第11讲 立体几何中球的综合问题（解析版）

  第11讲立体几何中球的综合问题

A组

一、选择题本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享

1.（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A． B．   C． D．

【答案】D

【解析】：由及是边长为2的正三角形可知，三棱锥为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，
则，又，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.
又，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.

又因为，是正三角形，所以，故
所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直.

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即, 半径为，

则球O的体积为．故选D．

2．(2018年高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（    ）

A．   B．    C．   D．

【答案】B

【解析】∵过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为．故选B．[来源:学§科§网]

3．三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面。若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（    ）

A．        B．      C．        D．1

【答案】C

【解析】平面,三棱柱内接球,为距形的中心, 设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选C。

4．球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（    ）

A．      B．      C．      D．4

【答案】A

【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是的中心，故，当三棱锥的体积最大时，其高为，故三棱锥的体积的最大值为，应选A。

5．如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为（   ）

A．                B．               C．              D．

【答案】D

【解析】设,则,所以直四棱柱的体积为,令,则,则,故,所以当时,即时,体积最大.故应选D.

6．在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．     B．      C．        D．

【答案】B

【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，[来源:学科网ZXXK]

同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，

∵SB⊂平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC，

∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．

∵底面边长∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选：B．

二、填空题

7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为             ．

【答案】

【解析】设正方体边长为，则 ，外接球直径为.

8．底面是同一个边长为的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则的值是    。

【答案】.

【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.

如图可知，底面为正三角形，D为BC的中点，则，，，故和即为二面角；设交平面ABC于点P，易知P点在AD上，且为的重心.

,，，，，

.

9．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的表面积为              .

【答案】

【解析】三棱锥展开后为等边三角形，设边长，则，则

因此三棱锥的棱长为，三棱锥的高，设内切球的半径为，

则，，求的表面积.

10.已知球的表面上有四点，且两两互相垂直，若，求这个球的表面积和体积

 解：设过的平面截球所得截面圆心为，与球面另一交点为.因为，所以是圆的直径，且.因为，所以平面，又平面，所以.如图，过作平面，则直线为平面和平面的交线，点，连接，在圆中，为直角，所以为圆的直径.设圆的半径为，在中，，即，所以.所以

三、解答题

11.棱长为的正方体容器中盛满水，把半径为的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大？

    解：过正方体对角线的截面图如图所示，.设小球半径为，，在中，，解得为所求.

12.过球面上一点的三条弦，满足，，求此球的表面积

    解：由题意知，四面体是球的内接正四面体.设是的中心，则球心在上.如图，连接，设球半径为，则，在中，而，故，，表面积为

13.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离。

解：设四个球心分别为A,B,C,D，则四面体A-BCD是棱长为2R的正四面体，如图所示，过A作AH面BCD与H，则H为BCD的中心，连接BH并延长交CD于M，连接AM，则BMCD,AMCD且AM=R，HM=,所以AH=R，故上面一球的球心到桌面距离为。

B组

一、选择题

1．已知三棱锥,在底面中, 面,则此三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．                B．             C．               D．

【答案】D

【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.

2．如图, 在菱形中, 为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．          B．          C．                  D．

【答案】A

【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,故，

,外接球面积为.

3．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（   ）

A．3                B．2              C．              D．

【答案】D

【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为，所以正方体的对角线长为，所以球心到平面的距离为，所以点到平面的距离的最大值为，故选D．

4．已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为(   )

（A）      （B）       （C）3        （D）

【答案】B

【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为，所以，所以．又因为球的体积为，所以半径，所以．

二、填空题

5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面

⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________．

【答案】

【解析】取的中点，连接，，因为，，所以，

因为平面平面，所以平面平面设，所以，所以球的表面积为

6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是_____________.

【答案】

【解析】由题意可得，球的半径为，则正三棱柱的高为，底面正三角形中心到各边的距离为，所以底面边长为，从而所求三棱柱的体积为.故正确答案为.

7．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为     ．

【答案】

【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．

三、解答题

8.已知棱长为3的正四面体A-BCD，E,F分别是棱AB,AC上的点，且AF=2FC,BE=2AE,求四面体A-EFD的内切球的半径。

解：如图所示，设四面体A-EFD的内切球半径为，球心为O，连接OA,OE,OF,OD,则，四面体A-EFD的各面面积为,,,各边边长分别为EF=，DF=DE=，,,又,，所以，故四面体A-EFD的内切球半径为。

9.已知四面体P-ABC，PA=4，AC=,PB=BC=,面PBC,求四面体P-ABC的内切球与外接球面积的比。

解：由题意，已知面PBC，PA=4，AC=,PB=BC=，如图，由勾股定理得，,所以为等边三角形，为等腰三角形，等边三角形PBC所在小圆的直径，那么四面体P-ABC的外接球直径AD=2R=，所以，,表面积.设内切球半径为，那么，所以，故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比，即表面积之比为。

10.球与正四面体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？

解：如图，设正四面体棱长为，球半径为R，取AB中点E，CD中点F，连接AF，BF,EF,则AF=BF=，,同理可得,是AB,CD的公垂线段，则EF的长是AB,CD的距离，，又由球与正四面体的六条棱相切，得EF是该球的直径，即，，又，故。

11.已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两垂直，求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面ABC的距离。

解：把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心O为体对角线PD的中点，且PO=，又P到平面ABC的距离为，,则，则球心O到截面ABC的距离为PO==。

[来源:Z。xx。k.Com]

C组

一、选择题

1．已知三点都在以为球心的球面上， 两两垂直，三棱锥的体积为，则球的表面积为（   ）[来源:学.科.网]

A.             B.              C.                D.

【答案】B

【解析】设球的半径为，由题意，可得三棱锥体积，，解得，则球的表面积为，故选B.

2．三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（   ）

A．4                    B．3                  C．                 D．

【答案】B

【解析】根据题意：半径为的球面上，且,为截面为大圆上三角形，

设圆形为，的中点为，,，三棱锥的体积的最大值时，，，三棱锥的体积的最大值为.

3．已知四面体的一条棱长为，其余棱长均为，且所有顶点都在表面积为的球面上，则 的值等于（   ）

A．                 B．                   C．                  D．

【答案】A

【解析】如图所示的四面体中，设，其余的棱长均为，取的中点，连接，则，又所有顶点都在表面积为的球面上，所以球的半径为，球心落在线段上，且，在直角中，则，即，解得，故选A．

4．在三棱锥中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A.              B.                C.                   D.

【答案】D

【解析】取BC的中点为M，E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、OE、OM、OB，则E、F分别在AM、DM上，OF⊥平面BCD，OE⊥平面ABC，OM⊥BC，AM⊥BC，DM⊥BC，所以∠AMD为二面角A—BC—D的平面角，因为平面ABC⊥平面BCD，所以AM⊥DM，又AM=DM=，所以==，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB中，球半径OB===，所以外接球的体积为= ，故选D.

5．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】如图，作轴截面，设球未取出时，水面高，球取出后，水面高．

∵，，则以为底面直径的圆锥容积为，

．球取出后，水面下降到，水的体积为．又，则，解得，选B

6．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若， ，则球的表面积为                   .

【答案】

【解析】，，三角形的外接圆直径，，平面为等腰三角形, 该三棱锥的外接球的半径,该三棱锥的外接球的表面积为.因此，本题正确答案是: ．

7．三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为（   ）

A．       B．         C．           D．

【答案】D

【解析】由题意得，在中，因为，由余弦定理得，所以，所以外接圆的半径为，即，所以球的半径为，所以球的表面积为，故选D．

8．半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的可能最大值为（   ）．

A．        B．       C．        D．

【答案】C

【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为

，该正四面体的外接球半径为，则，

解得，，，故答案为C．

二、填空题

9．如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是________________cm

【答案】

【解析】依题意可得碗的球心为O,半径为R.其它三个球的球心分别是.这四个点构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以=R-10. .通过解直角三角形可得.故填.

三、解答题

10．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，求三个球表面积的比。

解：设正方体棱长为，则内切球半径，棱切球其直径为正方体各面的对角线长，则；外接球直径为正方体的体对角线，故，所以表面积之比为。

11.如图所示，已知球O是棱长为1的正方体的内切球，求平面截球O的截面积。

解：根据正方体的几何特征知，平面截球O的截面是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得的内切圆的半径为，故所求的截面圆的面积是。

12.            已知AB是球O的直径，C,D是球面上的两点，且D在以BC为直径的小圆上，如图所示，设此小圆所在平面为，（1）求证：平面ACB平面；（2）设AB与所成角为，过球半径OD且垂直于的截面截BC弦于E点，求与经过点O,D的截面面积之比，并求为何值时，面积之比最大。

（1）证明：连接球心O与小圆圆心,由球的性质知，圆面O，连接AC，在中，显然有平行等于,因为圆面O，所以圆面O,又AC面ACB，所以面ACB圆面O，即面ACB平面。

（2）因为面OED圆面O，面ACB圆面O，且面ACB面ODE=OE，故OE圆面O,因为OO圆面O，所以O,E两点重合，即E为小圆的圆心。在R中，设球半径为R，有OE=R，所以在中，DE，故的面积，又因为经过O,D的截面必为大圆，且它的面积为,所以，当时，它们面积之比最大且最大值为，此时，所以所求面积之比为，当时面积之比最大且最大值为。

13.若三棱锥的三条侧棱两辆垂直，且侧棱长均为，则求其外接球的表面积。

【解】将等边三角形当作底面，由知道为正三棱锥，点在底面射影为底面中心,由推论3知道球心一定在直线上，易算得,,,设球半径为，当时，有,解得（舍去），当时，有，解得，所以球的表面积为。