吉林省实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案

    www.ks5u.com吉林省实验中学2018---2019学年度上学期

高一年级数学学科期中考试试题

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

（1）已知集合A＝{x | 2≤x＜4}，B＝{x | 3x－7≥8－2x}，则A∪B＝

 A．{x | 3≤x＜4} B．{x | x≥2} C．{x | 2≤x＜4} D．{x | 2≤x≤3}

（2）已知集合A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合A的一个真子集为

 A．{x | －2＜x＜0} B．{x | 0＜x＜2} C．{0} D．{Ø}

（3）下列各组函数中，f(x)与g(x)是相同函数的是（e为自然对数的底数）

 A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝，g(x)＝x

 C．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnx D．f(x)＝，g(x)＝e2x

（4）下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是

 A．f(x)＝ B．f(x)＝lg(x－1) C．f(x)＝2x2－1 D．f(x)＝x＋

（5）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(2x－1)的定义域为

 A．[－1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[－，1]

（6）已知定义在[－3，3]上的函数y＝f(x)，其图象如图所示．

则只有唯一的x值与之对应的y的取值范围是

 A．(3，＋∞) B．[0，2)∪[3，＋∞)

 C．(0，＋∞) D．[0，1)∪(3，＋∞)

（7）已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为

 A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1

 C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1

（8）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是

 A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32

 C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3

（9）函数f(x)＝（e为自然对数的底数）的值域为

 A．(－1，1)  B．(－1，＋∞)

 C．(－∞，1)  D．(－1，0)∪(0，1)

（10）函数f(x)＝的单调减区间为

 A．(－∞，2] B．[1，2] C．[2，＋∞) D．[2，3]

（11）已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1)＝－2．则使不等式f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围是

 A．[－3，1] B．(－∞，0] C．[－2，0] D．[0，+∞)

（12）设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是

 A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）

（13）函数y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)恒过定点　　　　　　　　．

（14）函数f(x)＝的定义域为　　　　　　　　．

（15）定义域为R的函数f(x)，对任意实数x均有f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(2＋x)成立，若当2＜x＜4时，f(x)＝2x－3＋log2(x－1)，则f(－1)＝　　　　　　　　．

（16）已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，若对任意x∈[2，＋∞)，不等式f(x)＞0恒成立，则a的取值范围是　　　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（17）（本小题10分）

已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．

（Ⅰ）当m＝－3时，求()∩B；

（Ⅱ）当A∩B＝B时，求实数m的取值范围．

（18）（本小题12分）

计算下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

[来源:学_科_网]

（19）（本小题12分）

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－x＋1．

（Ⅰ）求f(0)的值；

（Ⅱ）求f(x)在R上的解析式．

（20）（本小题12分）

解关于x的不等式：x2－(a＋)x＋1≤0 (a∈R，且a≠0)

[来源:ZXXK]

（21）（本小题12分）

已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当时，f(x)＞0．

（Ⅰ）证明：f(x)在R上是增函数；

（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性，并证明；

（Ⅲ）若f(－1)＝－2，求不等式f(a2＋a－4)＜4的解集．

（22）（本小题12分）

已知定义在R上的奇函数f(x)＝ (a＞0，且a≠1)．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）当m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0恒成立，求t的取值范围．

吉林省实验中学2018---2019学年度上学期

高一年级数学学科期中考试参考答案

第 Ⅰ 卷  (选择题  共60分)

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

第 Ⅱ 卷  (非选择题  共90分)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）

（13）(2，1)； （14）(1，2)∪(2，3]； 

（15）－2； （16）(2，＋∞)．

三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

（17）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）当m＝－3时，

＝{x|x＜－3或x＞4}，B＝{x|－7≤x≤－2}， …………2分

∴()∩B＝{x|－7≤x＜－3}．   …………4分

（Ⅱ）由A∩B＝B可知，B⊆A．                             …………5分[来源:学*科*网Z*X*X*K]

当2m－1＞m＋1时，即m＞2时，B＝Ø，满足B⊆A；         …………7分

当2m－1≤m＋1时，即m≤2时，B≠Ø，若B⊆A，

则m＋1≤4，2m－1≥－3，解得－1≤m≤3，

又m≤2，∴－1≤m≤2.                                    …………9分

 综上所述，m的取值范围是[－1，＋∞)．                     …………10分

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）原式＝； …………6分

   （Ⅱ）原式＝． …………12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

令x＝0，得：f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0 …………4分

（Ⅱ）当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－(－x)＋1]＝－x2－x－1． …………10分

∵当x＞0时，f(x)＝x2－x＋1，且f(0)＝0，

∴f(x)在R上的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x＞00，x＝0 …………12分

（20）（本小题满分12分）

解：不等式可化为：(x－a)(x－a1)≤0． 

 令(x－a)(x－a1)＝0，可得：x＝a或x＝a1． …………2分

    ①当a＞a1，即－1＜a＜0或a＞1时，不等式的解集为[a1，a]； …………5分

 ②当a＜a1，即a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，a1]； …………8分

 ③当a＝a1，即a＝－1或a＝1时，

 （i）若a＝－1，则不等式的解集为{－1}；

 （ii）若a＝1，则不等式的解集为{1}． …………11分

 综上，当－1＜a＜0或a＞1时，不等式的解集为[a1，a]；

 当a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，a1]；

 当a＝－1时，不等式的解集为{－1}；

 当a＝1时，不等式的解集为{1}；  …………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，

∵当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x2－x1)＞0，

∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上是增函数． …………4分

（Ⅱ）解：在条件中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，

再令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故f(－x)＝－f(x)，

即f(x)为奇函数． …………8分

（Ⅲ）解：∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，

∴不等式可化为f(a2＋a－4)＜f(2)，

又∵f(x)为R上的增函数，

 ∴a2＋a－4＜2，即a∈(－3，2)．               …………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由f(x)＋f(－x)＝0，得a2－1kax－a－x＋a2－1ka－x－ax＝0，

 即a2－1kax－a－x＋ka－x－ax＝0，即a2－1ax＋a－x＝0，

所以k＝1． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)＝a2－1ax－a－x．

①当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是增函数，

所以函数f(x)在R上是增函数；

②当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是减函数，

所以函数f(x)在R上是增函数．[来源:Z&xx&k.Com]

综上，f(x)在R上是增函数．

（此结论也可以利用单调性的定义证明） …………8分

不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0可化为f(2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)，

∵函数f(x)是奇函数，

∴不等式可化为f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)；

又∵f(x)在R上是增函数．

∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2 …………10分

即t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于m∈[0，1]恒成立．

设g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]．

则t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1

所以t＞－n2－2n＋1，对于n∈[－1，0]恒成立． …………11分

设h(n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]．

则t＞h(n)max＝h(－1)＝2．

所以t的取值范围是(2，＋∞)． …………12分