取值范围，从而结合同角三角函数基本关系式求出角A的值，再利用正弦定理结合三角形内角和为180度，从而求出 ， 再利用三角形周长公式将周长转化为正弦型函数，再结合锐角三角形中角B的取值范围和角C的取值范围，从而求出角B的取值范围，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域。