2022届新高考高三上学期期初考试数学试卷分类汇编：数列

这是一份2022届新高考高三上学期期初考试数学试卷分类汇编：数列，

数列集中练说明：2022届高三新高考期初考试题目选自新高考地区，如江苏、山东、河北、湖南、湖北等。1．(2022·江苏海安中学期初)(多选题)设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，∀n∈N*，an＋Sn＝pk(n)恒成立，其中eq p\s\do(6)(n)表示关于n的k(k∈N)次多项式，则使{an}能成等差数列的k的可能值为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【考点】等差数列的应用【解析】由题意可知，①当k＝0时，p0(n)＝c，则an＋Sn＝c，当n＝1时，a1＋S1＝c，解得c＝2，所以an＋Sn＝2，当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2，两式相减可得，an－an－1＋an＝0，即an－1＝2an，所以数列{an}是以eq \f(1,2)为公比，首项为1的等比数列，故选项A错误；②当k＝1时，p1(n)＝bn＋c，则an＋Sn＝bn＋c，当n＝1时，a1＋S1＝b＋c，解得b＋c＝2，所以an＋Sn＝bn＋2－b，当n≥2时，an－1＋Sn－1＝b(n－1)＋2－b，两式相减可得，an－an－1＋an＝b，即2an－an－1＝b，若数列{an}为等差数列，可设公差为d，则2an－(an－d)＝b，又an＝b－d，而a1＝1，则数列{an}只能说常数数列，则其通项公式为an＝1，故选项B正确；③当k＝2时，可设p2(n)＝pn2＋qn＋t，则an＋Sn＝pn2＋qn＋t，当n＝1时，a1＋S1＝p＋q＋t，解得a1＝eq \f(1,2)(p＋q＋t)＝1，所以p＋q＋t＝2，当n≥2时，an－1＋Sn－1＝p(n－1)2＋q(n－1)＋t，两式相减可得，an－an－1＋an＝2pn＋q－p，即2an－an－1＝2pn＋q－p，若数列{an}为等差数列，可设公差为d，则2an－(an－d)＝2pn＋q－p，且d＝2p，则an＝2pn＋q－p－d＝2pn＋q－3p，而a1＝1，所以q＝p＋1，所以an＝2pn＋1－2p，所以k＝2，则数列{an}能成等差数列，故选项C正确；④当k＝3时，由Sn是关于n的二次函数，可得an是关于n的一次函数，则an＋Sn为最高二次函数，所以an＋Sn＝p3(n)，所以数列{an}不可能为等差数列，故选项D错误；综上，答案选BC．2．(2022·苏州期初考试)(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列对任意的n∈N*，Sn＋1＞Sn恒成立，则Sn＞0D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则Sn＋1＞Sn恒成立【答案】ABD【考点】等差数列的性质综合应用【解析】由题意，对于选项A，显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＞0，则Sn有最大值，故选项A，B正确；对于选项C，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故选项C错误；对于选项D，若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，a1＞0，d＞0，则{Sn}必为递增数列，故选项D正确．综上，答案选ABD．3．(2022·泰州中学期初考试)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布【答案】D【解析】设该女子第天织尺布，前天工织布尺， 则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.4．(2022·泰州中学期初考试)(多选题)已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）A． B．C． D．时，取得最大值【答案】ABC【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，，，即，，即，所以，且，即数列递减，且，，…，，，又由，可得，当时，可得，当时，可得，当时，可得，当时，可得，又由，因为，且，所以，所以当时，取得最小值.综上可得，D不正确.5．(2022·泰州中学期初考试)若数列的通项公式是，则等于 .【答案】30 【解析】由题意，数列的通项公式是，则，所以．6．(2022·泰州中学期初考试)在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.【答案】 . 【详解】解：由于，所以当时，有，两式相减可得，即当时，，当时，求得，即也符合该递推关系，所以.由于，令，由于，当时，，当单调递增，当单调递减，所以，故数列最大项为，即.故答案为：；.7．(2022·河北衡水一中一调)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，EQ a\S\DO(k\S\DO(3))成公比为4的等比数列，则k3＝( )A．84 B．86 C．88 D．96【答案】B【考点】等差、等比数列的性质应用8．(2022·河北衡水一中一调)(多选题)已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，下列判断正确的有( )A．eq {\f(1,a\s\do(n))}为等比数列 B．{eq log\s\do(2)a\s\do(n)}为等差数列C．{eq a\s\do(n)＋a\s\do(n＋1)}为等比数列 D．若Sn＝EQ 3\S\UP6(n－1)＋r，则eq r＝－\f(1,3)【答案】AD【考点】等比数列、等差数列的证明与求和应用9．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(多选题)数列{an}依次为：1，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9)，eq \f(1,9)，…其中第一项为eq \f(1,1)，接下来三项均为eq \f(1,3)，再接下来五项均为eq \f(1,5)，依此类推．记{an}的前n项和为Sn，则A．a100＝eq \f(1,19) B．存在正整数k，使得ak＞EQ \F(1,2\R(,k)－1)C．Sn≤eq \r(,n) D．数列{EQ \F(S\S\DO(n),n)}是递减数列【答案】ACD【考点】数列的综合应用【解析】法一：由题意，当1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝EQ \F(n(1＋2n－1),2)＝n2，当n2＝100时，n＝10，即数列第100项是第19个eq \f(1,19)，故选项A正确；对于选项B，可验证k值得到不存在正整数k，使得ak＞EQ \F(1,2\R(,k)－1)，故选项B错误；对于选项C，S1＝1，S4＝2，S9＝3，S16＝4，…，则可得到Sn≤eq \r(,n)，故选项C正确；对于选项D，EQ \F(S\S\DO(1),1)＞EQ \F(S\S\DO(2),2)＞EQ \F(S\S\DO(4),4)＞EQ \F(S\S\DO(9),9)＞EQ \F(S\S\DO(16),16)＞…＞EQ \F(S\S\DO(n),n)，即数列{EQ \F(S\S\DO(n),n)}是递减数列，故选项D正确；综上，答案选ACD． 法二：对于选项A，由数列可知EQ \F(1,2n－1)占了数列的2n－1项，且相对应的2n－1项的和为1，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝EQ \F(n(1＋2n－1),2)＝n2，当当n2＝100时，n=10，所以a100＝EQ \F(1,2×10－1)＝eq \f(1,19)，故选项A正确；对于选项B，若(n－1)2＜k≤n2(k，n∈N*)，则ak＝EQ \F(1,2n－1)，故EQ \F(1,2n－1)＞EQ \F(1,2\R(,k)－1)，即eq \r(,k)＞n，与(n－1)2＜k≤n2(k，n∈N*)矛盾，故选项B错误；对于选项C，若k2≤n＜(k＋1)2(k，n∈N*)，则Sn＝SEQ \S\DO(k\S(2)＋m)＝k＋EQ \F(m,2k＋1)，0≤m＜2k＋1，而k＋EQ \F(m,2k＋1)≤eq \r(,n)；若n＝k2，则m＝0，故k＋EQ \F(m,2k＋1)－eq \r(,n)＝k－eq \r(,n)＝0，满足k＋EQ \F(m,2k＋1)≤eq \r(,n)；若k2＜n＜(k＋1)2(k，n∈N*)，则0＜m＜2k＋1，故(k＋EQ \F(m,2k＋1))2－(EQ \R(,k\S(2)＋m))2＝k2＋(EQ \F(m,2k＋1))2＋EQ \F(2km,2k＋1)－k2－m＝EQ \F(m[m－(2k＋1)],(2k＋1)\s\up3(2))＜0，即(k＋EQ \F(m,2k＋1))2＜(EQ \R(,k\S(2)＋m))2，又k＋EQ \F(m,2k＋1)＞0，EQ \R(,k\S(2)＋m)＞0，所以k＋EQ \F(m,2k＋1)＜EQ \R(,k\S(2)＋m)，即Sn－eq \r(,n)＜0，即Sn＜eq \r(,n)，综上，Sn≤eq \r(,n)，故选项C正确；对于选项D，因为k2≤n＜(k＋1)2(k，n∈N*)，则Sn＝SEQ \S\DO(k\S(2)＋m)＝k＋EQ \F(m,2k＋1)，0≤m＜2k＋1，所以EQ \F(S\S\DO(n),n)＝EQ \F(S\S\DO(k\S(2)＋m),k\S(2)＋m)＝EQ \F(k＋\F(m,2k＋1),k\S(2)＋m)＝EQ \F(2k\S(2)＋k＋m,(2k＋1)\b\bc\((\l(k\S(2)＋m)))，则EQ \F(S\S\DO(n),n)－EQ \F(S\S\DO(n＋1),n＋1)＝EQ \F(2k\S(2)＋k＋m,(2k＋1)\b\bc\((\l(k\S(2)＋m)))－EQ \F(2k\S(2)＋k＋m＋1,(2k＋1)\b\bc\((\l(k\S(2)＋m)))＝EQ \F(\b\bc\((\l(2k\S(2)＋k＋m))\b\bc\[(\l(\b\bc\((\l(k\S(2)＋m))＋1))－\b\bc\[(\l(\b\bc\((\l(2k\S(2)＋k＋m))＋1))\b\bc\((\l(k\S(2)＋m)),(2k＋1)\b\bc\((\l(k\S(2)＋m))\b\bc\((\l(k\S(2)＋m＋1)))＝EQ \F(k\S(2)＋k,(2k＋1)\b\bc\((\l(k\S(2)＋m))\b\bc\((\l(k\S(2)＋m＋1)))＞0，所以EQ \F(S\S\DO(n),n)＞EQ \F(S\S\DO(n＋1),n＋1)，故数列{EQ \F(S\S\DO(n),n)}是递减数列，故选项D正确；综上，答案选ACD． 10．(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为A．8 B．11 C．14 D．16【答案】B【考点】文化题：新情景问题下的等差数列的应用【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eq S\s\do(9)＝9a\s\do(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\do(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．11．(2022·湖南省长郡中学开学考试)设数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，an，n+，an+1成等差数列，若Sn＝2020，且a2＜3，则n的最大值为（　　）A．63 B．64 C．65 D．66【解答】解：∵an，n+，an+1成等差数列，∴2n+1＝an+an+1①，由①可得：S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2（1+3+5+…+2n﹣1）+n＝2n2+n，∵S62＝2×312+31＝1953＜2020，S64＝2×322+32＝2080＞2020，又2n+3＝an+1+an+2②，由②﹣①可得：an+2﹣an＝2，∴数列{a2n﹣1}是公差为2的等差数列，∵a1+a2＝2×1+1＝3，a2＜3，∴a1＞0，∴a63＝a1+31×2＝62+a1，S63＝S62+a63＝1953+62+a1＝2015+a1，当a1＝5时，S63＝2020，∴n的最大值为63．故选：A．12．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点eq P\s\do(k)(x\s\do(k)，y\s\do(k))处，其中eq x\s\do(1)＝1，y\s\do(1)＝1，当k≥2时，EQ \B\lc\{(\a\al(\l(x\S\DO(k)＝x\S\DO(k－1)＋1－5\b\bc\[(\l(T\b\bc\((\l(\F(k－1,5)))－T\b\bc\((\l(\F(k－2,5)))))，),\l(y\S\DO(k)＝y\S\DO(k－1)＋T\b\bc\((\l(\F(k－1,5)))－T\b\bc\((\l(\F(k－2,5))).)))T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)＝2，T(0.2)＝0．按此方案，(i)第6棵树种植点的坐标应为_______；(ii)第2008棵树种植点的坐标应为______．【答案】(1，2)；(3，402)【考点】双空题：新情景问题下的数列问题【解析】法一：由题意，eq T(\f(k－1,5))－T(\f(k－2,5))组成的数列为：*，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…(k＝1，2，3，4，…)，一一代入计算得，数列eq {x\s\do(n)}为：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5…，数列{eq y\s\do(n)}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4…，因此，第6棵树种在(1，2)，第2008棵树种在(3，402)． 法二：由递推公式依次计算得各棵树的坐标如下：(1，2)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，⋮第6棵树的坐标为(1，2)．我们发现：若将每五棵树分成一组，则各组树坐标的纵坐标均相同(分别为1，2，3，…，且与组的序号相同)，横坐标分别为1，2，3，4，5．因eq \f(2008,5)＝401.6，所以2008在第402组的第3个数位置，因此其坐标为(3，402)．13．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）A. 1.5尺 B. 2.5尺 C. 3.5尺 D. 4.5尺【答案】D【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，设其首项为，公差为d，根据题意，∴立秋的晷长为.故选：D14．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)在数列中，，且，则数列的前2021项和为______.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得，即得数列的通项公式，从而可得前2021项和.【详解】由可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，，故答案为：15．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)(多选题)已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】AC【解析】【分析】根据，，成等差数列，以及数列前4项的和为，求出a3，再根据，，成等差数列，将各项化为a3和q，进而求出q.【详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为，所以，而数列公比为q，再根据有，，所以或.故选：AC.16．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知数列的首项，其前项和为，若，则__________．【答案】96【解析】【分析】由题意易得，两式相减可得数列从第二项开始成等比数列，进而可得结果.【详解】因为，所以，两式相减得，又因为，，得，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为，所以，故答案为：96.17．(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝7a1，且a1，a2＋2，a3成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a\S\DO(n)，n为奇数，),\l(n，n为偶数，)))求数列{bn}的前2n项和T2n．【考点】等比数列的通项公式、分组求和【解析】(1)因为数列{an}为正项等比数列，记其公比为q，则q＞0．因为S3＝7a1，所以eq a\s\do(1)＋a\s\do(2)＋a\s\do(3)＝7a\s\do(1)，即a3＋a2－6a1＝0，因此q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3，从而q＝2．…………………………………………………………………………………2分又a1，a2＋2，a3成等差数列，所以2(a2＋2)＝a1＋a3，即2(2a1＋2)＝a1＋4a1，解得a1＝4．因此eq a\s\do(n)＝4×2\s\up6(n－1)＝2\s\up6(n＋1)．…………………………………………………………………5分(2)因为bn＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a\S\DO(n)，n为奇数，),\l(n，n为偶数，))) 所以eq T\s\do(2n)＝(b\s\do(1)＋b\s\do(3)＋…＋b\s\do(2n－1))＋(b\s\do(2)＋b\s\do(4)＋…＋b\s\do(2n))eq ＝(a\s\do(1)＋a\s\do(3)＋…＋a\s\do(2n－1))＋(2＋4＋…＋2n)eq ＝(2\s\up6(2)＋2\s\up6(4)＋…＋2\s\up6(2n))＋(2＋4＋…＋2n) …………………………………………………8分 eq ＝4×\f(1－4n,1－4)＋\f((2＋2n)n,2)eq ＝n\s\up6(2)＋n＋\f(4\s\up6(n＋1)－4,3)．………………………………………………………………………10分18．(2022·江苏第一次百校联考)(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明an＋2－an＝λ；(2)若{an}为等差数列，求S10．【考点】数列的证明与求和【解析】(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1 (an＋2－an)＝λan＋1． …………3分因为an≠0，所以an＋2－an＝λ． …………4分(2)解：由题设知a3＝λ＋1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．由(1)知a3＝λ＋1．因为{an}为等差数列，所以2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． …………6分故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1． …………8分所以an＝2n－1，所以S10＝100． …………10分19．(2022·江苏海安中学期初)(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an，b1＋EQ \F(1,2)b2＋EQ \F(1,3)b3＋…＋EQ \F(1,n)bn＝bn＋1－1． (1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．【考点】数列的通项与求和【解析】(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N＋)．由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，EQ \F(1,n)＝bn＋1－bn，整理得EQ \F(b\S\DO(n＋1),n＋1)＝EQ \F(b\S\DO(n),n)，所以bn＝n(n∈N＋)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋)．20．(2022·苏州期初考试)(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－eq 2\s\up6(n＋1)＋2(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)设eq b\s\do(n)＝\f(a\s\do(n),4\s\up6(n))，若eq T\s\do(n)＝b\s\do(1)＋b\s\do(2)＋b\s\do(3)＋…＋b\s\do(n)，求Tn．【考点】数列的通项与求和【解析】(1)由已知Sn＝2an－eq 2\s\up6(n＋1)＋2(n∈N*)①，当n≥2时，eq S\s\do(n－1)＝2a\s\do(n－1)－2\s\up6(n)＋2(n∈N*)②①－②得：eq a\s\do(n)＝2a\s\do(n－1)＋2\s\up6(n)， …………2分故eq \f(a\s\do(n),2\s\up6(n))－eq \f(a\s\do(n－1),2\s\up6(n－1))＝1，设cn＝eq \f(a\s\do(n),2\s\up6(n))，则cn－cn－1＝1(n≥2)，又n＝1时，a1＝S1＝2a1－4＋2，得a1＝2，则c1＝eq \f(a\s\do(1),2)＝1， …………4分故数列{cn}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴cn＝1＋(n－1)1＝n，∴an＝n2n． …………5分(2)法一：由eq b\s\do(n)＝\f(a\s\do(n),4\s\up6(n))，得bn＝eq \f(n,2\s\up6(n))，则Tn＝1×(EQ \F(1,2))1＋2×(EQ \F(1,2))2＋3×(EQ \F(1,2))3＋…＋n×(EQ \F(1,2))n， 所以EQ \F(1,2)Tn＝1×(EQ \F(1,2))2＋2×(EQ \F(1,2))3＋…＋n×(EQ \F(1,2))EQ \S\UP6(n＋1)，由错位相减法得EQ \F(1,2)Tn＝EQ \F(1,2)＋(EQ \F(1,2))2＋(EQ \F(1,2))3＋…＋(EQ \F(1,2))n－n×(EQ \F(1,2))EQ \S\UP6(n＋1)，…………7分得Tn＝1＋EQ \F(1,2)＋…＋(EQ \F(1,2))EQ \S\UP6(n－1)－n×(EQ \F(1,2))n，∴Tn＝EQ \F(1－\b\bc\((\l(\F(1,2)))\s\up12(n),1－\F(1,2))－n×(EQ \F(1,2))n＝2－(2＋n)(EQ \F(1,2))n． …………10分法二：因为eq a\s\do(n)＝n·2\s\up6(n)，n∈N\s\up6(*)，所以eq b\s\do(n)＝\f(a\s\do(n),4\s\up6(n))eq ＝\f(n,2\s\up6(n))＝\f(n＋1,2\s\up6(n－1))－\f(n＋2,2\s\up6(n))，则Tn＝eq \f(2,2\s\up6(0))－eq \f(3,2\s\up6(1))＋eq \f(3,2\s\up6(1))－eq \f(4,2\s\up6(2))＋…＋EQ \F(n＋1,2\S\UP6(n－1))－eq \f(n＋2,2\s\up6(n))＝2－\f(n＋2,2\s\up6(n))． …………10分21．(2022·泰州中学期初考试)(10分)等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．【详解】（1）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（2）由（Ⅰ）可得．所以．22．(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知数列{an}的前n项和Sn，满足3Sn＝1＋2an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前项和Tn． 解：(1)3Sn＝1＋2an，①，当n＝1时，3S1＝1＋2a1，解得a1＝1，当n≥2时，3Sn+1＝1＋2an+1，②，由②－①可得3an+1＝2an+1－2an，即an+1＝－2an，∴＝﹣2，∴数列{an}是以1为首项，以－2为公比的等比数列，∴an＝(－2)n﹣1，(2)(2n－1)an＝(2n－1)(－2)n﹣1，则Tn＝1×(－2)0+3×(－2)1+5×(－2)2＋…＋(2n－1)(－2)n﹣1，∴－2Tn＝1×(－2)1+3×(－2)2+5×(－2)3＋…＋(2n－1)(－2)n，两式相减，可得3Tn＝1＋2×(－2)1＋2×(－2)2＋2×(－2)3＋…＋2×(－2)n﹣1－(2n－1)(－2)n，＝1＋2×－（2n－1)(－2)n，＝1－－×(－2)n－(2n－1)(－2)n＝－－(2n－)×(－2)n，∴Tn＝－－．23．(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知数列满足:，，N*且≥.（1）求证: 数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和.（1）证明：又∴数列是以首项为，公差为的等差数列（2）由（1）得，（3）解：24．(2022·河北衡水一中一调)(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知eq 2S\s\do(n)＝a\s\do(n＋1)－2\s\up6(n＋1)＋1(n∈N*)，且eq a\s\do(2)＝5.(1)证明eq {\f(a\s\do(n),2\s\up6(n))＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设eq b\s\do(n)＝log\s\do(3)(a\s\do(n)＋2\s\up6(n))，若对于任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6＜0恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的证明、求解通项公式、与不等式的恒成立问题【解析】(1)由题知eq 2S\s\do(n－1)＝a\s\do(n)－2\s\up6(x)＋1(n≥2)，则2eq a\s\do(n)＝2S\s\do(n)－2S\s\do(n－1)＝a\s\do(n＋1)－2\s\up6(n＋1)＋1－(a\s\do(n)－2\s\up6(n)＋1)＝a\s\do(n)－a\s\do(n)－2\s\up6(n)，则eq a\s\do(n＋1)＝3a\s\do(n)＋2\s\up6(n)，从而有eq \f(a\s\do(n＋1),2\s\up6(n＋1))＋1＝\f(3,2)(\f(a\s\do(n),2\s\up6(n))＋1)，n≥2，又eq 2a\s\do(1)＝2S\s\do(n)＝a\s\do(2)－2\s\up6(2)＋1＝5－4＋1＝2，即eq a\s\do(1)＝1，满足eq \f(a\s\do(2),2\s\up6(2))＋1＝\f(3,2)(\f(a\s\do(1),2\s\up6(1))＋1)，则eq ,\f(a\s\do(n＋1),2\s\up6(n＋1))＋1＝\f(3,2)(\f(a\s\do(n),2\s\up6(n))＋1)，n∈N*，故eq {\f(a\s\do(n),2\s\up6(n))＋1}为以eq \f(3,2)为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列，则eq \f(a\s\do(n),2\s\up6(n))＋1＝(\f(3,2))\s\up6(n)，故eq a\s\do(n)＝3\s\up6(n)－2\s\up6(n)．(2)由(1)知，eq b\s\do(n)＝log\s\do(3)(a\s\do(n)＋2\s\up6(n))＝n.则对于n∈N*，不等式n(1＋n)－λn(n＋2)－6＜0恒成立，则λ＞EQ \F(n(1＋n)－6,n(n＋2))＝EQ \F(n\S(2)＋n－6,n\S(2)＋2n)，EQ \F(n\S(2)＋n－6,n\S(2)＋2n)＝eq 1－\f(n＋6,n\s\up6(2)＋2n)＝1－\f(n＋6,(n＋6)\s\up6(2)－10(n＋6)＋24)＝1－EQ \F(1,n＋6－10＋\F(24,n＋6))，由函数单调性知，n＋6≥7，eq y＝\f(n\s\up6(2)＋n－6,n\s\up6(2)＋2n)＝1－\f(1,n＋6－10＋\f(24,n＋6))单调递增，且n→＋∞时，y→1，则满足条件不等式恒成立时，λ≥1．所以实数λ的取值范围为[1，＋)．25．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1－nan(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列eq |\f((－1),a\s\do(n))|的前n项和为Tn，求T2n的表达式．【考点】数列的通项与求和【解析】(1)当n＝1时，a1＝1－a1，所以a1＝eq \f(1,2)．当n≥2时，Sn＝1－nan，Sn－1＝1－(n－1)an－1．两式相减得：eq a\s\do(n)＝(n－1)a\s\do(n－1)－na\s\do(n)，即eq \f(a\s\do(n),a\s\do(n－1))＝\f(n－1,n＋1)(n≥2)．an＝a1EQ \F(a\S\DO(2),a\S\DO(1))EQ \F(a\S\DO(3),a\S\DO(2))EQ \F(a\S\DO(4),a\S\DO(3))…EQ \F(a\S\DO(n－1),a\S\DO(n－2))EQ \F(a\S\DO(n),a\S\DO(n－1))＝eq \f(1,2)eq \f(1,3)eq \f(2,4)eq \f(3,5)…eq \f(n－2,n)eq \f(n－1, n＋1)＝eq \f(1,2)eq \f(12,n(n＋1))．又a1＝eq \f(1,2)也满足上式，∴eq a\s\do(n)＝\f(1,n(n＋1))． ……………5分(2)令bn＝EQ \F((－1)\S\UP6(2n－1),a\S\DO(2n－1))＋EQ \F((－1)\S\UP6(2n),a\S\DO(2n))＝－(2n－1)2n＋2n(2n＋1)＝4n．则eq b\s\do(n＋1)－b\s\do(n)＝4(n＋1)－4n＝4，∴{bn}为等差数列．∴eq T\s\do(2n)＝b\s\do(1)＋b\s\do(2)＋b\s\do(3)＋…＋b\s\do(n)＝\f(n(b\s\do(1)＋b\s\do(n)),2)＝\f(n(4＋4n),2)＝2n(n＋1)．……………10分26．(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，eq k\s\do(1)＝1，k\s\do(2)＝5，令eq b\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的通项公式与求和【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题意可知，eq a\s\do(1)＝A\s\do(1)＝4，a\s\do(4)＝A2＝4＋6＝10，所以eq a\s\do(4)＝4＋(4－1)×d＝10，解得d＝2，所以eq a\s\do(n)＝a\s\do(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；(2)设等比数列EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…的公比为q，则q＝EQ \F(a\S\DO(k\S\DO(2)),a\S\DO(k\S\DO(1)))＝EQ \F(a\S\DO(5),a\S\DO(1))＝EQ \F(12,4)＝3，所以EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 4·3\s\up6(n－1)，又EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 2k\s\do(n)＋2，所以eq 2k\s\do(n)＋2＝4·3\s\up6(n－1)，k\s\do(n)＝2·3\s\up6(n－1)－1，eq ∴b\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n＝4n·3\s\up6(n－1)，因为eq T\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋8×3\s\up6(1)＋12×3\s\up6(2)＋…＋4n·3\s\up6(n－1)，所以eq 3T\s\do(n)＝4×31eq ＋8×3\s\up6(2)＋12×3\s\up6(3)＋…＋4(n－1)·3\s\up6(n－1)＋4n·3\s\up6(n)，相减得：eq －2T\s\do(n)＝4×3\s\up6(0)＋4×3\s\up6(1)＋4×3\s\up6(2)＋…＋4·3\s\up6(n－1)－4n·3\s\up6(n)eq ＝\f(4(1－3\s\up6(n)),1－3)－4n·3\s\up6(n)＝－2(2n－1)·3\s\up6(n)－2eq ∴T\s\do(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1．27．(2022·湖南省长郡中学开学考试)在①数列{an}为等差数列，且a3+a7＝18；②数列{an}为等比数列，且a2a6＝64，a2a3＜0；③Sn﹣1＝an﹣1（n≥2）这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，______．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk＞512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①．（1）因为数列{an}为等差数列，且a3+a7＝18，a1＝1，可得2a1+8d＝18，即2+8d＝18，解得d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可得Sn＝n（1+2n﹣1）＝n2，当n＝8时，Sn＝64＜512，当n＝9时，Sn＝81＜512，当n＝10时，Sn＝100＜512，所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使得Sk＞512．选择条件②．（1）数列{an}为等比数列，设公比为q，且a2a6＝64，a2a3＜0，a1＝1，可得a1q•a1q5＝64，a12q3＜0，解得q＝﹣2（2舍去），则an＝a1qn﹣1＝（﹣2）n﹣1；（2）Sn＝＝[1﹣（﹣2）n]，当n＝8时，Sn＝＜0＜512，当n＝9时，Sn＝＝271＜512，当n＝10时，Sn＝＜0＜512，所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使得Sk＞512．选择条件③．（1）Sn﹣1＝an﹣1（n≥2），可得S1＝a2﹣1＝a1＝1，即a2＝2，当n≥3时，Sn﹣2＝an﹣1﹣1，又Sn﹣1＝an﹣1，两式相减可得an﹣1＝Sn﹣1﹣Sn﹣2＝an﹣1﹣an﹣1+1，化为an＝2an﹣1，即{an}从第二项起为公比为2的等比数列，可得an＝2•2n﹣2＝2n﹣1，对n＝1也成立，故an＝2n﹣1，n∈N*；（2）由（1）有Sn＝＝2n﹣1，当n＝8时，Sn＝28﹣1＝255＜512，当n＝9时，Sn＝29﹣1＝511＜512，当n＝10时，Sn＝210﹣1＝1023＞512，所以存在正整数k∈{8，9，10}，使得Sk＞512．28．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{an}满足EQ \B\lc\{(\a\al(\l(\F(n,2)a\S\DO(\F(n＋1,2))＋\F(1,2)，为正奇数，),\l(2a\S\DO(\F(n,2))＋\F(n,2)，n为正偶数．)))(1)问数列{an}是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列{EQ \F(a\S\DO(2\S(n)),2\S(n))}是等差数列，并求数列{EQ a\S\DO(2\S(n))}的通项公式．【考点】证明等差或等比数列、求数列的通项公式【解析】(1)由题意可知，a1＝EQ \F(1,2)EQ a\S\DO(\F(1＋1,2))＋EQ \F(1,2)＝EQ \F(1,2)a1＋EQ \F(1,2)，所以a1＝1，a2＝2EQ a\S\DO(\F(2,2))＋EQ \F(2,2)＝2a1＋1＝3，a3＝EQ \F(3,2)EQ a\S\DO(\F(3＋1,2))＋EQ \F(1,2)＝EQ \F(3,2)a2＋EQ \F(1,2)＝5，a4＝2EQ a\S\DO(\F(4,2))＋EQ \F(4,2)＝2a2＋2＝8，因为a3－a2＝2，a4－a3＝3，a3－a2≠a4－a3，所以数列{an}不是等差数列．又因为EQ \F(a\S\DO(2),a\S\DO(1))＝3，EQ \F(a\S\DO(3),a\S\DO(2))＝EQ \F(5,3)，EQ \F(a\S\DO(2),a\S\DO(1))≠EQ \F(a\S\DO(3),a\S\DO(2))所以数列{an}也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n，EQ a\S\DO(2\S\UP6(n＋1))＝2EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＋2n，EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n＋1)),2\S\UP6(n＋1))－EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))＝EQ \F(1,2)，EQ \F(a\S\DO(2),2)＝EQ \F(3,2)，所以数列{EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))}是首项为EQ \F(3,2)，公差为eq \f(7,2)的等差数列．从而对n∈N*，EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))＝EQ \F(3,2)＋EQ \F(n－1,2)，EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＝(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)，所以数列{EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))}的通项公式是EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＝(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)( n∈N*)．法二：因为对任意正整数n，EQ a\S\DO(2\S\UP6(n＋1))＝2EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＋2n，得EQ a\S\DO(2\S\UP6(n＋1))－(n＋3)2n＝2[EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))－(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)]，且EQ a\S\DO(2\S\UP6(1))－(1＋2)EQ 2\S\UP6(1－1)＝a2－3＝0所以数列{EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))－(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)}是每项均为0的常数列，从而对∀n∈N*，EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＝(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)，所以数列{EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))}的通项公式是EQ a\S\DO(2\S\UP6(n))＝(n＋2)EQ 2\S\UP6(n－1)( n∈N*)．∀n∈N*，EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))＝EQ \F(n＋2,2)，EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n＋1)),2\S\UP6(n＋1))－EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))＝EQ \F(n＋3,2)－EQ \F(n＋2,2)，EQ \F(a\S\DO(2),2)＝EQ \F(3,2)，所以数列{EQ \F(a\S\DO(2\S\UP6(n)),2\S\UP6(n))}是首项为eq \f(3,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列．29．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设的公差为，，根据，且，，成等比数列，列出方程，求出首项和公差，即可求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的前n项和．【详解】解：（1）设的公差为，，因为，，成等比数列，，可得，，，，又，解得，，．（2）．30．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知数列为等差数列，且公差不为0，，是与的等比中项．(1)求数列的通项公式，(2)记，求数列的前项之和．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式结合已知条件列方程求数列的首项和公差，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求.【详解】解：(1)设数列的公差为，由已知得：即，又∴∴(2)∵∴