专题复习1 正负数、有理数及数轴-2021-2022学年七年级数学上册同步知识清单+例题讲解+练习（人教版）

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知识点一：正数和和负数的概念：
大于0的数是正数，在正数前面加“﹣”（负号）的数是负数。所以正数＞0，
负数＜0，0既不是正数，也不是负数。
思考：前面是正号的一定是正数吗？前面是负号的一定是负数吗？
知识点二：正负号的化简：
方法一：化简遵循原则：同号为正；异号为负。
方法二：负号个数判定：负号个数为奇数个时为负数，负号个数为偶数个时为正数。简称奇负偶正。
知识点三：正负数的意义：
正负数可以表示具有相反意义的两个量。0不表示没有，可以表示某一个量
的基准。
正负数还可以表示某一数量范围。
例题讲解：
类型一：正负数的概念理解：
1．有理数+2，﹣1，，7，0中，不属于正数集合的是（ ）
A．﹣1B．﹣1和C．﹣1和0D．和0
【分析】根据正数和负数的定义即可作出判断．
【解答】解：有理数+2，﹣1，，7，0中，
负数有：﹣1；
正数有：+2，，7．
0既不是正数，也不是负数．
故选：C．
变式：下列各对数中，相等的是（ ）
A．﹣（﹣）和﹣0.75B．+（﹣0.2）和﹣（﹢）
C．﹣（﹢）和﹣（﹣0.01）D．﹣（﹣）和﹣（﹢）
【分析】根据多重符号的化简法则化简对各选项进行计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣（﹣）＝＝0.75≠﹣0.75，故本选项错误；
B、+（﹣0.2）＝﹣0.2，﹣（+）＝﹣＝﹣0.2，故本选项正确；
C、﹣（+）＝﹣＝﹣0.01，﹣（﹣0.01）＝0.01，故本选，错误；
D、﹣（﹣）＝，﹣（+）＝﹣，故本选项错误．
故选：B．
类型二：对0的理解认识：
2．下列结论中正确的是（ ）
A．0既是正数，又是负数
B．0是最小的正数
C．0是最大的负数
D．0既不是正数，也不是负数
【分析】根据实数分为正数，负数和零，即可得出答案．
【解答】解：根据0既不是正数，也不是负数，
可以判断A、B、C都错误，D正确．
故选：D．
类型三：正负数的意义：
填空：（1）如果顺时针转30°，记作﹣30°，那么逆时针转25°，记作 ．
（2）在知识抢答中，如果用+10表示得10分，那么扣20分表示为 ．
（3）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作： ．
（1）【分析】利用相反意义的量定义判断即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：顺时针转30°，记作﹣30°，那么逆时针转25°，记作+25°．
故答案为：+25°．
（2）【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．
【解答】解：用+10表示得10分，那么扣20分用负数表示，那么扣20分表示为﹣20．
故答案为：﹣20．
（3）【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
故答案为：﹣3．
4．某排球队检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A．B．C．D．
【分析】计算各个球的实际质量标准质量的差，相差最小的最接近标准质量．
【解答】解：∵0.5＜0.7＜0.9＜1，
∴A选项的排球最接近标准质量．
故选：A．
5．面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为50±0.2kg，现随机选取10袋面粉进行质量检测，结果如下表所示：
则不符合要求的有（ ）
A．1袋B．2袋C．3袋D．4袋
【分析】根据标准质量为50±0.2kg，得出小于49.8kg的面粉是不合格的．
【解答】解：因为面粉每袋的标准质量为50±0.2kg，即49.8kg≤m≤50.2kg，
故49.7kg不符合要求，
故选：A．
易错题：
1．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②带“﹣”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：①0不带“﹣”号，但是它不是正数．
②﹣0带负号，但是它不是负数．
③0既不是正数也不是负数．
③0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．
综上所述，①②③③全部错误，本题的答案选择：A
2．纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（ ）
A．9月11日5时B．9月11日19时
C．9月12日19时D．9月12日21时
【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．
【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
故选：B．
知识清单
知识点四：有理数的概念：
整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数是分数的一种形式。
有理数：整数和分数统称为有理数。
自然数：0和正整数都是自然数。
非负数：0和正数都是非负数。
知识点五：有理数的分类：
按定义分类：按正负分类：
例题讲解：
类型一：对相关概念的理解
1．下列说法错误的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B．一个有理数不是整数就是分数
C．0既不是正数，也不是负数
负整数、负分数统称为负有理数
【分析】利用有理数的分类判断即可．
【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；
B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；
D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
类型二：对有理数进行分类：
2．把下列各数的序号填到相应的括号中：
①﹣0.；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤﹣；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨．
（1）整数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）非正数集合：{ …}；
（4）分数集合：{ …}；
（5）非负整数集合：{ …}．
【分析】根据正数、负数、整数及分数的定义，结合所给数据进行解答即可．
【解答】解：（1）整数集合：{﹣10；18；0，…}；
（2）负数集合：{﹣0.；﹣10；﹣；﹣2.3…}；
（3）非正数集合：{﹣0.；﹣10；﹣；0；﹣2.3…}；
（4）分数集合：{﹣0.；3.1415；0.28；﹣；﹣2.3…}；
（5）非负整数集合：{18；0，…}．
故答案为：（1）③⑥⑦⑨；
（2）①③⑤⑧；
（3）①③⑤⑦⑧；
（4）①②④⑤⑧；
（5）⑥⑦⑨．
知识清单：
知识点六：数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。图示如下：
数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，在画数轴时三要素缺一不可。其中单位长度可以根据实际需求灵活选择，但同一数轴单位长度的大小一定要统一。
知识点七：数轴与有理数的关系：
数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。一个有理数在数轴上只能找 1
个点来表示它。数轴上一个点也只能表示1个数。
表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点
的左侧。
例题讲解：
类型一：对数轴的理解
1．在下列图中，正确画出的数轴是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．
【解答】A、单位长度不一致，故该选项不符合题意；
B、有原点，正方向，单位长度，故该选项符合题意；
C、没有原点，故该选项不符合题意；
D、没有正方向，故该选项不符合题意．
故选：B．
类型二：数轴与有理数的关系：
2．（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数．
（2）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，﹣2，﹣4.5，1，0．
（1）【分析】分别利用数轴进而得出各字母数据．
【解答】解：由数轴可得出：点A表示0，B表示﹣2，C表示1，D表示2.5，E表示﹣3．
（2）【分析】根据正数在原点的右边，负数在原点的左边以及距离原点的距离可得各数在数轴上的位置．
【解答】解：如图：
类型三：数轴上两点之间的距离：
3．数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是 ．
【分析】由数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，得到点B表示的数小于5，因为5﹣（﹣1）＝6，所以结论可得．
【解答】解：∵数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，
∴点B表示的数小于5．
∵5﹣6＝﹣1，
∴点B所表示的数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
变式1：已知：A和B都在同一条数轴上，点A表示﹣2，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数一定是 ．
【分析】点B表示的数一定是：﹣2+5或﹣2﹣5，据此即可求解．
【解答】解：点B表示的数一定是：﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7．
故答案是：3或﹣7．
变式2：纸上画有一数轴，将纸对折后，表示7的点与表示﹣1的点恰好重合，则此时与表示﹣3的
点重合的点所表示的数是 ．
【分析】根据题目中的信息可知7与（﹣1）的和等于（﹣3）与它重合的点的和，从而可以解答本题．
【解答】解：∵纸上画有一数轴，将纸对折后，表示7的点与表示﹣1的点恰好重合，
∴与表示﹣3的点重合的点所表示的数是：[（﹣1）+7]﹣（﹣3）＝6+3＝9．
故答案为：9．
类型四：数轴上点的移动：
4．在数轴上把表示﹣3的对应点沿数轴移动5个单位后，所得的对应点表示的数是 ．
【分析】在数轴上表示﹣3的点移动5个单位后，所得的点表示为﹣3﹣5＝﹣8或﹣3+5＝2．
【解答】解：依题意得：左移：﹣3﹣5＝﹣8，
右移：﹣3+5＝2．
故答案为：﹣8或2．
5．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）若点A表示数﹣2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 ，此时A，B两点间的距离是 ．
（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B，则B表示的数是 ；此时A，B两点间的距离是 ．
【分析】（1）根据﹣2点为A，右移5个单位得到B点为﹣2+5＝3，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3﹣6+5＝2，可以得出答案；
（3）表示出点B坐标，利用绝对值表示A、B两点之间的距离；
【解答】解：（1）若点A表示数﹣2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是3，此时A，B两点间的距离是5．
（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B，则B表示的数是2；此时A，B两点间的距离是1．
故答案为3，5，2，1；序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量（kg）
50
50.1
49.9
50.1
49.7
50.1
50
50
49.9
49.95