【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（24）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（24）（含答案解析），共35页。试卷主要包含了下列运算正确的是，在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（24）
一．选择题（共12小题）
1．在0.3，﹣3，0，﹣这四个数中，最大的是（　　）
A．0.3 B．﹣3 C．0 D．﹣
2．由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（　　）

A． B． C． D．
3．在今年十一期间，汝州风穴寺景区共接待游客8.7275万人次，旅游总收入为2094.6万元．将2094.6万元用科学记数法表示为（　　）
A．2.0946×103元 B．0.20946×104元
C．2.0946×107元 D．0.20946×108元
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．在一次数学测试中，某学校小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是82 C．方差8.4 D．平均数是81
6．若数轴上点A表示﹣1，且AB＝3，则点B表示的数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣3或3 D．﹣4或2
7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①c＞0；②抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；③4a﹣b＝0；④若M（﹣3，y1）与N（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠B＝∠D＝90° B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．CB＝CD
11．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
12．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．不确定
二．填空题（共12小题）
13．因式分解：2a3﹣8a＝　 　．
14．不等式组的解集是　 　．
15．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+＝0，则的值是　 　．
16．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
17．若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是　 　．
18．已知x+y＝5，xy＝6，求x2+y2＝　 　．
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为24，则CD的长为　 　．

20．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为　 　．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝　 　°．

22．二次函数y＝﹣x2+2x+2图象的顶点坐标是　 　．
23．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是　 　m（结果保留根号）；

24．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有　 　个三角形（用含n的代数式表示）

三．解答题（共11小题）
25．计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．
26．先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
27．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E．
（1）在AD上求作点F，使点F到CD和BC的距离相等；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．

28．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）参加本次调查的有　 　人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有　 　人．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．
29．已知：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，点C落在点E的位置，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）若AB＝8，AD＝10，求BF的长．

30．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

31．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

33．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE＝BC；
（2）求证：DE与半圆O相切；
（3）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长．

34．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝2CE＝6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

35．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y＝x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE＝4：1．求直线y＝x+m的表达式；
（3）在（2）的条件下，若N为平面直角坐标系内的点，在直线y＝x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（24）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在0.3，﹣3，0，﹣这四个数中，最大的是（　　）
A．0.3 B．﹣3 C．0 D．﹣
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可
【解答】解：∵﹣3＜﹣＜0＜0.3
∴最大为0.3
故选：A．
【点评】本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型．
2．由5个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得下面一层有3个正方形，上面一层中间有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．在今年十一期间，汝州风穴寺景区共接待游客8.7275万人次，旅游总收入为2094.6万元．将2094.6万元用科学记数法表示为（　　）
A．2.0946×103元 B．0.20946×104元
C．2.0946×107元 D．0.20946×108元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2094.6万＝20946000＝2.0946×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】利用合并同类项对A进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对B进行判断；根据多项式乘多项式可对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A．a2与2a不能合并，所以A选项的计算错误；
B．原式＝4a6，所以B选项的计算错误；
C．原式＝a2+a﹣2，所以C选项的计算正确；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式：熟练掌握完全平方公式是解决此类题目的关键．也考查了整式的运算．
5．在一次数学测试中，某学校小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是82 C．方差8.4 D．平均数是81
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据重新排列为65、76、82、82、86、95，
A、数据的众数为82，此选项正确；
B、数据的中位数为＝82，此选项正确；
C、数据的平均数为＝81，
所以方差为×[（65﹣81）2+（76﹣81）2+2×（82﹣81）2+（86﹣81）2+（95﹣81）2]＝84，此选项错误；
D、由C选项知此选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
6．若数轴上点A表示﹣1，且AB＝3，则点B表示的数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣3或3 D．﹣4或2
【分析】利用数轴可得答案．
【解答】解：如图所示：
点B表示的数是﹣4或2，
故选：D．

【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确画出数轴，可直观的得到答案．
7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【解答】解：∵点A（﹣4，3），点A与点B关于原点对称，
∴点B（4，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①c＞0；②抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0）；③4a﹣b＝0；④若M（﹣3，y1）与N（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，
c＞0，故①正确，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），故②错误，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣2，得4a﹣b＝0，故③正确，
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点M（﹣3，y1）比点N（，y2）离对称轴近，
∴y1＞y2，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠B＝∠D＝90° B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．CB＝CD
【分析】根据图形得出AC＝AC，根据全等三角形的判定定理逐个推出即可．
【解答】解：A、∵∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故本选项错误；
B、根据AB＝AD，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA不能推出△ABC≌△ADC，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC（SSS），故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
11．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理．知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．不确定
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，然后求出∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，根据等角对等边可得BM＝ME，CN＝NE，然后求出△AMN的周长＝AB+AC．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝6+4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
13．因式分解：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．不等式组的解集是　x≥3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式6﹣2x≤0，得：x≥3，
解不等式2x+4＞0，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+＝0，则的值是　1　．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+3＝0，
解得x＝3，y＝﹣3，
所以，（）2012＝（）2012＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
16．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（k﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，
解得k＝
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是　3　．
【分析】设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×5＝15π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
根据题意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
故答案为3．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．已知x+y＝5，xy＝6，求x2+y2＝　13　．
【分析】根据x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后代入求值即可．
【解答】解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6×2＝13．
故答案是：13．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为24，则CD的长为　3　．

【分析】由DM是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝DB，然后由△ADB的周长为24与AB＝AC＝10，即可求得CD的长．
【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∵△ADB的周长为24，
即AD+DB+AB＝AB+2AD＝24，
∵AB＝AC＝10，
∴AD＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣7＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．
20．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为　70°　．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，根据等腰三角形的性质，解答出即可．
【解答】解：如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°．
故答案为：70°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝　100　°．

【分析】结合已知条件可以推出∠A＝50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD＝100°．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，
∴∠A＝50°，
∴∠BOD＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数．
22．二次函数y＝﹣x2+2x+2图象的顶点坐标是　（1，3）　．
【分析】此题既可以利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2
＝﹣（x2﹣2x+1）+3
＝﹣（x﹣1）2+3，
故顶点的坐标是（1，3）．故填空答案：（1，3）．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
23．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是　45　m（结果保留根号）；

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，CD＝45m．
tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，
解得：AD＝45（m），
∴AB＝45m．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝tan30°＝是解题关键．
24．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有　（3n+1）　个三角形（用含n的代数式表示）

【分析】由题意可知：第（1）个图案有3+1＝4个三角形，第（2）个图案有3×2+1＝7个三角形，第（3）个图案有3×3+110个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n+1）个三角形．
【解答】解：∵第（1）个图案有3+1＝4个三角形，
第（2）个图案有3×2+1＝7个三角形，
第（3）个图案有3×3+1＝10个三角形，
…
∴第n个图案有（3n+1）个三角形．
故答案为：（3n+1）．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
三．解答题（共11小题）
25．计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣2×+2﹣﹣4+1＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．先化简再求值：（），其中x＝﹣3．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
27．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E．
（1）在AD上求作点F，使点F到CD和BC的距离相等；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．

【分析】（1）作∠BCD的平分线交AD于F即可；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义，先证明∠BAE＝∠AEB得到BA＝BE，同理可得DF＝DC，则BE＝DF，所以AF＝CE，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形AECF为平行四边形．
【解答】解：（1）如图，点F为所作；

（2）四边形AECF为平行四边形．
理由如下：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE，
同理可得DF＝DC，
∴BE＝DF，
∴AF＝CE，
而AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．
28．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．

请根据以上信息回答：
（1）参加本次调查的有　600　人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有　3200　人．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．
【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的人数即可；根据D的百分比乘以总人数即可得到结果；
（2）求出A与C的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好能吃到C粽的情况数，即可得到所求概率．
【解答】解：（1）根据题意得：240÷40%＝600（人）；
根据题意得：8000×40%＝3200（人）；
故答案为：600；3200；
（2）A的人数为600×30%＝180（人）；
C的人数600﹣180﹣60﹣240＝120（人）；
如图：
（3）列树状图如下：

P＝＝0.5．

【点评】本题考查了条形统计图，概率，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
29．已知：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，点C落在点E的位置，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）若AB＝8，AD＝10，求BF的长．

【分析】（1）证明∠EBD＝∠ADB，得出BF＝DF，则结论得证；
（2）设BF＝x，则DF＝x，AF＝10﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理有82+（10﹣x）2＝x2，解方程即可得解．
【解答】解：（1）由折叠可知∠EBD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形．
（2）设BF＝x，则DF＝x，AF＝10﹣x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理有82+（10﹣x）2＝x2．
解得：，
∴BF的长为．
【点评】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

【分析】（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：如图，
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，
即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；
（2）解：如图，
∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝2，
∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
31．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，

（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP＝16.9cm．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
33．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE＝BC；
（2）求证：DE与半圆O相切；
（3）若AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，求直角边BC的长．

【分析】（1）证明DE是在Rt△BCD的中线，即可求解；
（2）由（1）得ED＝EB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，根据∠EBO为直角，得到∠EBD与∠OBD和为90°，等量代换可得出∠ODE为直角，即DE与OD垂直，可得出DE为圆O的切线，得证；
（3）利用因式分解法求出x2﹣10x+24＝0的解，再根据AB大于AD，且AD和AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长．
【解答】解：（1）如图，连接DB、OD，

∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°＝∠CDB，
在Rt△BCD中，
∵E是BC边上的中点，
∴DE＝BC；

（2）由（1）知DE＝BE＝BC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
又∵∠ABC＝90°，即∠OBD+∠EBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线；

（3）解：方程x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
∵AD、AB的长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，且AB＞AD，
∴AD＝4，AB＝6，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝2，

∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△BCD，
∴，即，
∴BC＝3．
【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，以及利用分解因式的方法解一元二次方程，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
34．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝2CE＝6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O切线，得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠EAC＝∠ACO，有等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，于是得到结论；
（2）连接BC，由三角函数的定义得到sin∠CAE＝＝，得到∠CAE＝30°，于是得到∠CAB＝∠CAE＝30°，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，解直角三角形即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到∠DCB＝∠ACO根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠A＝CAO，
即AC平分∠BAE；

（2）解：连接BC，
∵AE⊥CE，AC＝2CE＝6，
∴sin∠CAE＝＝，
∴∠CAE＝30°，
∴∠CAB＝∠CAE＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠CAB＝＝，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径是2；

（3）CD2＝BD•AD，
证明：∵∠DCB+∠BCO＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠DCB＝∠ACO，
∴∠DCB＝∠ACO＝∠CAD，
∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴，
即CD2＝BD•AD．

【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y＝x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE＝4：1．求直线y＝x+m的表达式；
（3）在（2）的条件下，若N为平面直角坐标系内的点，在直线y＝x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
②以OF为边，那么由OF＝OM或FM＝OF列出等式可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交y轴于点C
∴C（0，﹣3），
则 OC＝3；
∵P到x轴的距离为，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（﹣1，﹣）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（﹣2，﹣3）；
将点A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中，有：
，
解得．
∴抛物线的表达式为y＝x2+x﹣3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE＝∠BCE＝90°
∵∠DEG＝∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE＝4：1，
∴DG：BC＝4：1；
已知BC＝1，则DG＝4，点D的横坐标为4；
将x＝4代入y＝x2+x﹣3中，得y＝5，则 D（4，5）．
∵直线y＝x+m过点D（4，5）
∴5＝×4+m，则 m＝2；
∴所求直线的表达式y＝x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF＝2；
设点M（x，x+2），则：OM2＝x2+3x+4、FM2＝x2；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴x+2＝1，x＝﹣；即点M的坐标（﹣，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM＝OF＝2，则：x2＝4，x1＝、x2＝﹣
代入y＝x+2中，得：y1＝、y2＝；
即点M的坐标（，）或（﹣，）；
②OM＝OF＝2，则：x2+3x+4＝4，x1＝0（舍）、x2＝﹣
代入y＝x+2中，得：y＝；
即点M的坐标（﹣，）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（﹣，1）、（，）、（﹣，）、（﹣，）．

【点评】此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．
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日期：2021/11/14 23:17:24；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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