房山区2019-2020高三期末数学 测试卷

房山区2019-2020学年度第一期末期末检测

高三数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（2）已知复数，则的虚部为

（3）等差数列中，若，为的前项和，则

（4）从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高

中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，

各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现

采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为

（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（6）若点在角的终边上，则

（7）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的

取值范围是

（8）设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”的

（9）如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，

总有，则动点的轨迹为

（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1

所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．

表1  田径综合赛项目及积分规则

表2  某队模拟成绩明细

根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）已知点，，以线段为直径的圆的方程为___________．

（12）若函数是偶函数，则___________．

（13）已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 __________．

（14）已知，若的最小正周期为___________，若对任意的实数都成立，则____________.

（15）已知函数

①当时，函数的值域是__________；

②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是__________．

（16）已知矩形中，，当每个取遍时，

的最小值是___________，最大值是___________．

三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（17）（本小题13分）

如图，在平面四边形中，，，，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求，的值.

（18）（本小题13分）

某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了

对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

A：，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，；

B：，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，；

（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于的概率；

（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取个，记这两个数据中不低于的个数为，求的分布列及

数学期望；

（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．

（19）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面，△为等边三角形，，

，，分别为棱，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？

若存在，求的值，若不存在，说明理由．

（20）（本小题14分）

已知椭圆：的右焦点为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；

（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（21）（本小题13分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：.

（22）（本小题13分）

设为给定的不小于的正整数，考察个不同的正整数，，，构成的集合，若集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”．

（Ⅰ）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论）

（Ⅱ）设集合是“差异集合”，记，求证：数列的前项和；

（Ⅲ）设集合是“差异集合”，求的最大值．

房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案

高三数学

一、选择题（每小题5分，共40分）

二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）

（11）

（12）

（13）或（答案不唯一）

（14）； 

（15）；

（16）；

三、解答题（共6小题，共80分）

（17）（本小题13分）

解：

（Ⅰ）∵，

∴

在△中，

∴

（Ⅱ）在△中，由正弦定理得，即

解得

∵，，

∴

在△中，，根据余弦定理，

解得

（18）（本小题13分）

解：

（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，

从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，

设“所取两个数据都不低于55”为事件，则

（Ⅱ）的所有可能取值为

，

，

，

的分布列为

期望

（Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．

如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．

（19）（本小题14分）

解：

（Ⅰ）因为平面，平面，平面

所以，．

又因为△为等边三角形，为的中点，

所以．

所以平面．

（Ⅱ）取的中点，连结，则易知，，．

因为△为等边三角形，所以．

以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，

，

设平面的法向量，则：

，即，

令，得平面的一个法向量

易知平面的一个法向量为

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面，且

设，则，

，，则

要使得平面，则，得，

所以线段上存在点，使得平面，．

（20）（本小题14分）

（Ⅰ）由已知得，，，

椭圆的方程为

离心率为

（Ⅱ）在轴存在定点，为使

证明：

设直线方程为

代入得，化简得

由，得，，

设，则，，则

设，则，则

所以在轴存在定点使．

解法二：由椭圆的对称性不妨设与．

得得．

切线方程为，令得，．

所以，．

所以在轴存在定点使．

（21）（本小题13分）

（Ⅰ）由，得

则切线方程为.

（Ⅱ）证法1：，

令，

，故在上单调递增.     

又，又在上连续，

使得，即，

.（*）

随的变化情况如下：

.                   

由（*）式得，代入上式得

.  

令，

，故在上单调递减.

，又，.

即.                       

证法2：，

令，

，令得.                      

随x的变化情况如下：

，即，当且仅当时取到等号.

，令得.                        

随x的变化情况如下：

，即，当且仅当时取到等号.

.

即.                                       

（22）（本小题13分）

（Ⅰ）集合不是，因为，即子集与子集元素之和相等；

集合是，因为集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.

（Ⅱ）由集合是“差异集合”知：

的个非空子集元素和为互不相等的个正整数，

于是，

所以

（Ⅲ））不妨设，考虑

而，所以

当时，；

综上，的最大值为.