湖北省十堰市城区普高协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题PDF版含答案

高二数学期中考试解析

1.已知直线与直线，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2.已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内含

【答案】C

3.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：

402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683

231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为　　

A． B． C． D．

【答案】D

4.如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．      B．      C．        D．

【答案】A

5.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为（    ）

A． B．C． D．

【答案】C

6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A．与互斥 B．与对立

C． D．

【答案】C

7.直线为常数）的倾斜角的取值范围是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】B

9.已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（    ）

A． B．3 C． D．1

【答案】AB

10.已知向量，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．不存在实数，使得

D．若，则

【答案】AC

11.下列说法中，正确的有（    ）

A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2）

B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2

C．直线xy+1＝0 的倾斜角为30°

D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7

【答案】ACD

12.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　)

A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0

B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0

C．公共弦AB的长为

D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1

【答案】ABD

13.已知，，则___________.

【答案】6

14.经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则此直线的方程______

【答案】

15.过点的直线，截圆所得弦长为，则直线的方程为______．

【答案】或

16.已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________

【答案】

17.直线过点且与直线平行.

（1）求直线的方程；

（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为直线与直线平行，则直线的方程可设为，

又因为直线过点，所以，

所以直线的方程为；                 ----------------------------5分

（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，

 又因为该圆过点、，

所以有，解得，

所以圆心坐标为，半径，

故圆的方程为.                   -----------------------10分

18.某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位：h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92.

（1）求n的值.

（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数(中位数精确到0.01).

（3）如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.

【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.

【详解】

（1）由已知可得，.

则，得.        -----------------------------3分

（2）设中位数为x，则，得.

---------------------6分

（3）按照分层抽样的方法从内选取的人数为，

从内选取的人数为.

记二等奖的4人分别为，一等奖的1人为A，

事件E为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”.

从这5人中随机抽取2人的基本事件为，

，共10种，

其中2人均是二等奖的情况有，，共6种，

由古典概型的概率计算公式得.             --------------------------12分

19.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

（1）建立如图所示空间直角坐标系.

，

，

设平面的法向量为，

则，故可设.

由于，所以平面.            .........................6分

（2）直线与平面所成角为，

则.              ............................12分

20.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.

（1）求与的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．

【答案】（1） ； （2）.

【详解】

（1）依题，解得    ---------------------------6分

（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，

获得本选修课学分分数不低于4分为事件，

则；；.

故.                              -----------------12分

21.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2.

（1）证明：MB⊥平面ABCD；

（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【详解】

解：（1）正方形中，，

因为平面平面，平面平面平面ABCD，

所以平面,

所以，且，，

所以，

又因为，所以，

所以，又因为AN//BM，

所以，，

所以平面.                             .................................6分

（2）由（1）知，平面，

以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

设点,，则，

所以，所以，

所以，

设平面的法向量为，

所以，令，所以，

所以，

显然，平面的法向量为，

所以，即

整理得，解得或(舍)，

则存在一点，且.

                                                       ----------------------12分

22.已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆的标准方程．

（2）直线：与圆交于，两点．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值．

【答案】(1)；(2) ；( ii)证明见解析.

【详解】

(1)设圆C的圆心C坐标为，其中a>0，

由题意知，，

又圆C与直线3x+4y-8=0相切，则圆心C到此直线的距离为：

，所以，解得a=1或a=-4(舍去)，

所以圆心C为，，

故圆C的标准方程为：；              -----------------4分

(2)由(1)，，

因为直线交圆C于点A，B，

所以             -------------------8分

()k的取值范围是；

(ii)证明：设，

由韦达定理，得，

又

，

所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.          --------------------12分