新高考2022年高考数学一轮课时跟踪31《平面向量的数量积及应用》练习题

这是一份新高考2022年高考数学一轮课时跟踪31《平面向量的数量积及应用》练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
已知平面向量a=(－2，m)，b=(1，eq \r(3))，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A.－2eq \r(3) B.2eq \r(3) C.4eq \r(3) D.6eq \r(3)
设向量a，b满足|a|=1，|a－b|=eq \r(3)，a·(a－b)=0，则|2a＋b|=( )
A.2 B.2eq \r(3) C.4 D.4eq \r(3)
已知|a|=1，|b|=6，a·(b－a)=2，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
已知向量a=(eq \r(3)，1)，b=(0,1)，c=(k，eq \r(3)).若a＋2b与c垂直，则k=( )
A.－3 B.－2 C.1 D.－1
在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up15(→))=(1，－2)，eq \(AD,\s\up15(→))=(2,1)，
则eq \(AD,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
若平面向量a=(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|=3 eq \r(5)，则b的坐标为( )
A.(3，－6) B.(－3,6) C.(6，－3) D.(－6,3)
已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))=2eq \(AO,\s\up7(―→))，AB=1，则eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))=( )
A.eq \f(3,2) B.3 C.eq \r(3) D.2eq \r(3)
已知a=(cs α，sin α)，b=(cs(－α)，sin(－α))，那么a·b=0是α=kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
过点P(－1,1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，
则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最小值为( )
A.eq \f(10,3) B.eq \f(40,3) C.eq \f(21,4) D.2eq \r(2)－3
在等腰三角形AOB中，若|eq \(OA,\s\up7(―→))|=|eq \(OB,\s\up7(―→))|=5，且|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|≥eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(―→))|，
则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围为( )
A.[－15,25) B.[－15,15] C.[0,25) D.[0,15]
已知a，b，e是同一平面内的三个向量，且|e|=1，a⊥b，a·e=2，b·e=1，
当|a－b|取得最小值时，a与e夹角的正切值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.1 D.eq \f(\r(2),2)
设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))·(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))的最大值是( )
A.1＋eq \r(2) B.1－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.1
二、填空题
若a，b，c是单位向量，且a·b=0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________.
如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BA=4，BC=2，D是AC边上一点，且eq \(DC,\s\up7(―→))=－eq \f(3,4)eq \(DA,\s\up7(―→))，
则eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=________.
已知a=(λ，2λ)，b=(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ取值范围是_______.
已知平面向量a，b满足|b|=1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|取值范围为______.
\s 0 答案解析
答案为：B
解析：∵a=(－2，m)，b=(1，eq \r(3))，∴a－b=(－2，m)－(1，eq \r(3))=(－3，m－eq \r(3)).
由(a－b)⊥b，得(a－b)·b=0，即(－3，m－eq \r(3))·(1，eq \r(3))=－3＋eq \r(3)m－3=eq \r(3)m－6=0，
解得m=2 eq \r(3).故选B.
答案为：B
解析：由a·(a－b)=0，可得a·b=a2=1，由|a－b|=eq \r(3)，可得(a－b)2=3，
即a2－2a·b＋b2=3，解得b2=4.所以(2a＋b)2=4a2＋4a·b＋b2=12，所以|2a＋b|=2eq \r(3).
答案为：B
解析：a·(b－a)=a·b－a2=2，所以a·b=3，所以cs〈a，b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(3,1×6)=eq \f(1,2)，
所以向量a与b的夹角为eq \f(π,3).
答案为：A
解析：因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c=0，即a·c＋2b·c=0，
所以eq \r(3)k＋eq \r(3)＋2eq \r(3)=0，解得k=－3.
答案为：A
解析：由四边形ABCD是平行四边形，知eq \(AC,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AD,\s\up15(→))=(1，－2)＋(2,1)=(3，－1)，
故eq \(AD,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))=(2,1)·(3，－1)=2×3＋1×(－1)=5.
答案为：A
解析：由题意设b=λa=(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|=3eq \r(5)，
则eq \r(－λ2＋2λ2)=3eq \r(5)，所以λ=－3，b=(3，－6).故选A.
答案为：B；
解析：因为eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))=2eq \(AO,\s\up7(―→))，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，
又AB=1，圆的半径为1，所以∠ACB=30°，且AC=eq \r(3)，
则eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))=|eq \(CA,\s\up7(―→))|·|eq \(CB,\s\up7(―→))|cs ∠ACB=3.故选B.
答案为：B；
解析：a·b=cs α·cs(－α)＋sin α·sin(－α)=cs2α－sin2α=cs 2α，
若a·b=0，则cs 2α=0，∴2α=2kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)，解得α=kπ±eq \f(π,4)(k∈Z).
∴a·b=0是α=kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的必要不充分条件.故选B.
答案为：C；
解析：观察圆C的方程可知，圆心C在直线y=x－2上运动，
则|PC|≥eq \f(|－1－1－2|,\r(12＋－12))=2eq \r(2).设∠CPA=θ，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))=|eq \(PA,\s\up7(―→))||eq \(PB,\s\up7(―→))|cs 2θ
=|eq \(PA,\s\up7(―→))|2(2cs2θ－1)=(|eq \(PC,\s\up7(―→))|2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(|eq \(PA,\s\up7(―→))|2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)－1))=(|eq \(PC,\s\up7(―→))|2－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)))
=|eq \(PC,\s\up7(―→))|2＋eq \f(2,|eq \(PC,\s\up7(―→))|2)－3，令|eq \(PC,\s\up7(―→))|2=x，设y=x＋eq \f(2,x)－3，
则y=x＋eq \f(2,x)－3在[8，＋∞)上为增函数，故eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))≥8＋eq \f(2,8)－3=eq \f(21,4)，故选C.
答案为：A；
解析：|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|≥eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(―→))|=eq \f(1,2)|eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))|，所以|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|2≥eq \f(1,4)|eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))|2，
即(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))2≥eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))2，所以eq \(OA,\s\up7(―→))2＋2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))2
≥eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up7(―→))2－2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))2)，即52＋2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋52≥eq \f(1,4)(52－2eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋52)，
则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))≥－15.又eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))≤|eq \(OA,\s\up7(―→))||eq \(OB,\s\up7(―→))|=5×5=25，
当且仅当eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))同向时取等号，因此上式等号不成立，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围为[－15,25)，故选A.
答案为：D；
解析：根据题意，分别以a，b为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设e与a的夹角为θ，θ为锐角，则e与b的夹角为eq \f(π,2)－θ.
∵|e|=1，a⊥b，a·e=2，b·e=1，∴|a|·cs θ=2，|b|·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))
=|b|·sin θ=1，∴|a|=eq \f(2,cs θ)，|b|=eq \f(1,sin θ)，
∴|a－b|2=|a|2－2a·b＋|b|2=eq \f(4,cs2θ)＋eq \f(1,sin2θ)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,cs2θ)＋\f(1,sin2θ)))(sin2θ＋cs2θ)
=5＋eq \f(4sin2θ,cs2θ)＋eq \f(cs2θ,sin2θ)≥5＋2eq \r(\f(4sin2θ,cs2θ)·\f(cs2θ,sin2θ))=9，当且仅当2sin2θ=cs2θ，
即tan θ=eq \f(\r(2),2)时等号成立，此时|a－b|取得最小值3，
且a与e夹角的正切值为eq \f(\r(2),2)，故选D.
答案为：A；
解析：如图，作出eq \(OD,\s\up7(―→))，使得eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))=eq \(OD,\s\up7(―→))，
则(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))·(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))=eq \(OC,\s\up7(―→))2－eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))
=1－(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))·eq \(OC,\s\up7(―→))=1－eq \(OD,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))，
由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，eq \(OD,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))取得最小值，
最小值为－eq \r(2)，此时(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))·(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))取得最大值，最大值为1＋eq \r(2)，故选A.
答案为：1＋eq \r(2).
解析：依题意可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(cs θ，sin θ)，
则(a－c)·(b－c)=1－(sin θ＋cs θ)=1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋eq \r(2).
答案为：－4.
解析：根据题意得eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)eq \(BA,\s\up7(―→))＋\f(4,7) eq \(BC,\s\up7(―→))))·(eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→)))
=eq \f(3,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \f(3,7)×16＋eq \f(4,7)×4－eq \f(4,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))=－eq \f(1,7)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \f(32,7)
=－eq \f(1,7)×4×2×cs 120°－eq \f(32,7)=－4.
答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3λ2＋4λ>0，,2λ－6λ2≠0，))解得λ