广东省深圳市龙岗区龙岗中学2020－2021学年九年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】

龙岗区龙岗中学2020－2021学年第一学期九年级期中考试数学试题

一．选择题（每题3分，共30分）

1． －2的绝对值是（　　）

 A．2 B．－2 C．2或－2 D．或－

2． “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示中国每年浪费食物总量折合粮食大约是310000000人一年的口粮，用科学记数法表示310000000为（　　）

 A．3.1×109 B．0.31×109 C．3.1×108 D．31×107

3． 已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值是（　　）

 A．－2 B．2 C．－4 D． 4

4． 下列命题中正确的是（　　）

 A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 

 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形

5． 若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）

 A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2

6． 某机械厂七月份生产零件52万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）

 A．52(1＋x2)＝196  B．52＋52(1＋x2)＝196

 C．52＋52(1＋x)＋52(1＋x)2＝196 D．52＋52(1＋x)＋52(1＋2x)＝196

7． 如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）

 A．20

 B．30

 C．40

 D．50

8． 在学校举行的运动会上，小亮和小刚报名参加百米赛跑，预赛分A、B、C、D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和小刚恰好抽到同一组的概率是（　　）

 A． B． C． D．

9． 顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（　　）

 A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中正确结论的序号是（　　）

 A．①②③

 B．①②④

 C．②③④

 D．①②③④

二．填空题（每题3分，共15分）

11．在一个不透明的袋子里，装有除颜色外其余都相同的3个白色球和若干个黄色球，摇匀后，从这个袋子里随机摸出一个球，记下颜色，放回摇匀再摸出一个球，经过大量重复实验，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则袋子内黄色球约有________个．

12．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为________．

13．一个小组有若干人，每人互送贺卡一张，已知全组共送了56张，则这个小组共有________人．

14．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第8个图形中，共用火柴的根数是________．

15．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于________．

三．解答题（共55分）

16．（5分）计算：(－1)2020－－|－3|＋．

17．（10分）选用适当的方法解下列方程：

（1）2x2－5x－8＝0；  （2）(x－2)(2x－3)＝(x－2)．

18．（8分）某社区为了了解本社区群众锻炼身体的情况，随机抽查了若干名群众，了解他们最喜爱的运动项目，社区让群众在以下五项中选择其中一项，A．跑步，B．气排球，C．健身操，D．骑行，E．其他，并将收集的数据绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：

（1）直接写出本次一共抽查群众的人数；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）求出扇形统计图中“其他”这项所在扇形圆心角的度数；

（4）若本社区的常住人口有2200人，请估计全社区最喜爱健身操项目的人数．

19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的最大整数值；

（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式x12＋x22－x1·x2的值．

20．（8分）某特产商店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．某商店销售这种特产想平均每天获利2240元，同时又要让顾客尽可能得到实惠，则每千克应降价多少元？

21．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a(x－t)(x－2t)＝ax2－3atx＋2t2a，所以有b2－ac＝0；我们记“K＝b2－ac”即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程．

 下面我们根据此结论来解决问题：

（1）方程①2x2－3x＋1＝0；方程②x2－2x－8＝0；方程③x2＋x＝－，这几个方程中，是倍根方程的是________（填序号即可）；

（2）若(x－1)(mx－n)＝0是倍根方程，则的值为________．

22．（8分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ＝AP；

（2）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝BC；

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．选：A．

2．选：A．

3．选：B．

4．选：B．

5．选：D．

6．选：C．

7．选：C．

8．选：B．

9．选：C．

10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，

由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF；故①正确；

∵∠BFM＝90°－∠EBF，∠BFC＝90°－∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC，

∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN，

∵∠BFE＋∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，故②正确；

∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），

∴EF＝FN，∴BE＝BN，

假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，

则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，而明显BE＝BN＞BC，

∴△BEN不是等边三角形；故③错误；

∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，

∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正确．故选：B．

二．填空题

11．答案为：2．

12．答案为：3．

13．答案为：8．

14．【解答】解：分析可得：第1个图形中，有3根火柴．

第2个图形中，有3＋3＝6根火柴．

第3个图形中，有3＋3＋4＝10根火柴．…；

第8个图形中，共用火柴的根数是3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45根．故答案为：45．

15．【解答】解：设AC交A′B′于H，

∵A′H∥CD，AC∥CA′，∴四边形A′HCD是平行四边形，

∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，

设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12－x，

∴x•（12－x）＝32，∴x＝4或8，即AA′＝4或8cm．

故答案为：4或8．

三．解答题（共7小题）

16．【解答】解：原式＝－3．

17．【解答】解：（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝2，x2＝．

18．【解答】解：（1）8÷20%＝40人，

答：本次一共抽查群众的人数为40人；

（2）将条形统计图补充完整如图所示，

（3）“其他”这项所在扇形圆心角的度数为；

（4）（人），

答：估计全社区最喜爱健身操项目的有660人．

19．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＝（2）2－4m＞0，解得m＜2，

∴最大整数m＝1；

（2）当m＝1时，方程为x2－2x＋1＝0，

由根与系数关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝1，

∴x12＋x22－x1•x2＝（ x1＋x2）2－3 x1x2＝（2）2－3×1＝5．

20．【解答】解：设每千克特产应降价x元，则平均每天的销售量为（100＋10x）千克，

 依题意，得：（60－x－40）（100＋10x）＝2240，

整理，得：x2－10x＋24＝0，

解得：x1＝4，x2＝6．

∵销售量尽可能大，∴x＝6，

答：每千克特产应降价为6元．

21．【解答】解：（1）在方程①2x2－3x＋1＝0中，K＝（－3）2－×2×1＝0；

在方程②x2－2x－8＝0中，K＝（－2）2－×1×（－8）＝40≠0；

在方程③x2＋x＝－中，K＝12－×1×＝0，

∴是倍根方程的是①③．

故答案为：①③．

（2）整理（x－1）（mx－n）＝0得：mx2－（m＋n）x＋n＝0，

∵（x－1）（mx－n）＝0是倍根方程，

∴K＝[－（m＋n）]2－m•n＝0，

∴m2－mn＋n2＝0，即2m2－5mn＋2n2＝0，

∴（2m－n）（m－2n）＝0，

∴2m－n＝0或m－2n＝0，

∴m＝n或m＝2n，

∴的值为4或1，故答案为4或1．

22．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，

∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．

∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．

∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ＝AP；

（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∠BCA＝∠BCD＝45°，

∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°，

∵DC＝AD＝2，由勾股定理得：AC＝＝4，

∵AP＝x，∴PC＝4－x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ＝45°，∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°，∴∠CPQ＝∠ABP，

∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP，∴，∴，

∴y＝x（4－x）＝－x（0＜x＜4），

由CE＝BC＝＝，

∴y＝－x＝，x2－4x＋3＝0，

（x－3）（x－1）＝0，解得x＝3或1，

∴当x＝3或1时，CE＝BC；

（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：

如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，

∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，

∴∠GPB＝∠PQB＝45°，

∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，

∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，

连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF＝PG，∴PF＝EQ．

当F在AD的延长线上时，如图3，同理可得：PF＝PG＝EQ．