初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试课后复习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试课后复习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.（2019·双牌模拟）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若 AB 的长为12cm，那么 AC 的长是( )
A. 10cm B. 9cm C. 8cm D. 6cm
2.（2021九上·哈尔滨开学考）如右图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝40°，则∠BOC=（ ）．
A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°
3.（2021九上·新抚期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 15
4.（2021·吉林模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型：也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是一个摆盘的几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C、D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图②的摆盘的面积是（ ）

A.80πcm2
B.40πcm2
C.24πcm2
D.2πcm2
5.（2020九上·荔湾期末）如图，⊙ O 的半径为3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP ，若 OP=4 ， ∠P=30° ，则弦 AB 的长为（ ）．
A. 5 B. 23 C. 25 D. 2
6.（2020·昆明模拟）下列命题正确的是（ ）
A. 点 (1,3) 关于 x 轴的对称点是 (−1,3)
B. 函数 y=−2x+3 中， y 随 x 的增大而增大
C. 若一组数据 3 ， x ， 4 ， 5 ， 6 的众数是 3 ，则中位数是 3
D. 同圆中的两条平行弦所夹的弧相等
7.（2021·薛城模拟）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )
A. 25° B. 20° C. 40° D. 50°
8.（2019九上·凤山期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于( )

A. 72．5° B. 75° C. 80° D. 60°
9.（2019九上·诸暨月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（ ）
A. 12 B. 1 C. 2 D. 3
10.（2019八下·义乌期末）己知正方形ABCD的边长为2，点E为正方形所在平面内一点，满足∠AED=90°，连接CE，若点F是CE的中点，则BF的最小值为( )

A. 2 B. 62 -1 C. 13−12 D. 2 3
二、填空题
11.（2019九上·临沧期末）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 度．

12.（2020九上·北仑期末）如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为________。

13.（2019·槐荫模拟）如图，以正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，过点A作AP1⊥OB于点P1 ， 再过P1作P1P2⊥OC于点P2 ， 再过P2作P2P3⊥OD于点P3 ， 依次进行……若正六边形的边长为1，则点P2019的横坐标为________．
14.（2019九上·惠山期末）如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧弧MN的长度为________．

15.（2019九上·武城期中）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(﹣2，0)，半径为2，点P为直线y＝﹣ 34 x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q ， 则切线长PQ的最小值是________．
16.（2020·遵义模拟）⊙O的半径OA＝4，以OA为直径作⊙O1交⊙O的另一半径OB于点C，当C为OB的中点时，图中阴影部分的面积S＝________.
17.（2019九上·诸暨月考）如图，等边三角形ABC的边长为 3 cm，在AC，BC边上各取一点E，F，使得AE=CF，连接AF，BE相交于点P．（1）则∠APB=________度；（2）当点E从点A运动到点C时，则动点P经过的路径长为________cm.
三、解答题
18.（2019九上·上海开学考）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE.
19.（2020九上·乐清期中）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M.
求证：AM＝DM.

20.（2020九上·长葛期中）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°.
求OD的长和∠OCB度数.
21.（2019九上·伊通期末）已知：如图，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
22.（2019九上·浙江期末）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若tanE= 12 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
23.（2020九上·红桥期末）已知⊙O的直径为10，点A ， 点B ， 点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D ．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC ， BD ， CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴AB是直径．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°．
∴弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，即为2：1．
又∵ AB 的长为12cm，
∴ AC 的长是12× 23 =8(cm)．
故答案为：C．
【分析】根据弧长公式，可知弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，再根据弧AB的长即可求解．
2.【答案】 C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝80°，
故答案为：C．

【分析】由圆周角定理求解即可。
3.【答案】 C
【考点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= 360°4 =90°，∠AOF= 360°3 =120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n= 360°30° =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OD、OF，利用圆内接正多边形的性质可求出∠AOD和∠AOF的度数；再求出∠DOF的度数；然后用360°除以一个中心角的度数=正多边形的边数，由此可求解.
4.【答案】 B
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OB，AC=BD，
∴OC=OD，
∵∠O=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD=4，
∴OA=4+12=16，
∴ 摆盘的面积=60π×162360−60π×42360=40πcm2.
故答案为：B.
【分析】先证出△OCD是等边三角形，得出OC=CD=4，从而得出OA=16，再利用摆盘的面积=
S扇形OAB-S扇形OCD ， 列出算式进行计算，即可得出答案.
5.【答案】 C
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴ OH=12OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴ AH=OA2−OH2=32−22=5
∴AB=2AH=25
故答案为： C ．

【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△OAH中，OA=3，即可求出AH的长，从而得出答案。
6.【答案】 D
【考点】圆周角定理，关于坐标轴对称的点的坐标特征，一次函数的性质，中位数，众数
【解析】【解答】解：A、点（1，3）关于x轴的对称点是（1，-3），故错误；
B、函数 y=−2x+3 中， y 随 x 的增大而减小，故错误；
C、若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则x=3，则中位数是4，故错误；
D、同圆中的两条平行弦所夹的弧相等，正确，
故答案为：D.
【分析】根据关于x轴的对称点的特征“横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可判断A；根据一次函数中k小于0的时候，图象从左至右下降， y 随 x 的增大而减小即可判断B；由一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，将一组数据按从小到大排列后，排最中间一个位置或两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数，即可判断C；根据弧、弦之间的关系即可判断D.
7.【答案】 C
【考点】角的运算，切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA ．
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠OAC＝90°，再求出∠B＝∠OAB＝25°，最后计算求解即可。
8.【答案】 B
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=BC=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
又∵ OD⊥AB ，
∴∠DOB=30°，
∵∠DAB=12∠DOB=15°，
∴ ∠OAD =∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由 ∠OAD =∠OAB+∠DAB即可求得答案.
9.【答案】 B
【考点】勾股定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，当F、E、O三点在一条直线上时，EF最短，

这时OF2=FC2+OC2=32+42=25，
∴OF=5，
∴EF=OF-OE=5-4=1.
故答案为：B.

【分析】过BC的中点O作圆，连接OF交圆于点E，这时EF为最短，在Rt△OCF中，运用勾股定理求出OF的长，则EF等于OF于OE的长度之差.
10.【答案】 C
【考点】勾股定理，正方形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BO，作OH⊥BC，

以D为原点，以DC与DA为坐标轴建立直角坐标系，
设E点坐标为（m,n）,F点坐标为(x，y),
则A点坐标为（0,2），B点坐标为（2,2），C点坐标为（2,0），
F点坐标为（m+22,n2）,得m+22=x ,n2=y ,
∴m=2x-2, n=2y;
∵∠AED=90°，根据直径所对的圆周角是直角得E点在以AB为直径的半圆上，
x，y满足，(m-0)2+(n-1)2=1(0≤x≤1),即(2x-2)2+(2y-1)2=1，
则（x-1）2+(y-12)2=14 ， x、y在以（1，12）为圆心，以12为半径的圆上，
∴连接BO交⊙O于F'，BF的最小值是BF',
BO=BH2+OH2=1+(2−12)2=132,
则BF'=BO−F'O=13−12,
故答案为：C.
【分析】连接BO，作OH⊥BC，先求出E点轨迹方程，设F点坐标，根据中点坐标公式把F点坐标用E点坐标表示，得出F点轨迹也是圆，则BF最短点为B点连接圆心交圆于一点的F',构造直角三角形，用勾股定理求出OB，则BF'可求。
二、填空题
11.【答案】 150．
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ 弧AC=弧AC ，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
故答案为150．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可算出∠AOC的度数。
12.【答案】 2
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OD，

∴∠DCO=90∘，
∴CD=OD2−OC2
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=12AB=2，
即CD的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可.
13.【答案】 −122020
【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，AP1⊥OB ， P1P2⊥OC ， P2P3⊥OD ，
∴△OAB为等边三角形，∠OAP1＝30°，
∴OP1＝ 12OA=12 ，
同理：∠P2P1O＝30°，
∴OP2＝ 12OP1=122 ，∠P3P2O＝30°，
∴OP3＝ 12OP2=12×122=123 ，即OPn＝ 12n ，
∴OP2019＝ 122019 ，
∵2019÷6＝336…3，
∴OP2019在第三象限，点P2019的横坐标的长为： 12⋅OP2019=12×122019 ＝ 122020 ，
∴点P2019的横坐标为﹣ 122020 ；
故答案为：﹣ 122020 ．
【分析】由题意得出 OP1=12OA=12, OP2=12OP1=122, OP3=12OP2=12×122=123 ，推出OPn＝ 12n ，得出OP2019＝ 122019 ，推出OP2019在第三象限，由点P2019的横坐标的长为： 12 OP2019即可得出结果．
14.【答案】 25π
【考点】正多边形和圆，弧长的计算
【解析】【解答】如图：连接OM，ON，
∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠A=108°，
∴∠MON=72°，
∵半径为1，
∴劣弧 MN⏜ 的长度为： 72π×1180=25π ．
【分析】连接OM，ON，利用切线的性质OM⊥AB，ON⊥AC.根据正五边形各内角相等，可得∠A=108°，根据四边形内角和可求出∠MON=72°，最后利用弧长公式计算即可.
15.【答案】 42
【考点】坐标与图形性质，切线的性质
【解析】【解答】如图，
作AP⊥直线 y=−34x+6， 垂足为P ， 作 ⊙A 的切线PQ ， 切点为Q ， 此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为 (−2,0),
设直线与y轴,x轴分别交于B ， C ，
∴ B(0,6),C(8,0)，
∴ OB=6，AC=10，
∴ BC=OB2+OC2=10，
∴ AC=BC，
在 △APC 与 △BOC 中，
{∠APC=∠BOC=90∘∠ACB=∠BCOAC=BC,
∴ △APC ≌ △BOC ，
∴ AP=OB=6，
∴ PQ=62−22=42．
故答案为: 42．
【分析】根据切线的性质可知切线PQ、半径AQ和AP组成直角三角形，其中半径AQ的长度不变，要使切线PQ最短，则斜边AP要最短，即是求点A到直线的最短距离，根据垂线段最短可知作AP⊥直线 y=−34x+6 ， 垂足为P，作 ⊙A 的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小.设直线与y轴，x轴分别交于B，C，根据直线的解析式求出B、C两点的坐标，利用勾股定理计算出BC的长，通过证明△APC≌△BOC得到AP=OB=6，最后在直角△APQ中，利用勾股定理进行计算.
16.【答案】 4π3−3
【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接 O1C ，
∵C是OB的中点，OA=OB=4，
∴OC=2，
∵ O1 是OA的中点，
∴ O1A=O1O=2,
∴ OC=O1O=O1C=2 ，
∴ ΔOO1C 是等边三角形，
∴∠AOB= ∠OO1C =60°，
∴ ∠AO1C =120°，
∴S阴影= =60π×42360−34×22−120π×22360=4π3−3.
故答案为： 4π3−3 .
【分析】连接 O1C ，先证明 ΔOO1C 是等边三角形，根据 S 阴影= S 扇形OAB－ SΔO1CO － S 扇形O1CA进行解答.
17.【答案】 20°；23π
【考点】全等三角形的判定与性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：（1）在△AFC和△AEB中，
AB=AC∠BAE=∠ACF=60°AE=CF
∴△ABE≌△CAF，
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠CAF+∠FAB=60°，
∴∠ABE+∠FAB=60°，
∴∠APB=180°-（∠ABE+∠FAB）=180°-60°=120°.
故答案为：120°.
（2）如图，由上题知，∠APB恒为120°，

则P点在如图所示的圆弧上，∠AOB=120°，
过O作OH⊥AB，
则AH=32 ， r=OA=AHcs30°=AH32=1，
∴弧APB的长为：120°π×1180°=2π3.

【分析】（1）利用角角边定理，证明△ABE≌△CAF，则对应角∠ABE=∠CAF，由∠CAF+∠FAB=60°，推得∠ABE+∠FAB=60°，从而利用三角形内角和定理即可求出∠APB.
（2）∠APB恒为120°，得则P点在以AB为弦的圆弧上，且∠AOB=120°，利用三角函数求出圆的半径，根据弧长公式求出弧APB的长即可.
三、解答题
18.【答案】 解：连接OE，如图，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∵AE∥CD，
∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∴∠BOD=∠DOE，
∴BD=DE.
【考点】平行线的性质，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OE，可得∠A=∠OEA，再由AE∥CD得∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，从而得出∠BOD=∠DOE，则BD=DE.
19.【答案】 证明：∵AB＝CD，
∴ AB ＝ CD ，
∴ AB ﹣ BC ＝ CD ﹣ BC ，
∴ AC ＝ BD ，
∴∠D＝∠A，
∴MA＝MD.
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】欲证明AM＝DM，只要证明∠D＝∠A即可；
20.【答案】 解：∵OD⊥弦BC，
∴∠CDO=90°，
又OB=OC，
∴∠COD= 12∠COB
∵∠BAC= 12∠COB
∴∠COD=∠CAB=60°
∴∠OCB=90°-∠COD=90°-60°=30°，
∴OD= 12 OB= 12×2= 1.
【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，圆周角定理
【解析】【分析】由∠BAC=60°，根据圆周角定理可求∠BOC=120°，又OD⊥BC，由等腰三角形的三线合一得∠COD=60°，在Rt△BOD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半易求OD.
21.【答案】 证明：∵ AC=AC ， ∴∠ABC＝∠APC＝60°， 同理∠BAC＝∠CPB＝60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形．
【考点】等边三角形的判定，圆周角定理
【解析】【分析】易得∠ABC＝∠APC ， ∠BAC＝∠CPB ， 那么原三角形中将有3个角是60°，为等边三角形．
22.【答案】 （1）AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：如图，连接OC．

∵OA=OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠ODC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴ BCBE=BDBC=CDEC .
∴BC2=BD•BE．
∵ tan∠E=12 ，
∴ CDEC=12 ．
∴ BDBC=CDEC=12 ．
设BD=x，则BC=2x．
又BC2=BD•BE，
∴（2x）2=x（x+6）．
解得x1=0，x2=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．
【考点】圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） AB与⊙O的位置关系是相切 ，理由如下： 连接OC，根据等腰三角形的三线合一得出 OC⊥AB ，故 AB是⊙O的切线；
（2）首先判断出 ED是直径， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ECD=90°，根据等角的余角相等得出 ∠BCD=∠E ，从而判断出 △BCD∽△BEC，根据相似三角形对应边成比例得出 BCBE=BDBC=CDEC ，根据正切函数的定义得出 tan∠E= CDEC=12 ， 故 BDBC=CDEC=12 ， 设BD=x，则BC=2x，根据比例式建立方程，求解并检验即可算出x的值，从而得出BD的长，然后根据 OA=OB=BD+OD 即可算出答案。
23.【答案】 解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝ BC2−AB2=102−62=8
∵AD平分∠CAB，
∴ CD=BD ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2 ，
∴易求BD＝CD＝5 2 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ 12 ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD， 在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．