第一讲.三角函数的概念，诱导公式三角恒等变换练习题

这是一份第一讲.三角函数的概念，诱导公式三角恒等变换练习题，共16页。试卷主要包含了任意角，第四象限或y轴的非正半轴上；等内容，欢迎下载使用。
第三讲:三角函数的概念，诱导公式，三角恒等变换一．基础知识总结一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．  ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度制与角度制的换算公式：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 弧度，=57度18分。③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则（弧长公式），(周长公式)，．（面积公式）                                   2．任意角的三角函数定义①设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）②三角函数线：，，．                                      角度函数030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-10cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana0√3/31√3 -√3-1-√3/30 03．特殊角的三角函数值二、同角三角函数的基本关系与诱导公式及三角恒等变换A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：＝tan α.   (3)倒数关系：2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α， （其中k∈Z.）公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，． 公式四：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，.公式五：sin＝cos α，cos＝sin α.   公式六：sin＝cos α，cos＝－sin α.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法 在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ= sin＝tan（4）齐次式化切法：已知，则3、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸    （）；⑹    （）．如____                          （答案： ）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．如cos2＋cos2＋coscos的值多少                      想                                       （答案： ）⑵升幂公式降幂公式，．  ⑶．    3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：                   ，其中．（第二种说法引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。）4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ②；③；④；⑤；等等.如[1]            .                 （答案： ）[2]若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.（答案：－，－1）   [3]已知 则                ；               （答案： ）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。如                       ； （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：     （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有时需要升幂，常用升幂公式有：                        如对无理式常用升幂化为有理式.（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。    _________；___________      ；；；；；  ；_________              ____________；___________  ；_______________；_________________；（其中_____________；）（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。二．基本例题讲解1.三角函数基本概念类型的的题（此类型的题目主要考察关于三角函数的三种定义，终边相同的角的集合表示，三角函数值得正负判定，考察时一般不会直接给出但是三角函数的性质基础知识） 1.已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α等于(　　)A.  B．±C.  D．±2.若sinα＜0，且tanα＞0，则α是(　　)A．第一象限角  B．第二象限角C．第三象限角  D．第四象限角3.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个4.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．5．已知角β的终边在直线x－y＝0，则角β的集合S＝________.总结： 1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可.3.确定角kα,(k≥2,且k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,最后根据k的可能取值讨论确定角kα或的终边所在位置.2.诱导公式，倍角公式，和差化积公式的应用类题型6.【2019年全国卷2】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.  B. C.  D. 7.【2019年江苏卷】已知，则的值是_____.8.【2016高考新课标2理数】若，则（    ）（A）        （B）           （C）          （D）9.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）A、1          B、2            C、3            D、4 10.【2015陕西理6】“”是“”的（）A．充分不必要条件     B．必要不充分条件    C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件11.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是______12.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.13.【2017江苏，5】若则.14.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______. 15.【2015高考四川，理12】        .        参考答案1答案 B解析：由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±.  所以tan α＝＝÷＝±.故选B.2.答案：C解析：由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．3.答案：C解析：－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°为第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°为第一象限角，故④正确．4.答案：－675°或－315°解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°，得－765°≤k×360°＜－45°，解得－≤k＜－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}解析：如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．6.【答案】B【详解】，．，又，，又，，故选B．7.【答案】  .【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，8.【答案】D分析：，且，故选D.9.【答案】C，＝，选C.10.【答案】A【解析】因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【答案】1【解析】，由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1。12.【答案】分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，这样13.【答案】【解析】．故答案为14.【答案】3【解析】15.【答案】.【解析】法一、.法二、.