四川省泸州市2021届高三下学期第二次教学质量诊断性考试数学（文）试卷

泸州市高2018级第二次教学质量诊断性考试

数学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题内区域，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．    C．   D．

2．若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

3．某调查机构对全国互联网进行行业调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的（    ）

整个互联网行业从业者年龄分布饼状图   90后从事互联网行业者岗位分布图

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多

C．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

4．若，满足，则的最大值为（    ）

A．1    B．3    C．5    D．9

5．已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（    ）

A．1    B．3    C．5    D．7

6．把函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若在上是增函数，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．在中，，，点是边的中点，则的值为（    ）

A．    B．6    C．    D．8

8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为（    ）

A．    B．    C．   D．

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

         正视图     侧视图     俯视图

A．1    B．    C．    D．

10．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A．   B．   C．   D．

11．双曲线：的左焦点和虚轴的一个端点分别为，，点，为右支上一动点，若的最小值为，则的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是（    ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

注意事项：

（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．

（2）本部分共10个小题，共90分．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．

13．从3名男同学和2名女同学中任选2人参加社会实践，则选中一名男同学和一名女同学的概率为______．

14．定义在上的奇函数是上的增函数，若，则实数的取值范围是______．

15．抛物线：的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，则的面积为______．

16．关于函数头有如下四个命题：

①函数的图象是轴对称图象；

②当时，函数有两个零点；

③函数的图象关于点中心对称；

④过点且与曲线相切的直线有两条．

其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．

（Ⅰ）求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；

（Ⅱ）从这100天中抽取了5天，统计出这5天的日销售量（吨）和当天的最高气温（℃）的5组数据，研究发现日销售量和当天的最高气温具有的线性相关关系，且，，，．求日销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程，并估计水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数．

参考公式：，．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列的公差不为零，，且是与的等比中项．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使成立的最小整数．

19．（本小题满分12分）

如图，已知直四棱柱的底面是变长为2的正方形，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：直线，，交于一点；

（Ⅱ）求多面体的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，短轴长为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设不过点的直线与相交于，两点，且直线，的倾斜角互补，证明直线的斜率是定值，并求出该定值．

21．（本小题满分12分）

设函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）确定的所有可能值，使得存在，对任意，恒有成立．

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，动直线：与动直线：交点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若曲线的极坐标方程为，求曲线与曲线的交点的极坐标．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，，为正实数，函数的最小值为，且，求的最小值．

泸州市高2018级第二次教学质量诊断性考试

数  学（文科）参考答案及评分意见

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：

二、填空题：

13．；  14．；  15．10；  16．①③④．

三、解答题：

17．（Ⅰ）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为1，

所以，

解得，

设中位数为，则，

解得，即这100天中日销售量的中位数约为2.06吨；

（Ⅱ）因为，，

，

所以，

，

所以销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程是：；

当时，，

当时，，

当最高气温早10℃~18℃内时，日销售量在2~4吨，根据频率分布直方图可得再次范围的频率为：

，

所以估计该景区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数约为：天．

18．解：（Ⅰ）因为，则，

因为是与的等比中项；

所以，

即，

解得，或（舍去），则，

所以；

（Ⅱ）因为，则，

所以

，

由得：，即，

所以成立的最小整数是．

19．解：（Ⅰ）连接，，因为，分别为，的中点．

所以且．

因为是直四棱柱，且底面是正方形，

所以，且，

即四边形是平行四边形，

所以且，

所以，且，

所以四边形为梯形，

所以与交于一点，记为，

因为平面，平面，

所以（平面平面），

又因为平面平面，

所以直线，即直线，，交于一点．

（Ⅱ）

．

20．解：（Ⅰ）由得，

又因为，所以

解得：，，

故椭圆的方程为；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设直线：，

且与相交于，两点，

故直线，的斜率分别为，，

因为直线，的倾斜角互补，

所以，即，

故，矛盾，故直线的斜率存在，

设直线：，代入整理得：

，

设，，则，

且，，

因为直线，的倾角互补，所以，即，

所以，

即，

所以，

整理得：，

所以或，

当时，直线：过点，不合题意，故舍去；

所以，即，即直线的斜率是定．

21．解（Ⅰ）因为，

所以，

当时，恒成立，所以在上为增函数；

当时，由得：，

所以在上是增函数，在上是减函数；

（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知：在上是增函数，在上是减函数，

所以，故，

设，

所以，

令，得，，

所以函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，

所以，存在，对任意，恒有成立；

②由（Ⅰ）知：对任意，总存在，使函数在上是增函数，

，所以当时，，

因为时，设，

所以，

令，

因为，，

所以必有两根，，且，，

所以函数在上的增函数，

所以对任意，存在，使函数在上是增函数，

故，即，即，

所以对任意，不存在，对任意，成立．

综上知，．

22．解：（Ⅰ）设直线与的交点，

所以和，

消去参数得的普通方程为，

把，代入上式得：

，

所以曲线的极坐标方程为（且）；

（Ⅱ）将代入得：

即，

所以，则，

即曲线与交点的极坐标分别为，．

23．解：（Ⅰ）由不等式可得：，

可化为：或或，

解得：或或，

所以不等式的解集为；

（Ⅱ）因为，

所以的最小值为，即，

由柯西不等式得：，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为．